Lambda matrice

Lambda matice ( λ-matice , matice polynomů ) je čtvercová matice, jejíž prvky jsou polynomy nad nějakým číselným polem . Pokud existuje nějaký prvek matice, který je polynomem stupně , a neexistují žádné prvky matice stupně větší než , pak je stupeň λ-matice. $\l$ $\l$ $\l$

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{ 21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{ n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l }+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

Pomocí obvyklých operací s maticemi lze libovolnou λ-matici reprezentovat jako:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}.

Pokud je determinant matice nenulový, pak se λ-matice nazývá regulární. ${\displaystyle \ A_{l))$

Příklad nepravidelné λ-matice:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2} +\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} }\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^ {2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

Algebra λ-matic

Sčítání a násobení

λ-matice stejného řádu lze mezi sebou běžným způsobem sčítat a násobit a výsledkem je další λ-matice.

Dovolit a být λ-matice řádů a respektive, a , Potom $A\left(\lambda\right)$ $B\left(\lambda\right)$ $\l$ $\m$ $\k=max(l,m)$

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

;

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_ {0}

kde alespoň jedna z matic je nenulová, máme ${\displaystyle \ A_{k},B_{k))$

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_ {k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})

;

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_ {k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_ {0})

;

Divize

Předpokládejme, že se jedná o pravidelnou λ-matici a že existují λ-matice se stupněm menším než stupněm nebo s takovým stupněm, že $\ B(\lambda )$ $\ Q(\lambda ),R(\lambda )$ $\ R(\lambda )\equiv 0$ $\ R(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

\ A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )

V tomto případě se nazývá pravý kvocient , když je dělen , a - pravý zbytek . Podobně a je levý kvocient a levý zbytek při dělení if $\ Q(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$ $\ R(\lambda )$ ${\hat {Q}}(\lambda )$ ${\hat {R}} (\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )

a nebo stupeň menší než stupeň . ${\hat {R}} (\lambda )\equiv 0$ ${\hat {R}} (\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Pokud je pravý (levý) zbytek 0, pak se nazývá pravý (levý) dělitel , když je děleno . $\ Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

Pokud je regulární, pak pravý (levý) kvocient a pravý (levý) zbytek, když je děleno , existují a jsou jedinečné. $\ B(\lambda )$ $\ A(\lambda )$ $\ B(\lambda )$

λ-matice s maticovými argumenty

Kvůli nekomutativnosti násobení matic, na rozdíl od vlastností obyčejného polynomu, pro λ-matici nelze napsat rovnost podobnou jako

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l} a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0}

tak definujeme správnou hodnotu λ-matice v matici jako $\ A(B)$ $\ A(\lambda )$ $\ B$

{\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0))

, jestliže ;

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

a vlevo hodnotu' jako: ${\hat {A}}(B)$

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+ A_{0}

a obecně . $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$

Bezoutova věta pro λ-matice

Pro λ-matice existuje vlastnost podobná Bezoutově větě pro polynomy: pravý a levý zbytek po dělení λ-matice , kde — matice identity je resp . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ E$ $\ A(B)$ ${\hat {A}}(B)$

Vlastnost je prokázána faktorizací:

\ \lambda ^{j}EB^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^ {j-1})(\lambdaEB)

když obě strany této rovnosti vynásobíme levou stranou a sečteme všechny získané rovnosti pro , bude pravá strana vypadat jako , kde je nějaká λ-matice. Levá strana rovnosti: ${\displaystyle \ A_{j))$ $\j=1,\cdots ,l$ $\ C(\lambda )(\lambda EB)$ $\ C(\lambda )$

\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\součet _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A (B)

Takto:

\ A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda EB)+A(B)

Výsledek nyní vyplývá z jedinečnosti pravého zbytku. Výrok pro levý zbytek se získá invertováním faktorů v původním rozkladu, vynásobením výsledku pravým a sečtením. ${\displaystyle \ A_{j))$

Důsledek: aby byla λ-matice beze zbytku dělitelná vpravo (vlevo), je nutné a postačující, aby . $\ A(\lambda )$ $\ \lambda EB$ $\ A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$

Literatura

Gantmakher F. R. teorie matice. - 2. vyd. - M .: Nauka , 1966.
Lancaster P. Teorie matice. — M .: Nauka, 1973.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný