Komutativní kroužek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Komutativní prsten je prsten ve kterém operace násobení je komutativní (obvykle, jeho asociativita a existence jednotky jsou také implikovány ). Studiem vlastností komutativních prstenců se zabývá komutativní algebra .

Ideály a spektrum prstenu

Některé z následujících definic také existují pro nekomutativní kruhy, ale stávají se složitějšími. Například ideál v komutativním kruhu je automaticky oboustranný, což situaci značně zjednodušuje.

Ideály a faktorové kroužky

Vnitřní struktura komutativního kruhu je určena strukturou jeho ideálů, to znamená neprázdných podmnožin , které jsou uzavřeny sčítáním, stejně jako násobením libovolným prvkem kruhu. Daný podmnožina komutativního prstenu , jeden může sestrojit nejmenší ideál obsahovat tuto podmnožinu. Jedná se totiž o prostor konečných lineárních kombinací formy $F=\{f_{j}\}_{j\in J}$ $R$

{\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{n}f_{n))

Ideál generovaný jedním prvkem se nazývá principál . Prsten, ve kterém jsou všechny ideály hlavní, se nazývá hlavní ideální prsten , dva důležité příklady takových prstenů jsou a polynomický prsten nad polem . Každý prsten má alespoň dva ideály – nulový ideál a prsten samotný. Ideál, který není obsažen v jiném nevlastním (neshodujícím se s prstenem samotným) ideálu, se nazývá maximální . Ze Zornova lemmatu vyplývá, že každý prsten má alespoň jeden maximální ideál. $\mathbb {Z}$ $k$ $k[x]$

Definice ideálu je konstruována tak, že umožňuje „rozdělit“ prsten do něj, to znamená, že existuje podílový prstenec : toto je množina coset s ohledem na operace. $R/I$ $já$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)(b+I)=ab+I

Tyto operace jsou definovány správně, například proto, že patří do atd. Z toho je zřejmé, proč je definice ideálu právě tato. $(a+I)(b+I)=ab+aI+Ib+I\cdot I=ab+I$ $A$ $já$

Lokalizace

Lokalizace prstence je v jistém smyslu opačnou operací než brát faktor: ve faktorovém prstenu se prvky nějaké podmnožiny stanou nulovými, zatímco při lokalizaci se prvky nějaké množiny stanou invertibilními . Konkrétně, pokud je podmnožina uzavřena pod násobením, pak lokalizace vzhledem k , označovaná jako , se skládá z formálních symbolů tvaru $S$ $R$ $S$ $S^{-1}R$

{\frac {r}{s))

, kde ,

r\in R

v S

s pravidlem snížení čitatele a jmenovatele podobným (ale ne stejným jako) běžnému pravidlu. Operace sčítání a násobení na takových "zlomcích" jsou definovány obvyklým způsobem.

V tomto jazyce se jedná o lokalizaci přes množinu nenulových celých čísel. Stejnou operaci lze provést s jakýmkoliv integrálním prstencem na místě : lokalizace se nazývá pole dílčích prstenců . Pokud se skládá ze všech mocnin pevného prvku , je lokalizace označena jako . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb {R} \zpětné lomítko \{0\})^{-1}R$ $R$ $S$ $F$ ${\displaystyle R_{f))$

Prvotní ideály a spektrum

Zvláště důležitým typem ideálu je jednoduchý ideál, často označovaný písmenem . Prvotní ideál je podle definice nevlastní ideál takový, že pokud obsahuje součin dvou prvků, pak obsahuje alespoň jeden z těchto prvků. Ekvivalentní definice je, že podílový kruh je integrální. Další ekvivalentní definice je, že doplněk je uzavřen pod násobením. [1] Lokalizace je natolik důležitá, aby měla vlastní označení: . Tento prsten má pouze jeden maximální ideál: . Takové kroužky se nazývají místní . $p$ $R/p$ $R\obrácené lomítko p$ $(R\obrácené lomítko p)^{-1}R$ $R_{p}$ $pR_{p}$

