Čebyševovy polynomy

Čebyševovy polynomy prvního druhu
obecná informace
Vzorec	$T_{n}(x)=\součet _{{k=0}}^{{\lpatro n/2\rpatro }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
Skalární součin	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Doména	$[-1,1]$
doplňkové vlastnosti
Pojmenoval podle	Čebyšev, Pafnuty Lvovič

Čebyševovy polynomy druhého druhu
obecná informace
Vzorec	$U_{n}(x)=\součet _{{k=0}}^{{\lpatro n/2\rpatro }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
Skalární součin	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Doména	$[-1,1]$
doplňkové vlastnosti
Pojmenoval podle	Čebyšev, Pafnuty Lvovič

Čebyševovy polynomy - dvě sekvence ortogonálních polynomů pojmenované po Pafnuty Lvovich Chebyshev : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\tečky \},$

Čebyševův polynom prvního druhu je charakterizován jako polynom stupně s nejvyšším koeficientem , který se nejméně ze všech odchyluje od nuly na intervalu . Nejprve zvažoval sám Čebyšev. $T_{n}(x)$ $n$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

Čebyševův polynom druhého druhu je charakterizován jako polynom stupně s nejvyšším koeficientem , jehož integrál absolutní hodnoty nad segmentem nabývá nejmenší možnou hodnotu. Poprvé zvažováno ve společné práci dvou studentů Čebyševa - Korkina a Zolotareva . $U_{n}(x)$ $n$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Čebyševovy polynomy hrají důležitou roli v teorii aproximace , protože kořeny Čebyševových polynomů prvního druhu se používají jako uzly v interpolaci algebraickými polynomy .

Definice

Opakující se vzorce

Čebyševovy polynomy prvního druhu lze definovat pomocí rekurzivního vztahu : $T_{n}(x)$

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Čebyševovy polynomy druhého druhu lze definovat pomocí rekurzivního vztahu: $U_{n}(x)$

U_{0}(x)=1

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Explicitní vzorce

Čebyševovy polynomy jsou řešením Pellovy rovnice :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

v kruhu polynomů s reálnými koeficienty a splňují identitu:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^ {n}.

Poslední identita také zahrnuje explicitní vzorce:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\součet _{{k=0}}^{{\lpodlaží n/2\rpodlaží }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{{k=0}}^{{\lpatro n/2\ patro }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Poměry

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

těch. Čebyševovy polynomy prvního druhu s pravidlem násobení tvoří pologrupu izomorfní k multiplikativní pologrupě nezáporných celých čísel. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\times T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Trigonometrická definice

Čebyševovy polynomy prvního druhu lze také definovat pomocí rovnosti $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

nebo téměř ekvivalentně,

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Čebyševovy polynomy druhého druhu lze také definovat pomocí rovnosti $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Příklady

Několik prvních Čebyševových polynomů prvního druhu

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Několik prvních Čebyševových polynomů druhého druhu

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Vlastnosti

Čebyševovy polynomy mají následující vlastnosti:

Polynomy sudých stupňů jsou sudé funkce , liché - liché funkce.
Součet koeficientů Čebyševových polynomů prvního druhu je 1 a koeficientů polynomů druhého druhu je . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonalita vzhledem k odpovídajícímu vnitřnímu součinu (s váhou pro polynomy prvního druhu a pro polynomy druhého druhu). ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2))))$ ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2))))$
Mezi všemi polynomy, jejichž hodnoty na intervalu nepřesahují 1 v absolutní hodnotě, má Čebyševův polynom: $[-1,1]$
- největší seniorský koeficient,
- největší hodnotu v jakémkoli místě mimo , $[-1,1]$
- if , pak , kde je koeficient Čebyševova polynomu prvního druhu, je koeficient kteréhokoli z uvažovaných polynomů. $n\ekviv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $t_k$ $a_{k}$
Nuly Čebyševových polynomů jsou optimálními uzly v různých interpolačních schématech. Například v metodě diskrétních znaků, která se často používá při studiu integrálních rovnic v elektrodynamice a aerodynamice.
Na koncích a uprostřed segmentu platí následující vztahy: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{aligned}}$
Čebyševův polynom prvního druhu stupně N je speciální případ Lissajousových obrazců s poměrem frekvencí rovným N a amplitudou obou signálů rovnou 1.
Čebyševovy polynomy prvního a druhého druhu odpovídají dvojici Lucasových posloupností a s parametry : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ $(P,Q)=(2x,1)$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
Čebyševův polynom prvního druhu stupně má největší délku oblouku na segmentu ve třídě ze všech polynomů stupně nejvýše takovou, že maximum jejich modulu na tomto segmentu nepřesahuje a není shodně rovno konstantě [1 ] $n$ $[-1,1]$ $n$ $jeden$

