Konečná p-grupa

Skupina se nazývá konečná grupa $p$ , pokud má řád rovný nějaké mocnině prvočísla .

Základní vlastnosti konečných p-grup

Nechť je tedy konečná grupa $P$ $p$

P je nilpotentní .
$|Z(P)|>1$ , kde je střed skupiny P . $Z(P)$
Pro všechny v existuje normální podskupina řádu . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Pokud je normální v , pak . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

Některé třídy konečných p-grup

Tato část popisuje definice a vlastnosti některých tříd konečných grup, které jsou často zvažovány ve vědecké literatuře. $p$

p-grupy maximální třídy

Konečná grupa řádu se nazývá grupa maximální třídy , pokud je její třída nilpotence rovna . $p$ $p^{n}$ $n-1$

Jestliže je konečná grupa maximální třídy, pak a . $P$ $p$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

Jediné 2-skupiny v pořadí maximální třídy jsou: dihedrální skupina , zobecněná čtveřice grupa a semidihedrální skupina . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

Na rozdíl od 2-skupin je případ p-grup maximální třídy pro p>2 mnohem složitější.

p-centrální p-skupiny

Konečná -grupa se nazývá -centrální if . Tento koncept je v určitém smyslu duální s konceptem mocné skupiny. $p$ $p$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $p$

Výkonné p-skupiny

Konečná grupa se nazývá mocná , pokud pro a pro . Tento koncept je v určitém smyslu duální s konceptem -centrální -skupiny . $p$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4))$ $p=2$ $p$ $p$

Pravidelné p-skupiny

Konečná grupa se nazývá regulární if , kde , platí pro any . Například všechny abelianské skupiny budou pravidelné. Skupina, která není pravidelná, se nazývá nepravidelná . $p$ $P$ $x,y\in P$ ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))$ $c\in P'$ $p$

Libovolná podskupina a skupina faktorů pravidelné -grupy je regulární. $p$
Konečná -grupa je regulární, pokud je regulární některá z jejích podgrup generovaných dvěma prvky. $p$
Nanejvýš konečná skupina řádu je regulární. $p$ ${\displaystyle p^{p))$
Konečná skupina, jejíž třída nilpotence je menší než normální. Také všechny skupiny třídy nilpotence 2 jsou běžné pro . $p$ $p$ $p>2$
Jakákoli konečná neabelovská 2-grupa je nepravidelná.

Konečné p-skupiny malých zakázek

Počet odlišných -skupin pořadí $p$ $p^{n}$

Počet neizomorfních řádových skupin je 1: skupina . $p$ $C_{p}$
Počet skupin neizomorfního řádu je 2: grupy a . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\times C_{p}$
Počet neizomorfních skupin řádu je 5, z nichž tři jsou abelovské skupiny: , , a dvě jsou neabelovské: for - a ; pro p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\times C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p))$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
Počet neizomorfních řádových skupin je 15 pro , počet řádových skupin je 14. ${\displaystyle p^{4))$ $p>2$ $2^4$
Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 51, počet skupin objednávek je 67. $p^{5}$ $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 267, počet skupin objednávek je 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
Počet neizomorfních řádových skupin je roven pro . Počet skupin objednávek je 2328, počet skupin objednávek je 9310, počet skupin objednávek je 34297. $p^{7}$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ ${\displaystyle 5^{7))$

p-grupy řádu , asymptotika $p^{n}$

Pro , počet neizomorfních řádových skupin je asymptoticky roven . $n\rightarrow\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$

Slavné problémy v teorii konečných p-grup

Grupa automorfismu konečné p-grupy

Pro grupy , které jsou automorfismy konečné -grupy, existují jednoduché horní hranice, ale dolní hranice jsou mnohem složitější. Po více než půl století zůstala otevřená následující hypotéza: $p$ $p$

Dovolit být necyklický -skupina řádu , pak . $P$ $p$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Tato domněnka je potvrzena pro velkou třídu -grup: abelovské skupiny, pro všechny skupiny řádů nejvýše , skupiny maximální třídy. Obecný přístup k tomuto problému však dosud nebyl nalezen. $p$ $p^{7}$

Higmanova hypotéza

J. Thompson dokázal známou větu o tom, že konečná grupa s pravidelným automorfismem prvočíselného řádu je nilpotentní. $q$

Nechť skupina má pravidelný automorfismus prvočíselného řádu . Pak je jeho třída nilpotence . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}$

Zatím se prokázaly jen mnohem slabší odhady: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Weakened Burnside dohad

Burnsideova domněnka byla, že pokud existuje grupa s generátory a periodou (tj. všechny její prvky splňují vztah ), pak je konečná. Pokud ano, označíme maximum z těchto skupin . Pak všechny ostatní skupiny se stejnou vlastností budou jejími faktorovými skupinami. Ve skutečnosti je snadné ukázat, že skupina je elementární abelovská 2-skupina. Van der Waerden dokázal, že pořadí skupiny je . Nicméně, jak ukázali Novikov a Adyan, skupina je nekonečná. $m$ $n$ $X$ $x^{n}=1$ $B(m,n)$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ $B(m,n)$

Oslabená Burnsideova domněnka uvádí, že řády konečně generovaných skupin period jsou ohraničené. Tuto domněnku dokázal Efim Zelmanov . Pro konečné grupy to znamená, že existuje jen konečně mnoho grup daného exponentu a s daným počtem generátorů. $m$ $n$ $p$ $p$

Nepravidelné p-skupiny

Klasifikace nepravidelných p-grup řádu . $p^{p+1}$

Literatura

Belonogov V. A. Úkolová kniha o teorii grup - M .: Nauka , 2000.
Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hala M. Teorie grup. Nakladatelství zahraniční literatury - M. , 1962.
Khukhro E.I. O p-grupách automorfismů abelovských p-grup - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Part I, II, (v přípravě).
Berkovich Y., Janko Z. Skupiny řádu primární moci, část III, (připravuje se).
Gorenstein D. Konečné skupiny - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlín; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematika. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Výkonné p-grupy, I: konečné grupy, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adické analytické skupiny, tamtéž, 506-515.
Weigel T. Kombinatorické vlastnosti p-centrálních skupin - Freiburg Univ., 1996, předtisk.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.

Odkazy

systém GAP .