Prvotní ideály jsou klíčovým prvkem geometrického popisu prstenu pomocí spektra prstenu Spec $\mathbb {R}$ . Jako soubor se Spec $\mathbb {R}$ skládá z hlavních ideálů. Pokud je pole, má pouze jeden prvočíslo (nulu), takže spektrum pole je bod. Dalším příkladem je, že Spec obsahuje jeden bod pro nulový ideál a jeden pro každé prvočíslo . Spektrum je vybaveno topologií Zariski , ve které jsou otevřené množiny množiny tvaru , kde je libovolný prvek prstence. Tato topologie se liší od obvyklých příkladů topologií z analýzy: například uzavření bodu odpovídajícího nulovému ideálu je vždy celé spektrum. $R$ $\mathbb {Z}$ $p$ ${\displaystyle D(f)=\{p\in SpecR,f\notin p\))$ $F$

Definice spektra je základní pro komutativní algebru a algebraickou geometrii . V algebraické geometrii je spektrum vybaveno svazkem . Dvojice „prostor a na něm svazek“ se nazývá afinní schéma . Podle afinního schématu lze původní kruh obnovit použitím funktoru globální sekce . Navíc je tato korespondence funkční : asociuje se s každým kruhovým homomorfismem : spojité zobrazení v opačném směru: $\mathcal O$ $F$ $R\to S$

Spec

S

→ Spec

R

, (předobraz každého prvoideálu je jednoduchý).

q\mapsto f^{-1}(q)

Kategorie afinních schémat a komutativních kruhů jsou tedy ekvivalentní . V důsledku toho mnoho definic aplikovaných na prstence a jejich homomorfismy pochází z geometrické intuice. Afinní schémata jsou lokální data pro schémata (podobně jako prostory jsou lokální data pro variety ), které jsou hlavním předmětem studia v algebraické geometrii. $\mathbb {R} ^{n}$

Kruhové homomorfismy

Jako obvykle v algebře, homomorfismus je zobrazení mezi algebraickými objekty, které zachovává jejich strukturu. Konkrétně homomorfismus (komutativních) kruhů s identitou je zobrazení : takové, že $F$ $R\to S$

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),f(1)=1

V této situaci je to také -algebra: prvky lze skutečně násobit prvky podle pravidla $S$ $R$ $S$ $R$

r\cdot s:=f(r)\cdot s

Jádrem a obrazem homomorfismu jsou množiny a . Jádro je ideální v a obraz je podkruhem . $F$ ${\displaystyle ker(f)=\{r\in R,f(r)=0\))$ ${\displaystyle im(f)=f(R)=\{f(r),r\in R\))$ $R$ $S$

Rozměr

Krullova dimenze (nebo jednoduše dimenze) je způsob měření "velikosti" prstenu. Jedná se totiž o maximální délku řetězce hlavních ideálů formy $n$

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

Například pole má dimenzi 0, protože má pouze jeden ideální, nulu. Dimenze celých čísel je jedna; jediný řetězec prvotních ideálů má formu

0={\mathfrak p}_{0}\subsetneq p{\mathbb Z}={\mathfrak p}_{1}

, kde je prvočíslo .

p

Lokální prstenec s maximálním id se nazývá pravidelný , pokud je jeho rozměr roven rozměru vektorového prostoru nad . $m$ $m/m^{2}$ $R/m$

Konstrukce komutativních prstenců

Poznámky

↑ Atiyah-MacDonald, Úvod do komutativní algebry, 2003.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S výhledem na algebraickou geometrii. , sv. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la kolaborace de Jean Dieudonné): I. Le langage des schémas". — Publikace Mathematics de l'IHES 4
Matsumura, Hideyuki (1989), teorie komutativních prstenců (2. vydání), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
Pinter-Lucke, James (2007), Podmínky komutativity pro prstence: 1950–2005 , Expositiones Mathematicae vol. 25 (2): 165–174, ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016/j.exmath.2001.
Zariski, Oscar & Samuel, Pierre (1958-60), Komutativní algebra I, II , Univerzitní řada ve vyšší matematice, Princeton, NJ: D. van Nostrand, Inc.

Inkluzní diagram některých tříd prstenců
komutativní kruhy ⊃ integrální kruhy ⊃ faktoriální kruhy ⊃ hlavní ideální oblasti ⊃ Eukleidovské kruhy ⊃ pole