Torze (algebra)

V obecné algebře se termín kroucení vztahuje k prvkům skupiny , která má konečný řád, nebo k prvkům modulu zničeného pravidelným prvkem prstence.

Definice

Prvek g grupy G se nazývá torzní prvek , pokud má konečný řád , to znamená, že existuje přirozené číslo n takové, že g n = e , kde e označuje neutrální prvek grupy. Skupina se nazývá periodická (nebo torzní grupa ), pokud jsou všechny její prvky torzními prvky, a skupina bez kroucení, pokud je jediný torzní prvek neutrální. Je známo, že jakákoli abelovská grupa je modul nad kruhem celých čísel; konkrétně lze definici torzního prvku přeformulovat následovně: existuje nenulové celé číslo, takže vynásobením tímto číslem se tento prvek dostane na nulu. To motivuje následující definici:

Prvek m modulu M nad kruhem R se nazývá torzní prvek , pokud existuje nenulový regulární prvek r kruhu R (tj. prvek, který není levým nebo pravým nulovým dělitelem ), který anihiluje m , tedy takové, že rm = 0. V případě řešení integrálního prstence lze upustit od předpokladu pravidelnosti. Modul v krutu a modul bez zkrutu jsou definovány podobně . V případě, že prstenec R je komutativní , tvoří soubor všech torzních prvků modulu M submodul nazývaný torzní submodul (zejména pro modul nad Z se nazývá torzní podskupina ).

Obecněji, nechť M je modul nad R a S je multiplikativně uzavřený systém kruhu. Prvek m modulu M se nazývá S-torzní prvek, pokud existuje prvek multiplikativního systému, který anihiluje m . Zejména soubor pravidelných prvků prstence je největší multiplikativní systém.

Příklady

Nechť M je volný modul nad prstencem R , z definice okamžitě vyplývá, že M je modul bez torze. Zejména vektorové prostory jsou bez kroucení.
V modulární skupině má jakýkoli netriviální torzní prvek buď řád 2 a je konjugovaný k S , nebo má řád 3 a je konjugovaný k ST . Torzní prvky zde netvoří podskupinu: například S · ST = T a T má nekonečné uspořádání.
Abelovská skupina (kterou lze chápat jako skupinu rotací kruhu o úhel úměrný obvodu kruhu) je torzní skupina. Tento příklad lze zobecnit následovně: jestliže R je komutativní kruh a Q je jeho podílové pole , pak Q/R je torzní grupa. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Nechť vektorový prostor V je dán přes pole F s lineárním operátorem . Pokud přirozeně považujeme tento prostor za F(x) -modul, pak je tento modul torzním modulem (podle Hamilton-Cayleyovy věty, nebo jednoduše proto, že prostor je konečně-dimenzionální).

Případ domény hlavních ideálů

Nechť R je hlavní ideální doména a M konečně generovaný R - modul. Podle příslušné věty o struktuře lze tento modul rozložit na přímý součet

M\simeq F\oplus T(M),

kde F je volný R - modul a T ( M ) je torzní submodul M . U modulů, které nejsou definitivně generovány, takový rozklad obecně neexistuje: dokonce ani torzní podgrupa abelovské grupy nemusí být nutně přímým součtem.

Torze a lokalizace

Nechť R je doména integrity s polem zlomků Q a M modul R. Pak můžeme uvažovat Q -modul (tj. vektorový prostor)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

Existuje přirozený homomorfismus z abelovské grupy M do abelovské grupy M Q a jádrem tohoto homomorfismu je přesně torzní submodul. Podobně pro lokalizaci kruhu R vzhledem k multiplikativnímu systému S $a\mapsto a\otimes 1$

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

jádrem přirozeného homomorfismu jsou právě prvky S - torze. Torzní submodul lze tedy chápat jako soubor těch prvků, které jsou identifikovány při lokalizaci.

Torze v homologické algebře

Pojem kroucení hraje důležitou roli v homologické algebře . Jsou-li M a N moduly nad komutativním kruhem R , dává funktor Tor rodinu R -modulů Tor i ( M , N ). Navíc S -torzní modul modulu M je přirozeně izomorfní k Tor 1 ( M , R S / R ). Zejména z toho bezprostředně vyplývá, že ploché moduly jsou moduly bez zkrutu. Název Tor je zkratkou pro anglické torsion (torsion).

Literatura

Ernst Kunz , Úvod do komutativní algebry a algebraické geometrie, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Torzní submodul , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4