Koherentní paprsek

Koherentní kladky  jsou třídou kladek , které úzce souvisejí s geometrickými vlastnostmi nosného prostoru. Definice koherentního svazku používá svazek prstenců , který ukládá tyto geometrické informace.

Na koherentní svazky lze pohlížet jako na zobecnění vektorových svazků . Na rozdíl od vektorových svazků tvoří abelovskou kategorii , a proto jsou uzavřeny pod operacemi, jako je převzetí jader , cokernels a obrázků. Kvazi  -koherentní svazky jsou zobecněním koherentních svazků, které zahrnují vektorové svazky nekonečné úrovně.

Kohomologie koherentních svazků je výkonná technika, která se používá zejména ke studiu průřezů koherentních svazků.

Definice

Kvazikoherentní svazek na prstencovém prostoru ( X , O X ) je svazek O X - modulů F , který je lokálně reprezentovatelný, to znamená, že každý bod X má otevřené okolí U , pro které existuje přesná posloupnost

pro některé množiny I a J (možná nekonečné).

Koherentní svazek na prstencovém prostoru ( X , O X ) je kvazi-koherentní svazek F , který splňuje následující dvě podmínky:

  1. svazek F konečného typu nad O X , to znamená, že jakýkoli bod X má otevřené okolí U takové, že existuje surjektivní morfismus OnX
    _    | U → F | U pro nějaké přirozené n ;
  2. pro libovolnou otevřenou množinu U ⊂ X , libovolné přirozené n a libovolný morfismus O X -moduly φ: OnX
    _    | U → F | U , jádro φ konečného typu.

Morfismy mezi (kvazi)koherentními svazky jsou stejné jako morfismy O X -modulů.

Vlastnosti

Na libovolném prstencovém prostoru netvoří kvazi-koherentní svazky abelovskou kategorii. Nicméně kvazi-koherentní snopy nad jakýmkoli schématem tvoří abelovskou kategorii a jsou v tomto kontextu mimořádně užitečné. [jeden]

Koherentní snopy na libovolném prstencovém prostoru tvoří abelovskou kategorii, kompletní podkategorii modulů kategorie O X.

Submodul koherentního svazku je koherentní, pokud je konečného typu. Koherentní svazek je vždy konečně prezentovaný modul O X v tom smyslu, že jakýkoli bod X má otevřené okolí U takové, že omezení F | U svazku F na U je izomorfní s kokernelem morfismu O X n | U → O X m | U pro přirozené n a m . Pokud je O X koherentní, pak je naopak koherentní každý konečně prezentovaný O X -modul.

Prstencový svazek O X se nazývá koherentní, pokud je koherentní jako modul sám nad sebou. Konkrétně Okova věta o koherenci říká, že svazek holomorfních funkcí na komplexním analytickém prostoru X je koherentní. Podobně na lokálně noetherovském schématu X je strukturní svazek O X koherentní. [2]

Lokální chování koherentních paprsků

Důležitou vlastností koherentních paprsků je, že vlastnosti koherentního paprsku v bodě řídí jeho chování v okolí tohoto bodu. Například Nakayamovo lemma (v geometrických termínech) říká, že pokud F  je koherentní svazek na schématu X , pak jeho vlákno, násobené tenzorem polem zbytků F p ⊗ O X , p k ( p ) v p (vektor prostor nad zbytkovým polem k ( p )) je nulový právě tehdy, když F je nula v nějakém otevřeném okolí p . Související skutečností je, že rozměr vrstev koherentního nosníku je horní polospojitý . [3] Koherentní svazek má tedy konstantní hodnost na otevřené podmnožině, zatímco na uzavřené podmnožině může hodnost skákat.

Ve stejném duchu: koherentní svazek F na schématu X je vektorový svazek právě tehdy, když jeho vlákno Fp je volný modul nad lokálním kruhem O X , p pro jakýkoli bod p v X . [čtyři]

V obecném schématu je nemožné určit, zda je koherentní svazek vektorovým svazkem z jeho vláken tenzorem násobených reziduálními poli. V daném lokálně noetherovském schématu je však koherentní svazek vektorovým svazkem právě tehdy, když je jeho hodnost lokálně konstantní. [5]

Kohomologie koherentních snopů

Kohomologická teorie koherentních svazků je jedním z hlavních technických nástrojů v algebraické geometrii. Ačkoli se objevil až v 50. letech 20. století, mnoho dřívějších výsledků v algebraické geometrii je formulováno jasněji v jazyce cohomologie svazku aplikovaného na koherentní svazky. Zhruba řečeno, kohomologii koherentních svazků lze považovat za nástroj pro konstrukci funkcí s danými vlastnostmi; úseky svazků vedení nebo obecnějších svazků lze považovat za zobecněné funkce. V komplexní analytické geometrii hraje důležitou roli také kohomologie koherentních svazků.

