Gromov-Hausdorffova metrika

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. října 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Gromov-Hausdorffova metrika je způsob, jak určit vzdálenost mezi dvěma kompaktními metrickými prostory . Přesněji, je to metrika na množině izometrických tříd kompaktních metrických prostorů.

Tuto metriku zavedl Edwards v roce 1975 [1] [2] a poté ji znovu objevil a zobecnil M. L. Gromov v roce 1981 [3] . Gromov použil tuto metriku ve svém důkazu věty o grupách polynomiálního růstu .

Definice

Gromov-Hausdorffova vzdálenost mezi izometrickými třídami kompaktních metrických prostorů a je definována jako nejmenší infimum Hausdorffových vzdáleností mezi jejich obrazy pod globálně izometrickými vloženími a ve společném metrickém prostoru . V tomto případě se infimum bere jak přes všechna globálně izometrická vložení, tak přes všechny prostory . $X$ $Y$ $X\hookrightarrow Z$ $Y\hookrightarrow Z$ $Z$ $Z$

Ekvivalentně lze definovat Gromov-Hausdorffovu vzdálenost jako nejmenší infimum Hausdorffových vzdáleností mezi a v disjunktním spojení vybaveném metrikou tak, že omezení na se shoduje s metrikou na a omezení na se shoduje s metrikou na . V tomto případě je přesná spodní hranice převzata ze všech těchto metrik . $X$ $Y$ $X\sqcup Y$ $\rho$ $\rho$ $X$ $X$ $\rho$ $Y$ $Y$ $\rho$

Komentáře

Často se vynechávají slova "izometrická třída", to znamená, že místo "vzdálenost Gromov-Hausdorff mezi izometrickými třídami a " říkají "vzdálenost Gromov-Hausdorff mezi a ". $X$ $Y$ $X$ $Y$
Vzdálenost mezi izometrickými třídami a je obvykle označena nebo . $X$ $Y$ $d_{GH}(X,Y)$ $|X,Y|_{GH}$
Množina izometrických tříd kompaktních metrických prostorů vybavených Gromov-Hausdorffovou metrikou se obvykle označuje , nebo . $GH$ ${\mathcal {M}}$ $\mathfrak{M}$
Správná třída metrických prostorů až do izometrií je označena . ${\mathcal {GH))$

Související definice

Posloupnost izometrických tříd kompaktních metrických prostorů konverguje k izometrické třídě kompaktního metrického prostoru , pokud $X_n$ ${\displaystyle X_{\infty ))$ $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ $n\to\infty$

Vlastnosti

Metrický prostor je spojen s cestou , je úplný , oddělitelný . $GH$
- Navíc je
geodetický [4] ; to znamená, že jakékoli dva jeho body jsou spojeny nejkratší křivkou, jejíž délka je rovna vzdálenosti mezi těmito body. $M$

Gromov-Hausdorffův prostor je globálně nehomogenní; to znamená, že jeho skupina izometrií je triviální [5] , ale lokálně existuje mnoho netriviálních izometrií [6] .

GH

Prostor je izometrický k prostoru tříd kongruence kompaktních podmnožin Urysohnova prostoru s Hausdorffovou metrikou až do pohybu . [7]

GH

{\mathcal {U}}

{\mathcal {U}}

Jakákoli zcela jednotně ohraničená rodina metrických prostorů je v Gromovově-Hausdorffově metrice relativně kompaktní.

O rodině metrických prostorů se říká , že je zcela rovnoměrně ohraničená , pokud jsou průměry všech prostorů v této rodině ohraničeny stejnou konstantou a pro všechny existuje kladné celé číslo , takže jakýkoli prostor z připouští -síť nanejvýš bodů. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$
Tato vlastnost zejména implikuje Gromovův teorém kompaktnosti , který je analogický s Blaschkeho teorémem o výběru pro Hausdorffovu metriku.

Variace a zobecnění

V definici je možné nahradit kompaktnost konečností průměru, ale v tomto případě budeme definovat metriku na třídě objektů (a ne na množině). To znamená, že formálně řečeno, třída všech izometrických tříd metrických prostorů s konečným průměrem , vybavená Gromov-Hausdorffovou metrikou, není metrickým prostorem.
Pokud dovolíme, aby metrika nabyla hodnoty , pak můžeme také odmítnout konečnost průměru. $\infty$

Poznámky

↑ D. Edwards, „ The Structure of Superspace Archived 4. March 2016 at the Wayback Machine “, v „Studies in Topology“, Academic Press, 1975
↑ A. Tuzhilin, " Kdo vynalezl vzdálenost Gromov-Hausdorff?" Archivováno 20. prosince 2016 na Wayback Machine (2016)", arXiv: 1612.00728
↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematics IHÉ.S. , 53, 1981 Archivováno 29. listopadu 2016.
↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf >
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Archivováno 13. června 2018 na Wayback Machine
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Archivováno 13. června 2018 na Wayback Machine
↑ A. Petrunin. Čistá metrická geometrie : úvodní přednášky . — 2020. arXiv : 2007.09846

Literatura

M. Gromov . Structures metriques pour les variétés riemanniennes, editovali Lafontaine a Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Metrické struktury pro riemannovské a neriemannovské prostory , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (překlad s dalším obsahem).
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Kurz metrické geometrie. - M., Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .