Gegenbauerovy polynomy

Gegenbauerovy polynomy
obecná informace
Vzorec	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lpodlaží n/2\rpodlaží }{\frac {(-1)^{k}(\ alfa )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
Skalární součin	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Doména	$[-1,1]$
doplňkové vlastnosti
Diferenciální rovnice	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alpha )f=0$
Norma	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha ) }{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}$
Pojmenoval podle	Leopold Gegenbauer

Gegenbauerovy polynomy nebo ultrasférické polynomy v matematice jsou polynomy ortogonální na intervalu [−1,1] s váhovou funkcí . Mohou být explicitně reprezentovány jako ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

kde je funkce gama a označuje celočíselnou část čísla n/2 . $\Gamma (s)$ $\lfloor n/2\rfloor$

Gegenbauerovy polynomy jsou zobecněním Legendreových a Čebyševových polynomů a jsou speciálním případem Jacobiho polynomů . Také Gegenbauerovy polynomy souvisí s reprezentací speciální ortogonální grupy [1] . Jsou pojmenovány po rakouském matematikovi Leopoldu Gegenbauerovi (1849-1903). $SO(n)$

Generování funkce a dílčích hodnot argumentu

Gegenbauerovy polynomy lze definovat pomocí generující funkce [2] :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Protože se generující funkce při současném nahrazení , , nemění $z\to -z$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

z čehož vyplývá, že pro sudé n obsahují Gegenbauerovy polynomy pouze sudé stupně z a pro liché n pouze liché stupně z .

Pomocí generující funkce lze získat hodnoty Gegenbauerových polynomů při z=1 az =0 jako expanzní koeficienty , respektive: ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha ))$ ${\displaystyle (1+t^{2})^{-\alpha ))$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(pro sudé n ), (pro liché n ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

kde se používá standardní označení symbolu Pochhammer ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Opakující se vztah a speciální případy

Gegenbauerovy polynomy splňují následující rekurentní vztah , který lze použít ke konstrukci polynomů s : $n\geq 2$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].

Zejména [3] ,

{\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}

a tak dále.

Diferenciální rovnice a vztah k jiným funkcím

Gegenbauerovy polynomy splňují Gegenbauerovu diferenciální rovnici [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

Když je tato rovnice redukována na Legendrovu diferenciální rovnici a v souladu s tím se Gegenbauerovy polynomy redukují na Legendreovy polynomy . $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$

Gegenbauerovy polynomy mohou být vyjádřeny v termínech konečné hypergeometrické řady

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\vpravo).

Gegenbauerovy polynomy jsou speciálním případem Jacobiho polynomů c : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).

Derivace Gegenbauerova polynomu je vyjádřena jako polynom s posunutými indexy

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alpha +1)}(z).

Mohou být vyjádřeny pomocí Rodriguesova vzorce

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right ] .

Ortogonalita a normalizace

Pro daný , Gegenbauerovy polynomy jsou ortogonální na intervalu [−1,1] s váhovou funkcí , tj. (pro n ≠ m ) [5] , $\alpha$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

Jsou normalizovány jako [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.

Complex Argument Case

Jestliže , kde a jsou reálné proměnné (a je také reálné), pak reálné a imaginární části Gegenbauerových polynomů lze vyjádřit následovně: $z=x+{\rm {i}}y$ $X$ $y$ $\alpha$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lpatro n/2\rpatro }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lpatro (n-1)/2\rpatro }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Viz také

Poznámky

↑ Vilenkin, 1991 , str. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , str. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , str. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , str. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , str. 441.

Literatura

Suetin PK Klasické ortogonální polynomy . - M. : Fizmatlit, 2007. - 480 s. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Speciální funkce a teorie reprezentace skupin / Ch. vyd. Fyzikální matematika lit. - 2. vyd., opraveno. — M .: Nauka, 1991. — 576 s. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Viz kapitola 22

Odkazy

Gegenbauer Function , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Gegenbauerův polynom , MathWorld - mathworld.wolfram.com

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy