Husté balení stejných koulí

Ilustrace hustého uspořádání stejných koulí do mřížek HP (HPC) (vlevo) a FCC (vpravo)
FCC těsnění uvažováno ve směru os symetrie 4. řádu
Samostatná vrstva hustého obalu
Je zobrazeno stohování jedenácti kuliček mřížky GP (GPU) . HP(HPC) pokládka se liší od horních tří vrstev FCC pokládky na obrázku níže pouze ve spodní vrstvě. Lze jej převést na fcc stohování otočením nebo posunutím jedné z vrstev. Ve skutečném krystalu velké velikosti se to za určitých podmínek také může stát (jde o fázový přechod ).
Několik vrstev FCC pokládky. Všimněte si, jak jsou sousední koule podél každé hrany pravidelného čtyřstěnu umístěny vůči sobě navzájem a porovnejte je s HP (HPC) balením na obrázku výše.

Husté zabalení stejných koulí je takové uspořádání identických nepřekrývajících se koulí v prostoru, ve kterém je podíl prostoru obsazeného vnitřními oblastmi těchto koulí ( hustota balení ) maximální, stejně jako problém kombinatorické geometrie o nalezení tohoto balení [1] .

Carl Friedrich Gauss dokázal , že nejvyšší hustoty balení , které lze dosáhnout jednoduchým pravidelným balením ( mřížkou ) je

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2))))\simeq 0,74048.

Této hustoty je dosaženo v ucpávkách v plošně centrovaných kubických (fcc) a hexagonálních uzavřených (HP, HCP [2] ) mřížkách (viz níže). Keplerova domněnka uvádí, že toto balení má nejvyšší hustotu ze všech možných kulových balení, pravidelných i nepravidelných. Tuto hypotézu dokázal T. K. Halespo mnoha letech programování výpočtů nezbytných pro důkaz [3] [4] .

Lattices fcc a GP (GPU)

HCC		GPU (GPU)

FCC balíček může být orientován různými způsoby a v závislosti na orientaci má jeho jednotlivá vrstva čtvercový nebo trojúhelníkový obal. To lze vidět z kuboktaedru s 12 vrcholy představujícími polohy středů 12 koulí kolem centrální koule. HP (HPC) -těsnění lze považovat za vrstvy sbalené do trojúhelníkového obalu, kde koule sousední vrstvy jsou umístěny ve vrcholech třísklonné rovné oboustranné kopule procházející středy koule této vrstvy.
Porovnání FCC a HP (HPC) balíčků

Obal HP (HPC) (vlevo) a obal FCC (vpravo). Obrysy příslušných mřížek Bravais jsou znázorněny červeně. Písmena ukazují, které vrstvy v obalu se shodují (nedochází k vzájemnému posunu v horizontální rovině): např. v obalu HP (HPC) nad vrstvou A je vrstva B a nad ní opět vrstva A, v ve kterých jsou koule ve stejných polohách, jako na jiných vrstvách A. Na obalu fcc jsou zobrazeny tři vrstvy a všechny jsou různé: nad vrstvou A je B, nad B je C a pouze nad C je opět A. ) balení stříháním vrstev, jak je znázorněno tečkovanou čarou.

Existují dvě jednoduché pravidelné mřížky, na kterých je dosaženo maximální průměrné hustoty. V závislosti na symetriích mřížky se nazývají kubické centrované na obličej ( fcc ) (nebo kubické těsně sbalené ) a šestiúhelníkové těsně sbalené ( HP nebo HCP = Hexagonal close-packed cell or lattice) . Obě mřížky jsou založeny na vrstvách koulí se středem ve vrcholech trojúhelníkového obkladu. Obě mřížky mohou být reprezentovány jako stoh identických listů, uvnitř kterých jsou koule uspořádány v trojúhelníkové mřížce (těsně sbalené vrstvy); FCC a HP (HCP) se liší vzájemnou polohou těchto listů.

Fcc mřížka v matematice je známá jako mřížka generovaná kořenovým systémem A 3 [5] . V anglické literatuře se tento typ buněk nazývá face-centered cubic ( fcc ). HP (HPC) mřížka se v anglické literatuře nazývá hexagonal close-packed ( hcp ).

Umístění a mezery

Vezmeme-li jednu z těsně nahromaděných vrstev kuliček jako referenční bod, můžeme zbytek rozdělit na různé typy podle toho, jak jsou umístěny vzhledem k první vrstvě z hlediska horizontálního posunu. Existují tři takové typy a běžně se označují jako A, B a C.

Vzhledem k úrovni s koulí A (viz obrázek vlevo "Porovnání balení fcc a hp (hcp)") jsou možné různé polohy kuliček B a C. Libovolné pořadí poloh A, B a C ve vrstvách bez opakování v sousedních vrstvách je možné a poskytuje balení stejné hustoty.

Nejsprávnější balení:

FCC = ABCABCA (hladiny se shodují po dvou);
GP (GPU) = ABABABA (úrovně se shodují v jedné).

Stejné hustoty uložení lze však dosáhnout alternativním vrstvením stejných hustých výplní kuliček v rovině, včetně struktur, které jsou aperiodické ve směru vrstev na sebe. Existuje nespočetné množství nepravidelných uspořádání rovin (např. ABCACBABABAC…), kterým se někdy říká „Barlowovy obaly“, pojmenované po krystalografovi Williamu Barlowovi [6] .

Při těsném sbalení je vzdálenost mezi středy koulí v rovině těsně utěsněné vrstvy rovna průměru koule. Vzdálenost mezi středy koulí v průmětu na osu kolmou k těsně utěsněné vrstvě je rovna

{\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\cca 0,81649658d,

kde d je průměr koule. Vyplývá to z čtyřstěnného uspořádání těsně na sebe naskládaných koulí.

V rozložení FCC i HPC (HCP) má každá koule dvanáct sousedů (jinými slovy, koordinační číslo jakékoli koule v nich je 12). Kolem koule jsou prázdné plochy obklopené šesti koulemi (oktaedrické) a menší prázdné plochy obklopené čtyřmi koulemi (tetraedrické). Vzdálenosti do středů těchto prázdných oblastí od středů okolních koulí jsou stejné pro čtyřstěnné a √2 pro oktaedrické [Comm 1 ] ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2))))$ mezery, pokud je poloměr koule roven 1. FCC náplň se získá umístěním kuliček přes oktaedrické dutiny v další vrstvě, HP (HCP) - přes některé čtyřstěnné.

Příhradová konstrukce

Když se vytvoří jakákoliv mřížka balící koule, je třeba poznamenat, že pokud se dvě koule dotknou, lze nakreslit čáru ze středu jedné koule do středu druhé koule a tato čára prochází bodem kontaktu. Vzdálenost mezi středy - nejkratší cesta mezi body - je právě na této přímce, takže tato vzdálenost je rovna r 1 + r 2 , kde r 1 je poloměr jedné koule a r 2 je poloměr druhé. V těsném balení mají všechny koule stejný poloměr r , takže vzdálenost mezi středy je jednoduše 2r .

Jednoduchá HP(HPC)-mříž

Aby se vytvořila ABAB-… hexagonální hustá náplň koulí, souřadnice bodů mřížky budou středy koulí výplně. Předpokládejme, že cílem je naplnit krabici koulemi podle schématu HP(HPC). Krabice je umístěna v souřadnicovém systému x - y - z .

Nejprve vytvoříme řadu koulí; jejich středy budou ležet na stejné přímce. Hodnoty souřadnic x se změní o 2 r , protože vzdálenost mezi středy dvou dotýkajících se koulí je 2 r . Pro tyto kuličky budou souřadnice y a z stejné. Pro jednoduchost předpokládáme, že souřadnice y a z kuliček první řady jsou rovny r , což odpovídá umístění povrchů kuliček v rovinách s nulovými souřadnicemi y a z . Souřadnice kuliček první řady tedy budou vypadat takto ( r , r , r ), (3 r , r , r ), (5 r , r , r ), (7 r , r , r ), … .

Nyní vytvoříme druhou řadu koulí. Středy budou opět ležet na přímce a souřadnice x se budou lišit o 2 r , ale koule budou posunuty podél osy o r , takže souřadnice x jejich středů se budou rovnat souřadnicím bodů kontaktu kuliček první řady. Protože se každá koule z nové řady dotýká dvou koulí ze spodní, tvoří jejich středy se středy sousedních koulí rovnostranné (pravidelné) trojúhelníky. Všechny délky stran se budou rovnat 2 r , takže rozdíl mezi řadami podél souřadnice y bude √ 3 r . To znamená, že druhý řádek bude mít souřadnice

\left(2r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(4r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(6r, r+{\sqrt {3}}r,r\vpravo),\ \left(8r,r+{\sqrt {3}}r,r\vpravo),\tečky .

Další řada koulí sleduje tento vzor a posune řadu podél osy x o r a podél osy y o √ 3 r . Přidáváme řádky, dokud nedosáhneme okraje krabice.

