Model systému Axiom
Model axiomového systému je jakýkoli matematický objekt , který odpovídá danému axiomovému systému . Pravdivost systému axiomů lze dokázat pouze sestrojením modelu v rámci jiného systému axiomů, který je považován za „pravdivý“. Kromě toho vám model umožňuje vizuálně demonstrovat některé rysy této axiomatické teorie .
O axiomatických teoriích
Axiomatická teorie je konstruována následovně: je představeno několik základních objektů (v planimetrii jsou to bod , přímka , rovina , „patří“, „je mezi“ a pohyb ). Tyto objekty nedostávají definice , ale je postulováno množství axiomů , které vysvětlují vlastnosti těchto objektů.
Axiomatická teorie výslovně neříká, zda existují body, linie a roviny. Jsou tedy možné dvě možnosti:
- Ze systému axiomů budou odvozena dvě protikladná tvrzení. Takový systém se nazývá nekonzistentní – to znamená, že neexistují body, přímky a roviny, což znamená, že neexistuje ani planimetrie.
- Bude postavena nějaká matematická konstrukce (například na základě aritmetiky ), v rámci které budou definovány "body", "přímky" a "rovina". Toto bude planimetrický model. Konstrukce modelu potvrzuje, že systém axiomů je konzistentní.
(ve skutečnosti to druhé platí pro planimetrii, viz níže.)
Příklady
Model formální logiky v rámci Booleovy algebry
- "Proměnné" jsou booleovské proměnné z množiny {0,1}.
- Znaménka a jsou odpovídající operace booleovské algebry.
Dosazením všech možných A, B, C do axiomů zajistíme, že všechny axiomy v tomto modelu platí. Pravdivost modus ponens je testována stejným způsobem .
Model planimetrie v rámci aritmetiky
"Bod" je dvojice reálných čísel .
"Line" - všechny body, pro které , kde a nejsou rovny 0 současně.
"Rovina" - všechny možné dvojice reálných čísel .
Lobačevského geometrický model z hlediska planimetrie
Nejzajímavějším modelem Lobačevského geometrie je Poincarého model. "Rovina" je vnitřek kruhu , "bod" je bod a "rovina" je přímka nebo oblouk kolmý na kružnici. Úhly jsou uvažovány jako v Euklidově geometrii.
Fyzikální význam modelu je následující. Nechť se rychlost světla v kulatém "světě" podle zákona změní z c ve středu na nulu na okrajích (což znamená, že index lomu bude ve středu a na okrajích 1). Pak se světlo bude pohybovat po obloucích kolmých k hranici, ale nedosáhne hranice v konečném čase. Obyvatelům se tento „svět“ bude zdát nekonečný a Lobačevského geometrii vezmou na věrnost.
