Konečná p-grupa
Skupina se nazývá konečná grupa
, pokud má řád rovný nějaké mocnině prvočísla .
Základní vlastnosti konečných p-grup
Nechť je tedy konečná grupa
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Některé třídy konečných p-grup
Tato část popisuje definice a vlastnosti některých tříd konečných grup, které jsou často zvažovány ve vědecké literatuře.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
p-grupy maximální třídy
Konečná grupa řádu se nazývá grupa maximální třídy , pokud je její třída nilpotence rovna .
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![n-1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521)
Jestliže je konečná grupa maximální třídy, pak a .
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle P'=\Phi (P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19ab53e0be43f07f696c8f2718e256cde876a6a)
![{\displaystyle |Z(P)|=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7255ac12c36a1b3d6cdff1f7009dd5a1dc2a9d7)
Jediné 2-skupiny v pořadí maximální třídy jsou: dihedrální skupina , zobecněná čtveřice grupa a semidihedrální skupina .
![2^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d)
![{\displaystyle Q_{2^{n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540efc6451392bf956927f32327cdb4130a9a408)
![{\displaystyle SD_{2^{n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83747634ebac2b696594de3cec8dcb8b3a288e05)
Na rozdíl od 2-skupin je případ p-grup maximální třídy pro p>2 mnohem složitější.
p-centrální p-skupiny
Konečná -grupa se nazývá -centrální if . Tento koncept je v určitém smyslu duální s konceptem mocné skupiny.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696ebe9f93768a57c2c2ee3445bc4a7bf1b22089)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Výkonné p-skupiny
Konečná grupa se nazývá mocná , pokud pro a pro . Tento koncept je v určitém smyslu duální s konceptem -centrální -skupiny .
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle [P,P]\leq P^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20913bfb4a69792900bab14a98d457595b47b80b)
![{\displaystyle p\neq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884d62fa2ca44dc88b2e2020d0921bd7bdcf1d2e)
![{\displaystyle [P,P]\leq P^{4))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef94cef6fee3e64fd68d0edcdc4ca9c4fa2f1ad)
![p=2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Pravidelné p-skupiny
Konečná grupa se nazývá regulární if , kde , platí pro any . Například všechny abelianské skupiny budou pravidelné. Skupina, která není pravidelná, se nazývá nepravidelná .
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![{\displaystyle x,y\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd3c6b1fd301be815af40ff562fb7a8b55bd99c)
![{\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf0a00be452d7ed4819dfa21f355d765182bcc3)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Libovolná podskupina a skupina faktorů pravidelné -grupy je regulární.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Konečná -grupa je regulární, pokud je regulární některá z jejích podgrup generovaných dvěma prvky.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Nanejvýš konečná skupina řádu je regulární.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle p^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a65c3b2111df40755fd0fb5fb38bda690a5f8)
- Konečná skupina, jejíž třída nilpotence je menší než normální. Také všechny skupiny třídy nilpotence 2 jsou běžné pro .
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
- Jakákoli konečná neabelovská 2-grupa je nepravidelná.
Konečné p-skupiny malých zakázek
Počet odlišných -skupin pořadí ![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
- Počet neizomorfních řádových skupin je 1: skupina .
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc37470431fbf62081b69ba870ad3f855178361)
- Počet skupin neizomorfního řádu je 2: grupy a .
![p^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef685027b97072ee63a8c738f395cd40f63767e1)
![{\displaystyle C_{p^{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f7b95e7a2b952f7d635cbe67e3621fdb2d6209)
![{\displaystyle C_{p}\times C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f892e29dd5eeaaadce3e2a6c3ca02fc63077fc)
- Počet neizomorfních skupin řádu je 5, z nichž tři jsou abelovské skupiny: , , a dvě jsou neabelovské: for - a ; pro p = 2 - , .
![{\displaystyle p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd72168a6110be2b0bd12486f30b4d40c2d4608)
![{\displaystyle C_{p^{3))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b187e80773c59a254ac20693bd12c1aaa070b95)
![{\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd9305f7a17053025445e548d98bc4eb334bcdd)
![{\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccb6097dc1997da634e6a25e96a831e09b83c4b)
![p>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
![{\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1f4991dcf7ba79f631d96c943b3c6ff29eef95)
![{\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3777cf847f7a7a57df0845b4cc64cbcdbad6f25)
![D_{4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d99bbbdaf59e06536c67afbce7c3f681acd1688)
![Q_8](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e87378c5c1811891cbc1e5c334b2c1ba4b84d4d)
- Počet neizomorfních řádových skupin je 15 pro , počet řádových skupin je 14.
![{\displaystyle p^{4))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d25f38cfd691b87f67bbf2a4c2ad98c4893320)
![p>2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0502012bc3b4e73e6f3c2f4748feaab3fd3c350d)
![2^4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8071cc0bacaea4d94c5938e5b77147ed3855d059)
- Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 51, počet skupin objednávek je 67.
![{\displaystyle p^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c41d0beb1093a444d327e7ba77ea9570c3ce807)
![{\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3009621eb5872055e40b1b377af844c96159d0)
![{\displaystyle p\geq 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5cb36d99c0607a6bd621df42ac05d9e44a0f7)
![2^{5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fde9e05093069bd6b0dd86600a77ccf642eb36)
![{\displaystyle 3^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dc4dc4380eec0009d54200e1b8fb906527d999)
- Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 267, počet skupin objednávek je 504.
![{\displaystyle p^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa7f3b72cf7b120319047d12f5534d111810900)
![{\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c9171f638905223e8e1714274aaa8614d5ff62)
![{\displaystyle p\geq 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5cb36d99c0607a6bd621df42ac05d9e44a0f7)
![2^6](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558cc35d3c67659a7ed35080c5ae9cf1c8446a1c)
![{\displaystyle 3^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c365f64206c144c9e3e2a5d0a5ca18f567a05cf)
- Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 2328, počet skupin objednávek je 9310, počet skupin objednávek je 34297.
![{\displaystyle p^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884cb26d4817e5a6db394dc7f4666eb10ff0259d)
![{\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126a6d234097c96dcd80ef4834628b75178d2a26)
![p>5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb33f8b4c924ca75444b148b0746e00f1920935)
![2^7](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef25b4e3395a4475684297f80e210b5f65b0e09a)
![{\displaystyle 3^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b240fb2eba6a19e58ab8b7ea982b1ca74f5919)
![{\displaystyle 5^{7))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9414f14f66e4798ffa06359215181e6d6505eb7c)
p-grupy řádu , asymptotika ![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
Pro , počet neizomorfních řádových skupin je asymptoticky roven .
![n\rightarrow\infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee)
![p^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b)
![{\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a66ac5f3c48d4ae06f2d566de16e68d0185b04)
Slavné problémy v teorii konečných p-grup
Grupa automorfismu konečné p-grupy
Pro grupy , které jsou automorfismy konečné -grupy, existují jednoduché horní hranice, ale dolní hranice jsou mnohem složitější. Po více než půl století zůstala otevřená následující hypotéza:
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
- Dovolit být necyklický -skupina řádu , pak .
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle |P|\geq p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5a3be941ef82c5fa6385214326521371bf71a5)
![{\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df49e994f42d68a62d0cfca58015071f7c0949)
Tato domněnka je potvrzena pro velkou třídu -grup: abelovské skupiny, pro všechny skupiny řádů nejvýše , skupiny maximální třídy. Obecný přístup k tomuto problému však dosud nebyl nalezen.
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle p^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884cb26d4817e5a6db394dc7f4666eb10ff0259d)
Higmanova hypotéza
J. Thompson dokázal známou větu o tom, že konečná grupa s pravidelným automorfismem prvočíselného řádu je nilpotentní.
![q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
- Nechť skupina má pravidelný automorfismus prvočíselného řádu . Pak je jeho třída nilpotence .
![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
![q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
![{\displaystyle cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c0f259280f3d3ea7f871df76913f859abd4014)
Zatím se prokázaly jen mnohem slabší odhady: (Kostrikin, Kreknin).
![{\displaystyle cl(P)<q^{q))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8fba211992843a177eaf22ceeb633abd0b941e)
Weakened Burnside dohad
Burnsideova domněnka byla, že pokud existuje grupa s generátory a periodou (tj. všechny její prvky splňují vztah ), pak je konečná. Pokud ano, označíme maximum z těchto skupin . Pak všechny ostatní skupiny se stejnou vlastností budou jejími faktorovými skupinami. Ve skutečnosti je snadné ukázat, že skupina je elementární abelovská 2-skupina. Van der Waerden dokázal, že pořadí skupiny je . Nicméně, jak ukázali Novikov a Adyan, skupina je nekonečná.
![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle x^{n}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8741a3eae6f729b4f1c4273a74c135d23987d5fd)
![{\displaystyle B(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334)
![{\displaystyle B(m,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042e6f878de354ea19dbac627ddb25ee60268665)
![{\displaystyle B(m,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3f0d8ccbf09da47601b40916d5613d5f8ae02f)
![{\displaystyle 3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6102904536213e9500bd5e4cc059d3a43c42c3)
![{\displaystyle m\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca2e437e89ef4565a87f1a6d90ed37eef1d8ce3)
![{\displaystyle n\geq 4381}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbf7d383e82a94debe769690614c35b7a971107)
![{\displaystyle B(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334)
Oslabená Burnsideova domněnka uvádí, že řády konečně generovaných skupin period jsou ohraničené. Tuto domněnku dokázal Efim Zelmanov . Pro konečné grupy to znamená, že existuje jen konečně mnoho grup daného exponentu a s daným počtem generátorů.
![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
Nepravidelné p-skupiny
Klasifikace nepravidelných p-grup řádu .
![{\displaystyle p^{p+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3287bcfd030fe9768402b52aaf0cfb50b46300a)
Literatura
- Belonogov V. A. Úkolová kniha o teorii grup - M .: Nauka , 2000.
- Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .
- Hala M. Teorie grup. Nakladatelství zahraniční literatury - M. , 1962.
- Khukhro E.I. O p-grupách automorfismů abelovských p-grup - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
- Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Part I, II, (v přípravě).
- Berkovich Y., Janko Z. Skupiny řádu primární moci, část III, (připravuje se).
- Gorenstein D. Konečné skupiny - NY: Harper and Row, 1968.
- Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlín; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
- Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematika. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
- Lubotzky A., Mann A. Výkonné p-grupy, I: konečné grupy, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adické analytické skupiny, tamtéž, 506-515.
- Weigel T. Kombinatorické vlastnosti p-centrálních skupin - Freiburg Univ., 1996, předtisk.
- Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.
Odkazy