Aplikace

Teorie aproximace

Čebyševovy polynomy prvního druhu se používají pro aproximaci funkcí (Čebyševova řada), pokud jsou jiné metody výpočtu funkce časově náročné nebo je neznámá její analytická forma (např. je-li funkce dána tabulkou sestavenou na na základě experimentálních dat). K tomu musí být definiční obor aproximované funkce poměrně jednoduchým způsobem, například lineárně mapován na interval ortogonality aproximačních polynomů, v tomto případě je to . Například pro funkci definovanou tabulkou: $[-1,1]$

l\dvojtečka X_{i}\to [-1,1],

kde je lineární zobrazení, je doménou definice bodů. $l$ $X_{i}$

Aproximaci spojitě daných funkcí získáme vyřazením členů Čebyševovy řady, jejichž hodnota je menší než požadovaná chyba výsledku. Aproximační funkci lze také zapsat jako polynom v . Na rozdíl od aproximací získaných pomocí jiných mocninných řad tato aproximace minimalizuje počet členů potřebných k aproximaci funkce pomocí polynomu s danou přesností. S tím souvisí i vlastnost, že aproximace na základě Čebyševovy řady se ukazuje být docela blízko nejlepší jednotné aproximaci (mezi polynomy stejného stupně), ale snáze se hledá. $X$

Příklad mapování , které mapuje daný interval na oblast ortogonality polynomů, $l$

l\colon [x_{\text{min)),x_{\text{max))]\to [-1,1],

může být funkce

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min }}}}.

Výpočet anténních polí

Čebyševovy polynomy se používají k výpočtu anténního pole . Vyzařovací výkon každé antény se vypočítá pomocí Čebyševových polynomů. To vám umožňuje ovládat tvar vyzařovacího diagramu , nebo spíše poměr amplitudy hlavního a postranního laloku.

Aplikace v teorii filtrace

Čebyševovy polynomy se také používají v teoretické konstrukci filtrů . V obecném vzorci pro amplitudově-frekvenční charakteristiku

$\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\right)}}}$

jako vyjádření tvaru nebo je nahrazeno , kde je index zvlnění, získávající frekvenční charakteristiku Čebyševových filtrů řádu I nebo II . $f(x)$ $\varepsilon T_{n}(x)$ $\left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1}$ $\varepsilon$ $n$

Variace a zobecnění

Otázkou polynomů minimální normy s pevnými koeficienty na dvou vyšších stupních se Zolotarev zabýval později , jím nalezené polynomy se nazývají Zolotarevovy polynomy .
Faberovy polynomy

Poznámky

↑ Bakan A. O jedné extremální vlastnosti Čebyševových polynomů // Matematika dnes. Vědecký sborník / Ed. prof. A. Ya. Dorogovtseva . - Kyjev, škola Vishcha, 1982. - S. 167-172.

Literatura

Vasil'ev, N. Čebyshev polynomy a rekurentní vztahy / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - č. 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Functions of Mathematical Physics / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et al. ] . — M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Čebyševovy polynomy a jejich inverze // Matematické vzdělávání . - 2013. - Vydání. 17. - S. 93-106.
Přednáška 7 v Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Mathematical divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy