Kostka (algebra)

Kostka čísla je výsledkem zvýšení čísla na mocninu 3, tedy součin tří faktorů, z nichž každý je stejný. Tato aritmetická operace se nazývá „krychle“, její výsledek se značí : $X$ $X.$ $x^{3}$

x^{3}=x\cdot x\cdot x

Pro kvadraturu se inverzní operací bere odmocnina . Geometrický název třetího stupně „ kostka “ je způsoben skutečností, že staří matematici považovali hodnoty kostek za kubická čísla , speciální druh složených čísel (viz níže), protože kostka čísla je stejná na objem krychle s délkou hrany rovnou . $X$ $X$

Posloupnost kostek

Posloupnost kostek nezáporných čísel začíná čísly [1] :

0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 8000 15625, 17576, 19683, 4936, 42875, 4936, 42875, 4936, 42875, 4934, 42875, 3934, 4286, 3934, 4286, 3939, 4286, 3939, 3566, 3593, 3939, 3593, 3936, 29791, 3936, 29791. , 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736. 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Součet krychlí prvních kladných přirozených čísel se vypočítá podle vzorce: $n$

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left ({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}

Odvození vzorce

Vzorec pro součet krychlí lze odvodit pomocí násobilky a vzorce pro součet aritmetické posloupnosti [2] . Vezmeme-li v úvahu dvě násobící tabulky 5 × 5 jako ilustraci metody, budeme uvažovat o tabulkách velikosti n × n.

Tabulka násobení a kostky čísel

×	jeden	2	3	čtyři	5
jeden	jeden	2	3	čtyři	5
2	2	čtyři	6	osm	deset
3	3	6	9	12	patnáct
čtyři	čtyři	osm	12	16	dvacet
5	5	deset	patnáct	dvacet	25

Násobilka a aritmetický postup

×	jeden	2	3	čtyři	5
jeden	jeden	2	3	čtyři	5
2	2	čtyři	6	osm	deset
3	3	6	9	12	patnáct
čtyři	čtyři	osm	12	16	dvacet
5	5	deset	patnáct	dvacet	25

Součet čísel v k-té (k=1,2,…) vybrané oblasti první tabulky:

k^2+2 k\sum_{l=1}^{k-1} l=k^2+2k\frac{k(k-1)}{2}=k^3

A součet čísel v k-té (k=1,2,…) vybrané oblasti druhé tabulky, což je aritmetický postup:

k\sum_{l=1}^{n} l=k\frac{n(n+1)}{2}

Sečtením přes všechny vybrané oblasti první tabulky dostaneme stejné číslo jako sečtením přes všechny vybrané oblasti druhé tabulky:

\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=1}^nk\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\sum_ {k=1}^nk=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Některé vlastnosti

V desítkovém zápisu může krychle končit libovolným číslem (na rozdíl od čtverce )
V desítkovém zápisu mohou být poslední dvě číslice kostky 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 66, 69, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Závislost předposlední číslice kostky na poslední může být reprezentována jako následující tabulka:

poslední číslice	předposlední číslice
0	0
5	2, 7
4, 8	dokonce
2, 6	zvláštní
1, 3, 7, 9	žádný

Kostky jako složená čísla

„ Krychlové číslo “ bylo historicky vnímáno jako druh prostorových obrazných čísel . Může být reprezentován jako rozdíl druhých mocnin po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel [3] : $Q_{n}=n^{3}$ $T_{n}$

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2},n\geqslant 2

Důsledek: součet prvních kubických čísel se rovná druhé mocnině tého trojúhelníkového čísla: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Rozdíl mezi dvěma sousedními kubickými čísly je centrované hexagonální číslo .

Důsledek: součet prvních šestiúhelníkových čísel se středem je kubické číslo [3] . $n$ $Q_{n}$

Vyjádření kubického čísla pomocí čtyřstěnu [3] : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)))$

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, kde

n > 2.

Jeden z " Pollockových dohadů " (1850): každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše devíti kubických čísel. Poprvé tuto domněnku („ Waringův problém “) vyslovil Eduard Waring v roce 1770, dokázal ji Hilbert v roce 1909. K vyjádření daného čísla obvykle stačí sedm kostek, ale 15 čísel vyžaduje osm (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, sekvence OEIS9 A0 ), a dvě čísla potřebují všech devět: 23 a 239 [4] [5] .

Pokud je kromě sčítání povoleno i odčítání (nebo, což je totéž, jsou povoleny kostky záporných čísel ), stačí pět kostek. Například pro výše uvedené číslo 23, čtyři [5] [4] .:

23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{ 3}+1^{3}=8^{3}+8^{3}-10^{3}-1^{3}

Byla předložena hypotéza, že jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše čtyř krychlí (se znaménkem), ale to ještě nebylo prokázáno, ačkoli to bylo testováno na počítači pro čísla do 10 milionů. V roce 1966 , V. Demyanenko dokázal, že jakékoli celé číslo , kromě čísel ve tvaru 9n ± 4, může být reprezentováno jako součet čtyř kostek. Největší číslo, které nemůže být reprezentováno jako součet čtyř kostek, je 7373170279850 a existuje důvod se domnívat, že je to největší takové číslo [6] [4] .

Generující funkce kubických čísel má tvar [3] :

f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}};\quad |x|<1

Poznámky

↑ OEIS sekvence A000578 = Kostky: a (n) = n^3
↑ Rowe S. Geometrické cvičení s kusem papíru . - 2. vyd. - Oděsa: Matezis, 1923. - S. 68-70.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , str. 78-81.
↑ 1 2 3 Stuart, Ian . Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta = neuvěřitelná čísla profesora Stewarta. - M . : Alpina literatura faktu, 2016. - S. 79-81. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 231-232.
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Dodatek od. 7373170279850 (anglicky) // Mathematics of Computation : journal. - 2000. - Sv. 69 , č. 229 . - str. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Za stránkami učebnice matematiky: Aritmetika. Algebra. Geometrie . - M . : Vzdělávání, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole . - M . : Vzdělávání, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Odkazy

složená čísla
Figurate Numbers na MathWorld

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare