Ikosahedrální pyramida

Ikosahedrální pyramida
Schlegelův diagram : projekce ( perspektiva ) pravidelné dvacetistěnné pyramidy do trojrozměrného prostoru
Typ	Polyedrická pyramida
symbol Schläfli	( ) ∨ {3,5}
buňky	21
tváře	padesáti
žebra	42
Vrcholy	13
Dvojitý polytop	dvanáctistěnná pyramida

Ikosahedrická pyramida je čtyřrozměrný mnohostěn (polycell): mnohostěnný jehlan , jehož základna je dvacetistěn .

Popis

Omezeno na 21 trojrozměrných buněk - 20 čtyřstěnů a 1 dvacetistěn . Ikosahedrická buňka je obklopena všemi dvaceti čtyřstěnnými; každá čtyřstěnná buňka je obklopena dvacetistěnnou buňkou a třemi čtyřstěnnými buňkami.

Jeho 50 dvourozměrných ploch jsou trojúhelníky . 20 stěn odděluje dvacetistěnné a čtyřstěnné buňky, zbývajících 30 jsou dva čtyřstěnné.

Má 42 žeber. Tři plochy a tři buňky (ikosaedrické a dvě tetraedrické) se sbíhají na 30 hranách, pět ploch a každá po pěti buňkách (pouze čtyřstěnná) na zbývajících 12.

Má 13 vrcholů. Ve 12 vrcholech se sbíhá 6 hran, každá 10 stěn a každá 6 buněk (ikosaedrická a pět čtyřstěnných); 1 vrchol má 12 hran, 30 ploch a všech 20 čtyřstěnných buněk.

Izoedrická dvacetistěnná pyramida

Jestliže všechny hrany ikosaedrické pyramidy jsou stejně dlouhé , pak její plochy jsou stejné pravidelné trojúhelníky . Čtyřrozměrný hyperobjem a trojrozměrná hyperplocha povrchu takové pyramidy jsou vyjádřeny jako $A$

V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\cca 0{,}1685452a^{4},

S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\cca 4 {,}5387176a^{3}.

Výška pyramidy pak bude

H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\cca 0{,}3090170a,

poloměr popisované hypersféry (procházející všemi vrcholy multibuňky) -

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\cca 1{,}6180340a,

poloměr vnější polovepsané hypersféry (dotýkající se všech hran v jejich středových bodech) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\cca 1{,}5388418a,

poloměr vnitřní polovepsané hypersféry (dotýkající se všech tváří v jejich středech) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\cca 1{,}5115226a ,

poloměr vepsané hypersféry (dotýká se všech buněk) —

r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a \approx 0{,}1485399a.

Střed vepsané hyperkoule se nachází uvnitř pyramidy, středy opsané a obou polovepsaných hyperkoulí jsou umístěny ve stejném bodě mimo pyramidu.

Takovou pyramidu lze získat tím, že vezmeme konvexní obal libovolného vrcholu šestisetové buňky a všech 12 sousedních vrcholů, které jsou k němu připojeny hranou.

Úhel mezi dvěma sousedními čtyřstěnnými buňkami bude stejný jako v buňce se šesti sty. Úhel mezi ikosaedrickou buňkou a jakoukoliv tetraedrickou buňkou bude $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\cca 164{,}48^{\circ },$ $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5)))){4}}\cca 22{,}24^{\circ }.$

V souřadnicích

Izoedrický dvacetistěnný jehlan s délkou hrany lze umístit do kartézského souřadnicového systému tak, aby jeho vrcholy měly souřadnice $2$

$\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
$\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

kde je poměr zlatého řezu . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Odkazy

Richard Klitzing. Ikosahedrální pyramida