Mizející teorémy v afinním případě

Komplexní analýza způsobila revoluci Cartanovými teorémy A a B , které byly prokázány v roce 1953. Tyto výsledky říkají, že pokud E  je koherentní analytický svazek na Steinově prostoru X , pak E je generován jeho globálními řezy a H i ( X , E ) = 0 pro všechna i > 0. (Komplexní prostor X je Steinův prostor, právě když je izomorfní k uzavřenému analytickému podprostoru C n pro nějaké n .) Tyto výsledky zobecňují velký soubor dřívějších prací na konstrukci komplexních analytických funkcí s danými singularitami nebo jinými vlastnostmi.

V roce 1955 Serre představil koherentní svazky do algebraické geometrie (původně přes algebraicky uzavřené pole , ale toto omezení bylo odstraněno Grothendieckem ). Analogy Cartanových teorémů jsou pravdivé ve velké obecnosti: je-li E  kvazi-koherentní svazek na afinním schématu X , pak E je generován jeho globálními řezy a H i ( X , E ) = 0 pro i > 0. [6 ] To je způsobeno skutečností, že kategorie kvazi-koherentních svazků na afinním schématu X je ekvivalentní kategorii O ( X ) -modulů : ekvivalence vede svazek E k O ( X )-modulu H 0 ( X , E ).

Česká kohomologie a projektivní prostorová kohomologie

V důsledku vymizení kohomologie afinních schémat pro separovatelné schéma X , afinní otevřený obal { U i } schématu X a kvazi-koherentní svazek E na X , kohomologické grupy H *( X , E ) jsou izomorfní k Čechovým cohomologickým skupinám s ohledem na otevřený obal { U i }. [6] Jinými slovy, pro výpočet kohomologie X s koeficienty v E postačí znát řezy E na všech konečných průsečících otevřených afinních podmnožin U i .

Pomocí Cech cohomologie lze vypočítat kohomologii projektivního prostoru s koeficienty v libovolném svazku čar. Konkrétně pro pole k , přirozené číslo n a celé číslo j jsou kohomologie projektivního prostoru P n nad k s koeficienty ve svazku přímek O ( j ) dány následovně: [7]

Konkrétně tento výpočet ukazuje, že kohomologie projektivního prostoru přes k s koeficienty v libovolném svazku řádků je konečná-rozměrná jako vektorové prostory přes k .

Zmizení těchto cohomologických grup v dimenzích nad n je konkrétním případem Grothendieckovy mizející věty : pro jakýkoli svazek abelovských grup E v noetherovském topologickém prostoru X dimenze  n < ∞ máme H i ( X , E ) = 0 pro všechny i  ​​>  n . [8] Tento výsledek je zvláště užitečný, když X je noetherovské schéma (například algebraická varieta nad polem) a E  je koherentní svazek.

Konečně-dimenzionální kohomologie

Pro správné schéma X nad polem k a koherentním svazkem E na X jsou kohomologické grupy H i ( X , E ) konečnorozměrné jako vektorové prostory nad k . [9] V konkrétním případě, kdy je X projektivní přes k , je to dokázáno redukcí na případ svazků čar na projektivním prostoru uvažovaném výše. Obecný případ vlastního schématu nad polem je dokázán redukcí na projektivní případ pomocí Zhou lemmatu .

Konečná dimenzionalita kohomologie platí také pro koherentní analytické svazky na kompaktním komplexním prostoru. Cartan a Serre dokázali v této analytické situaci konečnou dimenzionalitu pomocí Schwarzovy věty o kompaktních operátorech ve Fréchetově prostoru .

