Lineární zobrazení

Lineární zobrazení je zobecnění lineární numerické funkce (přesněji funkce ) na případ obecnější sady argumentů a hodnot. Lineární zobrazení jsou na rozdíl od nelineárních zobrazení dostatečně dobře prostudována, což umožňuje úspěšně aplikovat výsledky obecné teorie, protože jejich vlastnosti nezávisí na povaze veličin. $y=kx$

Lineární operátor (transformace) je speciální případ lineárního zobrazení vektorového prostoru do sebe. [jeden]

Formální definice

Lineární zobrazení vektorového prostoru přes pole do vektorového prostoru přes stejné pole ( lineární operátor od do ) je zobrazení $PROTI$ $K$ $W$ $K$ $PROTI$ $W$

f\colon V\to W

splňující podmínku linearity [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alpha x)=\alpha f(x)

pro všechny a . $x,y\in V$ $\alpha \v K$

Jestliže a je stejný vektorový prostor, pak nejde jen o lineární zobrazení, ale o lineární transformaci . $PROTI$ $W$ $F$

Pokud je pravdivá pouze první vlastnost, pak se takové mapování nazývá aditivní .

Prostor lineárních zobrazení

Definujeme-li operace sčítání a násobení skalárem z hlavního pole jako $K$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

pak množina všech lineárních zobrazení od do je vektorový prostor, který se obvykle označuje jako $PROTI$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Ohraničené lineární operátory. Provozovatelská norma

Jestliže vektorové prostory a jsou lineárními topologickými prostory , to znamená, že jsou na nich definovány topologie , s ohledem na které jsou operace těchto prostorů spojité , pak lze definovat koncept omezeného operátoru: lineární operátor se nazývá ohraničený, pokud to trvá ohraničené množiny na ohraničené (zejména všechny spojité operátory jsou ohraničené ). Konkrétně v normovaných prostorech je množina omezená, pokud je omezena norma některého z jejích prvků; proto se v tomto případě o operátoru říká, že je omezený, pokud existuje číslo N takové, že . Lze ukázat, že v případě normovaných prostorů jsou spojitost a ohraničenost operátorů ekvivalentní. Nejmenší z konstant N , která splňuje výše uvedenou podmínku, se nazývá operátorová norma : $PROTI$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Axe\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup _{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{{\|x\ |=1}}{\|Sekera\|}.$

Zavedení normy operátorů nám umožňuje považovat prostor lineárních operátorů za normovaný lineární prostor (lze ověřit platnost odpovídajících axiomů pro zavedenou normu). Pokud je prostor Banach , pak prostor lineárních operátorů je také Banach. $W$

Inverzní operátor

Operátor se nazývá inverzní k lineárnímu operátoru, pokud platí následující vztah: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

Inverzní k lineárnímu operátoru je také lineární operátor. Jestliže je lineární spojitý operátor mapující jeden Banachův prostor (nebo F-prostor ) na jiný, pak je inverzní operátor také lineárním spojitým operátorem. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Lineární mapovací matice

Lineární mapovací matice je matice, která vyjadřuje lineární mapování na nějaké bázi . Pro jeho získání je potřeba ovlivnit zobrazení na bázových vektorech a do sloupců matice zapsat souřadnice získaných vektorů (obrázků bázových vektorů).

Matice zobrazení je podobná souřadnicím vektoru. V tomto případě je akce mapování na vektor ekvivalentní násobení matice sloupcem souřadnic tohoto vektoru na stejném základě.

Vyberme si základ . Nechť je libovolný vektor. Pak to může být rozšířeno na tomto základě: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf {x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

kde jsou souřadnice vektoru ve zvolené bázi. $x^{k}$ $\mathbf {x}$

Zde a níže se předpokládá sumace přes hloupé indexy .

Nechť je libovolné lineární zobrazení. Jednáme na obou stranách předchozí rovnosti, dostáváme $\mathbf {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

Také rozšíříme vektory ve zvoleném základu, dostaneme ${\mathbf {Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

kde je -tá souřadnice -tého vektoru z . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf {Ae}}_{k}$

Dosazením rozšíření do předchozího vzorce dostaneme

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ mathbf {e}}_{j}

Výraz , uzavřený v závorkách, není nic jiného než vzorec pro násobení matice sloupcem, a tak matice, když je vynásobena sloupcem , dostane za následek souřadnice vektoru , který vznikl akcí operátora na vektoru , který bylo nutné získat. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {Ax}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

Komentář: Pokud ve výsledné matici prohodíme pár sloupců nebo řádků, pak obecně řečeno dostaneme jinou matici odpovídající stejné množině základních prvků. Jinými slovy, předpokládá se, že pořadí základních prvků je přísně uspořádané. ${\mathbf {e}}_{k}$

Příklad transformace

Uvažujme jako příklad matici 2×2 následujícího tvaru

{\mathbf A}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,

lze si představit jako transformační matici jednotkového čtverce na rovnoběžník s vrcholy , , , a . Rovnoběžník zobrazený na obrázku vpravo získáme vynásobením matice A každým sloupcovým vektorem a . Tyto vektory odpovídají vrcholům jednotkového čtverce. $(0, 0)$ $(a,b)$ $(a+c,b+d)$ $(c,d)$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix))$

