Ko-ekvalizér

Koekvalizér je kategoricky teoretické zobecnění pojmu faktor s ohledem na vztah ekvivalence . Tento koncept je duální s konceptem ekvalizéru , odtud název.

Definice

Koekvalizér je kodefinice diagramu sestávajícího ze dvou objektů X a Y a dvou paralelních morfismů f , g : X → Y .

Přesněji řečeno, koekvalizér je objekt Q spolu s morfismem q : Y → Q takovým, že q ∘ f = q ∘ g . Navíc pár ( Q , q ) má univerzální vlastnost : pro jakýkoli jiný pár ( Q ′, q ′) se stejnou vlastností existuje jedinečný morfismus u : Q → Q ′ , který uzavírá následující diagram na komutativní. :

Jako každá univerzální konstrukce je i koekvalizér, pokud existuje, definován až do izomorfismu. Lze ukázat, že koekvalizér q je epimorfismus v jakékoli kategorii.

Příklady

V kategorii množin je ekvalizérem dvou funkcí f , g : X → Y faktor Y nejslabším vztahem ekvivalence , takže pro libovolnou platí . $\sim$ $x\in X$ $f(x)\sim g(x)$

V kategorii grup je situace velmi podobná: jsou-li f , g : X → Y grupové homomorfismy, jejich koekvalizérem je faktor Y při normálním uzavření množiny: ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\ |\ x\in X\))$ .

Pro abelovské skupiny je koekvalizér obzvláště jednoduchý. Toto je jednoduše faktorová grupa Y / im( f − g ) ( cokernel morfismu f − g ).

V kategorii topologických prostorů lze kružnici považovat za koekvalizér dvou vnoření standardního 0-rozměrného simplexu ve standardním 1-rozměrném simplexu. $S^{1}$

Koekvalizéry mohou být poměrně velké: existují právě dva funktory od kategorie 1 s jedním objektem a jedním morfismem do kategorie 2 se dvěma objekty a právě jedním neidentitním morfismem. Koekvalizérem těchto funktorů je monoid přirozených čísel sčítáním, považovaný za kategorii s jedním prvkem. To ukazuje, že ačkoli je každý koekvalizér epimorfní, nemusí být nutně surjektivní .

Literatura

McLane S. Kapitola 3. Univerzální konstrukce a limity // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .