Krize základů matematiky

Krize základů matematiky  je termín označující hledání základních základů matematiky na přelomu 19. a 20. století.

Začátek krize

Základy matematiky jsou nauky o logických a filozofických základech matematiky, včetně otázky, zda axiomy daného systému zajišťují jeho úplnost a konzistenci [1] , přičemž krize základů matematiky je chápána jako krize ontologie. , jehož podstatou je neschopnost popsat předměty, jejichž skutečnost bytí či stávání se vymyká běžným představám o světě. [2]

Přístup teorie množin, který byl široce rozvíjen na konci 19. století, umožnil postavit matematiku na pevném, a zdálo se, spolehlivém základu – Cantorově teorii množin . Rozvoj Cantorovy teorie množin vedl k možnosti vyjádřit všechny základní matematické pojmy v podmínkách této teorie. Hilbert popsal možnost postavit matematiku na množinově teoretickém základu jako „ráj pro matematiky“ a na tomto základě již postavenou část matematiky nazval „symfonií nekonečna“. Nadšení však vystřídal šok, kdy se zjistila nedůslednost tohoto přístupu. [3]

Paradoxy

Na přelomu 19. a 20. století byly objeveny tzv. paradoxy teorie množin .

Podstata paradoxu spočívá v tom, že pomocí logicky správného uvažování lze zároveň doložit (dokázat pomocí této teorie) určité tvrzení a jeho negaci, tedy rozpor . To znamená , že tato teorie je nekonzistentní . Podle zákonů logiky v rozporuplné teorii je „cokoli prokazatelné“, tedy jakékoli tvrzení.

Nejznámější z otevřených paradoxů obdržel:

• Russellův paradox
• Cantorův paradox
• Richardův paradox
• Burali-Fortiho paradox

Způsoby, jak odstranit paradoxy

Aby se předešlo některým paradoxům, bylo navrženo omezení principu skládání  – rozšířené matematické konstrukce, která umožňuje tvořit množiny pomocí určitých vlastností objektů.

Princip sbalení

Princip skládání spočívá v tom, že pro jakoukoli vlastnost se má za to, že existuje množina, která se skládá z těch a pouze těch objektů, které mají vlastnost . Symbolicky lze princip skládání napsat takto:

kde  je libovolná množina.

Princip omezeného skládání

V principu omezeného skládání se k podmínce přidává podmínka, podle níž jsou prvky převzaty z nějaké dané množiny , jejíž existence je odvozena z nějakého („spolehlivého“) seznamu axiomů. Symbolicky omezený princip skládání lze napsat takto:

Kritika existujících logických principů

Ani úplné odstranění objevených paradoxů však nezachrání a nepojistí teorii množin před novými paradoxy. Proto byl úkol „zachraňovat“ matematiku stále aktuální. Ve skutečnosti byli matematici postaveni před úkol přehodnotit logické prostředky používané v matematickém uvažování, spolehlivost těchto prostředků a jejich soulad s podstatou matematiky. Jediným způsobem, jak zaručit nemožnost rozporů v matematické teorii, bylo dokázat konzistenci této teorie.

Nicméně podstata krize se neomezovala jen na paradoxy, ale spočívala i v následujícím.

• Za prvé, koncem 19. století došlo mezi matematiky k významným rozdílům v názorech na základní matematické pojmy a principy, stejně jako na logické principy používané v matematice.

• Za druhé existovaly rozdíly v názorech na volbu způsobů, jak se zbavit paradoxů.

• Konečně, a to je zřejmě to nejdůležitější, se objevily zásadní potíže s doložením důslednosti matematiky, její „spásy“, z nichž mnohé dosud nebyly překonány.

Kritika některých principů teorie množin

Paralelně s objevem paradoxů (a nezávisle na tom) byla kritizována řada množinově teoretických a logických principů.

Tato kritika byla primárně zaměřena na abstrakci skutečného nekonečna . Dalším principem teorie množin, který mezi matematiky vyvolává mnoho kontroverzí, je slavný axiom výběru . Spory kolem axiomu volby byly způsobeny na jedné straně samozřejmostí výroku a na straně druhé neefektivitou pochopení existence množiny volby a také podivnými výsledky získanými pomocí to (viz Banach-Tarski paradox ). Stojí za zmínku, že přes zřejmý rozpor tvrzení věty s každodenní zkušeností není toto tvrzení paradoxem v logickém smyslu.

