Cartanová matrice

V matematice má termín Cartanova matice tři významy. Všechny jsou pojmenovány po francouzském matematikovi Elie Cartanovi . Ve skutečnosti byly Cartanovy matice v kontextu Lieových algeber poprvé prozkoumány Wilhelmem Killingem , zatímco forma Killing je způsobena Cartanem.

Lie algebry

Zobecněná Cartanova matice je čtvercová matice s celočíselnými položkami tak, že $A=(a_{ij})$

Diagonální prvky a ii = 2.
Mimodiagonální prvky . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ pokud a jen tehdy . $a_{ji}=0$
A lze zapsat jako DS , kde D je diagonální matice a S je symetrická .

Například Cartanovu matici pro G2 lze rozložit následovně :

\left [ \begin{smallmatic} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ konec{malá matice}\vpravo ] \levá [ \začátek{malá matice} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{malá matice}\vpravo ].

Třetí podmínka není nezávislá a je důsledkem první a čtvrté podmínky.

Vždy můžeme zvolit D s kladnými diagonálními prvky. V tomto případě, jestliže S v expanzi je kladně určitý , pak A je řekl, aby byl Cartan matice .

Cartanova matice jednoduché Lie algebry je matice, jejíž prvky jsou skalární součiny

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

(někdy nazývané Cartanova celá čísla ), kde r i je kořenový systém algebry . Prvky jsou celá čísla kvůli jedné z vlastností kořenového systému . První podmínka vyplývá z definice, druhá z toho, že for je kořen, což je lineární kombinace jednoduchých kořenů r i a r j s kladným koeficientem pro r j , a pak koeficient pro r i musí být non . -negativní. Třetí podmínka je pravdivá kvůli symetrii vztahu ortogonality . A nakonec ať a . Protože jednoduché kořeny jsou lineárně nezávislé, pak S je jejich Gramova matice (s faktorem 2), a proto je kladně definitní. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

A naopak, pokud je dána zobecněná Cartanova matice, lze najít odpovídající Lieovu algebru (viz podrobnosti v článku Kac-Moody Algebra ).

Klasifikace

Matice A o velikosti je rozložitelná , pokud existuje neprázdná podmnožina taková, že pro všechny a . A je nerozložitelné , pokud tato podmínka není splněna. $n\krát n$ $I \subset \{1,\tečky,n\}$ $a_{ij}=0$ $i\v I$ $j \notin I$

Nechť A je nerozložitelná zobecněná Cartanova matice. Říkáme, že A je konečného typu , pokud jsou všechny jeho hlavní minority kladné, že A je afinního typu , pokud jsou všechny jeho vlastní hlavní minority kladné a determinant A je 0, a že A je v opačném případě neurčitého typu.

Nerozložitelné matice konečného typu klasifikují jednoduché Lieovy grupy konečné dimenze (typu ), zatímco nerozložitelné matice afinního typu klasifikují afinní Lieovy algebry (přes některá algebraicky uzavřená tělesa s charakteristikou 0). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Determinanty Cartanových matic pro jednoduché Lieovy algebry

Determinanty Cartanových matic jednoduchých Lieových algeber jsou uvedeny v tabulce.

$A_{n}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n=6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
n +1	2	2	čtyři	9- n	jeden	jeden

Další vlastností tohoto determinantu je, že je roven indexu přidruženého kořenového systému, to znamená, že je roven , kde označují hmotnostní mřížku a kořenovou mřížku. $|P/Q|$ $P, Q$

Reprezentace konečně-dimenzionálních algeber

V teorii modulárních reprezentací a v obecnější teorii reprezentací konečně -dimenzionálních asociativních algeber , které nejsou semiprosté , je Cartanova matice definována uvažováním (konečné) množiny hlavních nerozložitelných modulů a zapsáním kompozičních řad pro ně z hlediska prvočíselných modulů , čímž se získá matice celých čísel obsahujících počet výskytů prvočísla.

Cartanovy matice v M-teorii

V M-teorii lze geometrii reprezentovat jako limit dvou cyklů , které se vzájemně protínají v konečném počtu bodů, protože plocha dvou cyklů má tendenci k nule. V limitě vzniká lokální skupina symetrie . Matice průsečíkových indexů dvoucyklové báze je hypoteticky Cartanovou maticí Lieovy algebry této lokální grupy symetrie [1] .

To lze vysvětlit následovně: v M-teorii existují solitony , což jsou dvourozměrné povrchy nazývané membrány nebo 2-brány . 2-brány mají napětí , a proto mají tendenci se smršťovat, ale mohou být obaleny kolem dvou cyklů, aby se zabránilo zhroucení membrán na nulu.

Je možné provést zhutnění jednoho rozměru, ve kterém jsou umístěny všechny dva cykly a jejich průsečíky, a stanovit mez, při které se rozměr zhroutí na nulu, čímž se dosáhne zmenšení tohoto rozměru. Pak dostaneme teorii strun typu IIA jako limitu M-teorie s dvoucyklovým obalem 2-brán, nyní reprezentovaných jako otevřené struny natažené mezi D-brany . Pro každou D-bránu existuje místní skupina symetrie U(1) , podobná stupňům volnosti pohybu bez přeorientování. Limit, kdy dva cykly mají plochu nula, je limit, kdy jsou tyto D-brány na sobě.

Otevřená struna natažená mezi dvěma D-bránami představuje generátor Lieovy algebry a komutátorem dvou takových generátorů je třetí generátor reprezentovaný otevřenou strunou, kterou lze získat slepením okrajů dvou otevřených strun. Další spojení mezi různými otevřenými řetězci závisí na způsobu, jakým se mohou 2-brány protínat v původní M-teorii, tedy na počtu dvoucyklových průniků. Lieova algebra tedy zcela závisí na těchto průsečíkových číslech. Spojení s Cartanovou maticí je navrženo, protože popisuje jednoduché kořenové komutátory , které jsou spojeny se dvěma cykly ve zvolené bázi.

Všimněte si, že generátory v Cartanově subalgebře jsou reprezentovány otevřenými řetězci, které jsou nataženy mezi D-bránou a stejnou branou.

Viz také

Poznámky

↑ Ashoke Sen. Poznámka o vylepšených symetriích měřidel v teorii M a strun // Journal of High Energy Physics. - IOP Publishing, 1997. - T. 1997 , no. 9 . - doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 .

Literatura

William Fulton, Joe Harris. Teorie reprezentace: První kurz. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - S. 334. - ( Absolventské texty z matematiky ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Úvod do Lieových algeber a teorie reprezentace. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Absolventské texty z matematiky ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Viktor G. Kac. Nekonečně dimenzionální Lie algebry. — 3. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Michiel Hazewinkel. Encyklopedie matematiky. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Cartan matrix (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .