Koncový kroužek

Konečný prstenec v obecné algebře je prsten obsahující konečný počet prvků (tzv. pořadí prstenu). Jinými slovy, jedná se o (neprázdnou) konečnou množinu , na které jsou definovány operace sčítání a násobení a s ohledem na sčítání tvoří komutativní konečnou grupu a násobení je se sčítáním spojeno obvyklými zákony rozdělení . Existence jednotky a komutativnost násobení v kruhu neplatí vždy, mohou existovat i nulové dělitele . $R$ $R$

Počet kroužků malých řádů je uveden v internetové encyklopedii celočíselných sekvencí [1] .

Příklady konečných prstenců

Nejjednodušším příkladem je triviální prsten sestávající z jedné nuly. Každý prsten obsahuje triviální subring . Toto je jediný kruh, kde nula je multiplikativní jedna [2] . Všechny ostatní konečné kruhy se nazývají netriviální.

Klasický příklad konečného prstence je prsten zbytku modulo nějakou přirozenou hodnotu . Zbytkový kruh je pole právě tehdy, když je číslo prvočíslo [3] . Pokud je číslo složené, pak jsou v kruhu nulové dělitele . Například množina s operacemi sčítání a násobení modulo 8 dává příklad kruhu bez jednoty a s nulovými děliteli: Zbytkové kruhy jsou důležité při studiu struktury konečně generovaných abelovských grup , lze je také použít ke konstrukci p -adic čísla . Tento kruh je komutativní, ale kruh čtvercových matic daného řádu, jehož prvky jsou zbytkové třídy modulo , již není komutativní. $\mathbb {Z} _{n}$ $n$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}$ $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ $n$

Prstenec podmnožin konečné množiny je kruh, jehož prvky jsou podmnožiny v . Operace sčítání je symetrický rozdíl a násobení je průnik množin : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)

A \cdot B = A \cap B

Kruhové axiomy lze snadno ověřit. Nulový prvek je prázdná množina , jednotkový prvek je vše . Všechny prvky prstenu jsou idempotenty , tedy . Každý prvek je navíc jeho inverzní: Okruh podmnožin je důležitý v teorii Booleových algeber a teorii míry , zejména pro konstrukci teorie pravděpodobnosti [2] .

X

A\cdot A = A

A+A=0.

Každé konečné pole nebo konečné těleso je také konečný prstenec.

Některé vlastnosti

V komutativním konečném kruhu s jedničkou je každý nenulový prvek buď invertibilní , nebo je nulovým dělitelem . Vskutku, nechť je nenulový prvek řádu ring ; skládáme produkty podle všech nenulových prvků prstence: . Pokud je mezi těmito součiny jeden, pak je prvek invertibilní, a pokud ne, pak se buď jeden ze součinů rovná nule, nebo se rovnají některé dva součiny: nebo V obou případech dělitel nuly atd. $A$ $n$ $A$ ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1))$ $aa_{i}=aa_{k},$ $a(a_{i}-a_{k})=0.$ $A$

Důsledek: netriviální komutativní konečný okruh bez nulových dělitelů je pole (existence jednotky v okruhu vyplývá ze stejné úvahy).

Kruh s netriviálním násobením (pro který se ne všechny součiny prvků rovnají nule) se nazývá jednoduchý , pokud neobsahuje oboustranné ideály , kromě triviálního podkruhu a samotného . Jakékoli pole je jednoduchý kruh, protože pole nemá žádné správné ideály. Komutativní kruh s identitou je polem právě tehdy, když se jedná o jednoduchý kruh. $R$ $R$ $R$ $R$

Wedderburnovy věty

Wedderburnova malá věta říká, že každé konečné těleso je pole (tj. komutativní násobením) [4] [5] .

Nathan Jacobson později objevil další podmínku, která zaručuje komutativnost prstenu: jestliže pro každý prvek prstenu existuje celé číslo takové, že , pak je prsten komutativní [6] . Byly nalezeny i další známky komutativnosti prstenců [7] . $A$ $R$ $n>1$ $a^{n}=a$ $R$

Další Wedderburnova věta: nechť je jednoduchý prsten s identitou a minimálními levými ideály. Pak je prsten izomorfní ke kruhu všech matic řádu přes nějaký divizní prsten . V tomto případě je tělo jednoznačně definováno a tělo je definováno až do izomorfismu. Naopak pro jakékoli tělo je prsten jednoduchý prsten. To znamená, že jakýkoli konečný jednoduchý prstenec je izomorfní k prstenci čtvercové matice v nějakém konečném poli [8] . $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Poznámky

↑ OEIS sekvence A027623 _
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , str. 18-19.
↑ Vinberg, 2011 , str. 28-34.
↑ Herstein, 1972 , str. 70-71.
↑ Prasolov V. V. Polynomy . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 113. - 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
↑ Herstein, 1972 , str. 74.
↑ Pinter-Lucke J. Podmínky komutativity pro prstence: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. - 2007. - T. 25 , no. 2 . - S. 165-174 . - doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 .
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 372.

Literatura

Atiyah M. , McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - M .: Mir, 1972. - 160 s.
Belsky A., Sadovský L. Rings // Kvant . - 1974. - č. 2 .
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Mir, 1975. - 623 s.
Kurz algebry Vinberg E. B. — Nové vydání, přepracované. a doplňkové — M.: MTsNMO, 2011. — 592 s.
Jacobson N. Struktura prstenců. - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1961.
Herstein I. Nekomutativní kruhy. - M .: Mir, 1972. - 190 s.