Následující tabulka uvádí příklady matic 2 × 2 přes reálná čísla s jejich odpovídajícími lineárními transformacemi R 2 . Modrá barva označuje původní souřadnicovou mřížku a zelená je transformovaná. Počátek souřadnic je označen černou tečkou. $(0, 0)$

Horizontální posun (m=1,25)	Horizontální odraz	Komprese [ neznámý výraz ] (r=3/2)	Homothety (3/2)	Rotace (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatrix}}$

Důležité speciální případy

Lineární forma je lineární zobrazení, pro které platí: $W=K$
$f\colon V\to K$
Lineární endomorfismus je lineární zobrazení, pro které(operátor): $V=W$
$f\dvojtečka V\to V$
Operátor identity (identity operator) je operátor, který mapuje každý prvek prostoru do sebe; norma takového operátoru je rovna jedné (pro normované prostory) $x\mapsto x$
Null mapping je operátor, který převádí každý prvekna null prvek. $PROTI$ $W$
Projektor je operátor, který každému přiřadíjeho projekci do podprostoru. $X$
Konjugované zobrazení na zobrazeníje zobrazenína, dané vztahem. $A\in L(V)$ $A^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
Samoadjungovaný operátor je operátor na Hilbertově prostoru , který se shoduje s jeho adjungovaným operátorem. Někdy se takovým operátorům říká hypermaximální Hermitian .
Hermitovský (nebo symetrický) operátor je operátordefinovaný na podprostoru Hilbertova prostoru tak, žepro všechny páryz domény definice. Pro všude definované operátory se tato vlastnost shoduje se samoadjunkcí. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x, y$ $A$
Unitární operátor je operátor, jehož doménou definice a rozsahu hodnot je celý prostor, který zachovává skalární součin; zvláště jednotný operátor zachovává normu jakéhokoli vektoru. Unitární inverzní operátor je stejný jako adjoint operátor; norma unitárního operátora je 1; v případě reálného pole K se unitární operátor nazývá ortogonální . $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Axe\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Související pojmy

Jádro lineárního mapováníje podmnožina, která se mapuje na nulu: $f\colon V\to W$ $PROTI$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Jádro lineárního mapování tvoří podprostor v lineárním prostoru .

PROTI

Následující podmnožina se nazývá obraz lineárního zobrazení : $F$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

Obraz lineárního zobrazení tvoří podprostor v lineárním prostoru .

W

Obraz podmnožiny [3] vzhledem k lineární transformaci A se nazývá množina . $M\podmnožina V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

Zobrazení z přímého součinu lineárních prostorů do lineárního prostoru se považuje za bilineární , pokud je lineární v obou svých argumentech. Přímé součinové mapování více lineárních prostorů se nazývá multilineární , pokud je lineární ve všech svých argumentech. $f\colon V\times U\to W$ $PROTI$ $W$ $U$ $f\dvojtečka A_{1}\times \tečky \times A_{n}\to B$
Operátor se nazývá lineární nehomogenní (nebo afinní ), pokud má tvar ${\tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

kde je lineární operátor a je vektor.

L

proti

Nechte _ O podprostoru se říká , že je invariantní pod lineárním zobrazením if [4] . $A: V až V$ $M\podmnožina V$ $\forall x\in M,Ax\in M$

Kritérium invariance. Dovolit být podprostor takový, že se rozkládá na přímý součet : . Pak je pod lineárním zobrazením invariantní tehdy a jen tehdy , kde je projekce do podprostoru .

M\podmnožina X

X

X=M\oplus N

M

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

ODPOLEDNE}

M

Faktorové operátory [5] . Nechť je lineární operátor a nechť je pod tímto operátorem invariantní podprostor. Podprostorem tvoříme podílový prostor . Potom je kvocientový operátor operátor působící podle pravidla: , kde je třída z podílového prostoru obsahující . $A: V až V$ $M$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $M$ $A^+$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Axe]$ $[Sekera]$ $Sekera$
Mezi duálními prostory je dáno zpětné duální mapování .

Příklady

Příklady lineárních homogenních operátorů:

operátor diferenciace: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
operátor integrace: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
operátor násobení určitou funkcí ; $\varphi (t)\dvojtečka y(t)=\varphi (t)x(t)$
integrační operátor s danou "váhou" $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
operátor pro převzetí hodnoty funkce v určitém bodě : [6] ; $F$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
vektor-maticový operátor násobení: ; $b=Ax$
vektorový rotační operátor .

Příklady lineárních nehomogenních operátorů:

Jakákoli afinní transformace ;
$y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+\varphi (t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

kde , , jsou dobře definované funkce a je to funkce transformovaná operátorem. $\varphi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Poznámky

↑ E.B. Vinberg. Kurz algebry. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 s. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , str. 203.
↑ M nemusí být podprostor.
↑ Nebo: . $AM\podmnožina M$
↑ Také se používají operátory pravopisných faktorů .
↑ Někdy se označuje jako $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Viz také

Literatura

Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.