Konečná dimenzionalita kohomologie nám umožňuje získat mnoho zajímavých invariantů projektivních variet. Například, jestliže X  je nesingulární projektivní křivka přes algebraicky složené pole k , pak je rod X definován jako rozměr vektorového prostoru H 1 ( X , O X ). Je-li k  tělesem komplexních čísel, shoduje se s rodem prostoru komplexních bodů X ( C ) v klasické (euklidovské) topologii. (V tomto případě X ( C ) = X an  je uzavřená orientovaná plocha .)

Serra dualita

Serreova dualita je analogií Poincarého duality pro kohomologii koherentních snopů. Pro hladké vlastní schéma X dimenze n nad polem k existuje přirozená mapa stop H n ( X , K X ) → k . Serre dualita pro vektorový svazek E na X uvádí, že párování

je perfektní párování pro jakékoli celé číslo i . [10] Stejný rozměr mají zejména vektorové prostory H i ( X , E ) a H n − i ( X , K X ⊗ E *). (Serre také dokázal Serreovu dualitu pro svazky holomorfních vektorů na kompaktním komplexním manifoldu.) Grothendieckova teorie duality zahrnuje zobecnění na libovolný koherentní svazek a libovolný vlastní morfismus schémat, ale tvrzení se stávají méně elementárními.

Například pro nesingulární projektivní křivku X přes algebraicky uzavřené pole k Serre dualita uvádí, že rozměr prostoru 1-forem na X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) se shoduje s rod X (dimenze H 1 ( X , O )).

GAGA teorémy

Věty GAGA spojují komplexní algebraické variety s odpovídajícími analytickými prostory. Pro schéma X konečného typu nad C existuje funktor od koherentních algebraických svazků na X po koherentní analytické svazky na odpovídajícím analytickém prostoru X an . Fundamentální teorém GAGA říká, že je-li X vlastní nad C , pak je tento funktor ekvivalencí kategorie. Navíc pro jakýkoli koherentní algebraický svazek E na správném schématu X nad C je přirozené zobrazení

je izomorfismus pro všechna i . [11] (První skupina je definována pomocí Zariskiho topologie a druhá skupina je definována pomocí klasické (euklidovské) topologie.) Zejména ekvivalence mezi analytickými a algebraickými koherentními svazky na projektivním prostoru implikuje Chouův teorém, že jakýkoli uzavřený analytický podprostor CP n je algebraický.

Mizející teorémy

Serre Vanishing Theorem říká, že pro jakýkoli velký svazek přímek L na správném schématu X nad noetherovským prstencem a jakýmkoli koherentním svazkem F na X existuje celé číslo m 0 takové, že pro všechna m ≥ m 0 existuje svazek F ⊗ L ⊗ m je generováno globálními řezy a nemá vyšší kohomologii. [12]

Ačkoli je Serreova věta o mizení užitečná, neznalost čísla m 0 může být problém. Kodairův mizející teorém je důležitým explicitním výsledkem. Konkrétně, pokud X  je plynulá projektivní varieta přes pole charakteristiky 0, L  je velký svazek čar na X a K X  je kanonický svazek , pak

pro všechna j > 0. Všimněte si, že Serreův teorém zaručuje stejné mizení pro velké mocniny L . Kodairův mizející teorém a jeho zobecnění hrají zásadní roli v klasifikaci algebraických variet a v programu minimálních modelů . Kodairova mizející věta neplatí pro pole pozitivní charakteristiky. [13]

Poznámky

  1. ↑ Stacks Project, Tag 01LA Archivováno 3. září 2017 na Wayback Machine .
  2. ↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
  3. ↑ Hartshorne (1981), příklad III.12.7.2.
  4. ↑ Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
  5. ↑ Eisenbud (1995), Cvičení 20.13.
  6. ↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Archivováno 3. září 2017 na Wayback Machine . 
  7. ↑ Hartshorne (1981), Věta III.5.1.
  8. ↑ Hartshorne (1977), Věta III.2.7.
  9. ↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Archivováno 23. prosince 2017 na Wayback Machine . 
  10. ↑ Hartshorne (1981), Věta III.7.6.
  11. ↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
  12. ↑ Hartshorne (1981), Věta II.5.17 a Tvrzení III.5.3.
  13. ↑ Michel Raynaud . Kontrapříklad au mizející věta v charakteristice p > 0 . V CP Ramanujam - hold , Tata Inst. fond. Res. Studium matematiky. 8, Berlín, New York: Springer-Verlag, (1978), str. 273-278.

Literatura