Kritika některých logických zákonů tradiční logiky

Hlavním předmětem kritiky byly takové logické zákony, jako je zákon vyloučeného středu , zákon odstranění dvojité negace a následně na něm založená metoda dokazování kontradikcí.

Vznik logických škol

V důsledku rozdílných pohledů na používání logických a množinových principů a také rozdílných pohledů na východiska z krize se vytvořily různé matematické školy, které se proti sobě zuřivě postavily.

Vedoucí školou byla ta formalistická , jejímž nejprominentnějším následovníkem byl David Hilbert . Své myšlenky shromáždil v tzv. Hilbertově programu, který měl ospravedlnit matematiku na malém logickém základě obsaženém ve finitismu .

Hlavním odpůrcem této školy byla škola intuicionistů , která popírala možnost použití dvojité negace a považovala za nepřijatelné přijmout princip abstrakce aktuálního nekonečna. Vedl školu Leutzen Brouwer . Neohroženě odmítal formalismus jako nesmyslnou hru se symboly. V roce 1920 Hilbert zajistil odstranění Brouwera, kterého považoval za hrozbu pro matematiku, ze skupiny redaktorů Mathematische Annalen , předního matematického časopisu té doby.

Nicméně Gödelovy teorémy neúplnosti , dokázané v roce 1931, ukázaly, že klíčové aspekty Hilbertova programu nelze dosáhnout.

Gödel ukázal, jak pro každý dostatečně silný a konzistentní rekurzivně axiomatizovatelný systém (jako je třeba k axiomatizaci elementární teorie aritmetiky na množině přirozených čísel) zkonstruovat tvrzení, u kterého lze prokázat, že je pravdivé, ale není prokazatelné. systémem. Bylo tedy jasné, že matematické základy nelze redukovat na čistě formální systém, jak navrhuje Hilbertův program. To zasadilo drtivou ránu srdci Hilbertova programu, programu, který předpokládal, že konzistence může být stanovena konečnými prostředky.

Intuicionistická škola zároveň nepřitahovala mezi aktivními matematiky žádné stálé příznivce kvůli problémům v konstruktivní matematice .

Závěr

Neshody mezi matematiky o logických zákonech svědčily o potřebě studovat logické prostředky používané v matematice a tyto prostředky revidovat. Tyto neshody přispěly k rozvoji myšlenky nejedinečnosti logiky jako systému logických principů, což vyústilo ve vytvoření neklasické logiky . Nejdůležitější neklasická logika je intuicionistická logika .

Krize stále neskončila, ale odezněla. Většina matematiků buď nepracuje z úrovně axiomatických systémů, nebo pokud ano, nepochybují o správnosti systému ZFC , nejpopulárnějšího axiomatického systému. Ve většině odvětví praktické matematiky již matematické paradoxy nehrály žádnou roli a v těch částech, které přímo souvisejí se základy matematiky – zejména s matematickou logikou a teorií kategorií – je lze obejít.

Viz také

• „ Matematika. Ztráta jistoty »

Poznámky

1. ↑ Kirjanov Denis Alexandrovič. Problém nesouměřitelnosti a krize základů starověké řecké matematiky  // Filosofické myšlení. - 2021. - Vydání. 9 . — S. 54–65 . — ISSN 2409-8728 . - doi : 10.25136/2409-8728.2021.9.36464 . Archivováno z originálu 25. října 2021. (Ruština)
2. ↑ Bukin D. N. Krize základů matematiky jako krize ontologie  (ruština)  // Bulletin univerzity v Nižním Novgorodu. N. I. Lobačevskij .. - 2011. - č. 4 . Archivováno z originálu 25. října 2021.
3. ↑ Nagorny N. M. Místo předmluvy k druhému vydání. Strana VII-XLIV // Markov A. A., Nagorny N. M. Theory of Algorithms. — M.: Fazis, 1995. — 448 s.