Čtveřice a rotace prostoru

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; kontroly vyžadují 10 úprav .

Čtveřice poskytují vhodný matematický zápis pro orientaci prostoru a rotaci objektů v tomto prostoru. Ve srovnání s Eulerovými úhly usnadňují quaterniony kombinování rotací a také se vyhýbají problému s nemožností rotace kolem osy bez ohledu na rotaci v jiných osách (zobrazeno). Ve srovnání s rotačními maticemi jsou výpočetně stabilnější a mohou být efektivnější. Čtveřice našly své uplatnění v počítačové grafice , robotice , navigaci , molekulární dynamice .

Rotační operace [1]

Reprezentace prostoru revoluce

Jednotkové normové čtveřice , také nazývané versory podle Hamiltona , poskytují algebraický způsob, jak reprezentovat rotaci ve třech rozměrech. Korespondence mezi rotacemi a čtveřicemi může být především realizována skrze samotný prostor rotace, grupu SO(3) .

Jakákoli rotace v trojrozměrném prostoru je rotace o určitý úhel kolem určité osy. Pokud je úhel nula, pak je výběr osy irelevantní; rotace o úhel 0° jsou tedy bodem v prostoru rotace ( identická rotace). Pro malý (ale nenulový) úhel je každá možná rotace tímto úhlem malá koule obklopující identickou rotaci, kde každý bod na této kouli představuje osu mířící do určitého směru (srovnatelného s nebeskou sférou ). Čím větší je úhel otočení, tím dále je otočení od stejné rotace; takové rotace lze považovat za soustředné koule s rostoucím poloměrem. V blízkosti rotace identity tedy abstraktní prostor rotací vypadá jako obyčejný trojrozměrný prostor (který může být také reprezentován jako centrální bod obklopený soustřednými koulemi). Když se úhel zvětší na 360°, rotace kolem různých os se přestanou rozcházet a začnou se navzájem podobat a stanou se rovnými stejné rotaci, když úhel dosáhne 360°.

Podobné chování můžeme vidět na povrchu koule. Pokud se postavíme na severní pól a začneme kreslit přímé čáry vyzařující z něj v různých směrech (tj. čáry zeměpisné délky ), budou se nejprve rozcházet, ale pak se znovu sblíží na jižním pólu. Soustředné kruhy vytvořené kolem severního pólu ( zeměpisné šířky ) se zmenší do jednoho bodu na jižním pólu - když se poloměr koule rovná vzdálenosti mezi póly. Pokud si představíme různé směry od pólu (tj. různé délky) jako různé osy rotace a různé vzdálenosti od pólu (tj. zeměpisné šířky) jako různé úhly rotace, pak máme prostor pro rotace. Výsledná koule představuje rotaci v trojrozměrném prostoru, i když se jedná o dvourozměrný povrch, který neumožňuje modelování hyperkoule . Dvourozměrný povrch koule však může být reprezentován jako součást hypersféry (jako kruh je součástí koule). Můžeme vzít část, která například představuje rotaci kolem os v rovinách x a y . Je důležité si uvědomit, že úhel natočení k rovníku je 180° (ne 90°); k jižnímu pólu (od severu) 360° (ne 180°).

Severní a jižní pól představují stejné rotace. To platí pro jakékoli dva diametrálně opačné body: jestliže jeden bod je rotace přes úhel kolem osy v , pak bod s rotací přes úhel kolem osy − v je diametrálně opačný . Prostor rotací tedy není 3-koule sama o sobě , ale 3 - půlkoule ( koule na ní o poloměru ) s identifikovanými diametrálně opačnými body, která je difeomorfní k projektivnímu prostoru . Pro většinu účelů však lze rotace považovat za body na kouli, i když mají dvojitou redundanci. $\alpha$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alpha$ $\pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Definice otočného prostoru

Souřadnice bodu na povrchu koule mohou být dány dvěma čísly, jako je zeměpisná šířka a délka. Taková souřadnice, jako je zeměpisná délka na severním a jižním pólu, se však začíná chovat neurčitě (vykazuje degeneraci ), ačkoli severní a jižní pól se zásadně neliší od žádného jiného bodu na povrchu koule. To ukazuje, že žádný souřadnicový systém nemůže charakterizovat polohu v prostoru dvěma souřadnicemi. Tomu se lze vyhnout umístěním koule do trojrozměrného prostoru, charakterizací kartézských souřadnic ( w , x , y ), umístěním severního pólu na ( w , x , y ) = (1, 0, 0), jižním pól na ( w , x , y ) = (−1, 0, 0) a rovník na w = 0, x ² + y ² = 1. Body na kouli splňují vztah w ² + x ² + y ² = 1. Výsledkem jsou dva stupně volnosti , ačkoliv existují tři souřadnice. Bod ( w , x , y ) představuje rotaci kolem osy ( x , y , 0) o úhel . $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

Stejně tak lze prostor trojrozměrných rotací charakterizovat třemi úhly ( Eulerovy úhly ), nicméně každé takové zobrazení začíná v některých bodech hypersféry degenerovat. Tomuto problému se lze vyhnout použitím euklidovských souřadnic w , x , y , z , kde w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Bod ( w , x , y , z ) představuje rotaci kolem os ( x , y , z ) úhlem $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Krátce o čtveřicích

Komplexní číslo lze definovat zavedením abstraktního symbolu i , který splňuje obvyklá pravidla algebry, stejně jako pravidlo . To stačí k reprodukci všech pravidel aritmetiky komplexních čísel. Například: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+ad{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+ad{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+reklama){\mathbf {i}}

Stejně tak lze kvaterniony definovat zavedením abstraktních symbolů i , j , k , jejichž násobení je dáno pravidlem

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- jeden

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

a násobení reálnými čísly jsou definována obvyklým způsobem a násobení se předpokládá asociativní , ale ne komutativní (příkladem nekomutativního násobení je také maticové násobení ). Z toho plynou například všechna pravidla kvaternionové aritmetiky

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k}}

Imaginární část čtveřice se chová stejně jako vektor a reálná část a se chová stejně jako skalár v . Při použití kvaternionů po Hamiltonovi je lze popsat jako součet skaláru a vektoru a použít vektor a skalární součin a ( jehož myšlenka byla navržena kvaterniony). Navíc souvisejí s obvyklým násobením čtveřice podle následujícího vzorce: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\in \mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ $\krát$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

Křížový součin je nekomutativní, zatímco skalárně-skalární a skalárně-vektorový součin jsou komutativní. Následují tato pravidla:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}})

Inverzní (vlevo a vpravo) pro nenulovou čtveřici je $s+{\mathbf {v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

což lze ověřit přímým výpočtem.

Definice revolučního prostoru z hlediska čtveřice

Řekněme, že ( w , x , y , z ) jsou souřadnice rotace, podle předchozího popisu. Pak lze čtveřici q definovat jako

q=š+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

kde je jednotkový vektor. Tedy práce $\mathbf {u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

otočí vektor o úhel kolem osy dané vektorem . Rotace je ve směru hodinových ručiček , pokud uvažujeme rotaci ve směru vektoru ; to znamená, že směr vektoru je stejný jako směr translace pravé vrtule , když je otočena o kladný úhel . $\mathbf{v}$ $\alpha$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\alpha$

Můžete vzít složení rotací podle čtveřice jejich vynásobením (pořadí rotace závisí na pořadí násobení). Takže rotace na čtveřici a rovná se $p$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

což je stejné jako otáčení dál a pak dál . $q$ $p$

Obrácení čtveřice je stejné jako otáčení v opačném směru, tedy . Druhá mocnina čtveřice je rotace o dvojitý úhel kolem stejné osy. V obecném smyslu se jedná o rotaci kolem osy o úhel, který je krát větší než původní. Místo toho může být jakékoli reálné číslo $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $n$ $n$ , což umožňuje použití čtveřic k hladké interpolaci mezi dvěma pozicemi ve vesmíru.

Rotace jednotky čtveřice

Nechť u je jednotkový vektor (osa rotace) a čtveřice. Naším cílem je to ukázat $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2))$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

otočí vektor v o úhel α kolem osy u . Otevřením závorek dostaneme:

{\begin{array}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\times {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\times {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alpha }{2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ krát {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{array}}

kde a jsou složky vektoru v , které jsou kolmé a rovnoběžné s osou u . ${\mathbf {v}}_{{\bot }}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

Výsledným výsledkem je vzorec pro rotaci o úhel α kolem osy u .

Vynásobením vektoru −1 , tj. převzetím opačné čtveřice, se rotace nezmění. Zejména čtveřice 1 a -1 oba definují identickou rotaci. Více abstraktně, vektory patří do SU(2) Lieovy grupy , která je difeomorfní ke 3-sféře. Tato skupina pokrývá rotační prostor SO(3) dvakrát.

Rotace čtyřrozměrného euklidovského prostoru

Čtyřrozměrná rotace je popsána dvěma jednotkovými normovými čtveřicemi až po násobení obou současně −1.

Variace a zobecnění

Podobné vzorce umožňují použít biquaterniony k popisu Lorentzových transformací - "rotací" 4-rozměrného Minkowského prostoru .

Viz také

závěs kardanu

Poznámky

↑ Rotace, kvaterniony a dvojité skupiny / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 s.

Literatura

V. I. Arnold. Geometrie komplexních čísel, čtveřice a spiny . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 s. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Hyperkomplexní čísla (nepřístupný odkaz) . — M.: Nauka , 1973. — 144 s.

Odkazy

Ševče, Kene. Quaternion tutoriál
Hart, Francis, Kauffman. Demo Quaternion Archivováno 25. února 2009 na Wayback Machine
Byung-Uk Lee, Unit Quaternion Representation of Rotation Archivováno 27. září 2007 na Wayback Machine
Ibanez, Luis, Quaternion výukový program I
Ibanez, Luis, Quaternion Výuka II
Rotace ve vesmíru a kvaterniony Archivováno 30. prosince 2013 na Wayback Machine
Rotace ve 3D s hyperkomplexními čísly Archivováno 19. dubna 2014 na Wayback Machine
Verzor // Velká sovětská encyklopedie : v 66 svazcích (65 svazků a 1 doplňkový) / kap. vyd. O. Yu Schmidt . - M .: Sovětská encyklopedie , 1926-1947.