V balení ABAB-… budou mít roviny koulí s lichým číslem přesně stejné souřadnice x a y ; mění se pouze souřadnice z , což platí i pro sudé roviny . Oba typy rovin jsou vytvořeny podle stejného schématu, ale poloha první koule první řady se bude lišit.

Použijeme konstrukci popsanou výše jako vrstvu A. Umístěte kouli na tuto vrstvu tak, aby se dotýkala tří koulí vrstvy A. Tyto tři koule se již vzájemně dotýkají a tvoří rovnostranný trojúhelník. Protože tyto tři koule jsou tečné k přidané kouli, tvoří čtyři centra pravidelný čtyřstěn [7] se všemi stranami rovnými 2 r . Výška tohoto čtyřstěnu je rozdíl v souřadnicích z mezi dvěma vrstvami a je rovna . Kombinace se souřadnicemi x a y dává středy první řady roviny B: ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

\left(2r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(4r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \ left(6r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left( 8r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\tečky .

Souřadnice druhého řádku se řídí vzorem popsaným výše:

\left(r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right) ,\ \left(3r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(5r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\tečky .

Rozdíl souřadnic z k další vrstvě A je opět roven a souřadnice x a y se rovnají souřadnicím první vrstvy A [8] . ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

Obecně lze souřadnice středů zapsat jako:

{\begin{bmatrix}1+2i+((j\ +\ k){\bmod {2)))\\1+{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{ 3}}(k{\bmod {2}})\vpravo]\\1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r

kde i , j a k jsou indexy x , y a z (založené na nule) a „ a mod b “ znamená „vzít zbytek“ po dělení . $A$ $b$

Varianty a zobecnění

Prostory jiných dimenzí

Lze uvažovat o podobném problému hustého shlukování hyperkoulí (nebo kruhů) v euklidovském prostoru o rozměru jiné než 3. Zejména ve dvourozměrném euklidovském prostoru je nejlepší výplň umístit středy kruhů do vrcholů parkety . tvořená pravidelnými šestiúhelníky , ve kterých je každý kruh obklopen šesti dalšími. Právě z takových vrstev se staví obaly fcc a GP (HCP). Hustota tohoto balíčku:

{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\cca 0,9069

[1] .

V roce 1940 bylo prokázáno, že toto balení je nejhustší.

V roce 2016 vyřešila ukrajinská matematička Marina Vjazovskaja problém balení kuliček ve dvou prostorech s vyšší dimenzí — osmirozměrném [9] [10] [11] a spoluautorem ve 24-rozměrném [12] [13] . Řešení osmirozměrného případu Vjazovskaja má pouze 23 stran a je „ohromující jednoduché“ [13] ve srovnání s 300 stranami textu a 50 000 řádky kódu, aby dokázalo Keplerovu domněnku [14] pro trojrozměrný prostor.

Nejvyšší hustota je známa pouze pro rozměry prostoru 1 (těsné balení), 2 ( trojúhelníková mřížka ), 3 (fcc, HP (HCP) a další výplně postavené z trojúhelníkových mřížkových vrstev), 8 ( mřížka E8 ) a 24 ( mřížka Leach ) [15] .

Doplnění zbývajícího místa

Výplně fcc a fcc (hcp) jsou nejhustší známé výplně identických koulí s maximální symetrií (nejmenší jednotka opakování). Jsou známy bližší obaly kuliček , ale používají koule různých průměrů. Balení s hustotou 1, která zcela vyplňují prostor, vyžadují nekulová tělesa, jako jsou plástve , nebo nekonečný počet koulí v konečném objemu ( Apollónova mřížka ).

Voštiny

Nahradíme-li každý bod dotyku dvou koulí hranou spojující středy kontaktních koulí, dostaneme čtyřstěny a osmistěny se stejnou délkou stran. FCC stohování dává čtyřstěnné-oktaedrické plástve . HP (HPC) stohování poskytuje rotované čtyřstěnné-oktaedrické plástve . Pokud je místo toho jakákoliv koule rozšířena o body, které jsou k ní blíže než k jakékoli jiné kouli, získají se duální plástve - kosočtverečné dvanáctistědné plástve pro FCC a trapecerombické dvanáctistěnné plástve pro HP.

Kulovité bubliny v mýdlové vodě podle schématu FCC nebo HCP (HCP), když voda mezi bublinami vyschne, mají také podobu rombododekaedrických nebo trapecerombických dvanáctistěnných voštin . Takové FCC nebo HP (HPC) pěny s velmi nízkým obsahem kapaliny jsou však nestabilní, protože pro ně neplatí Platův zákon . Kelvinova pěna a struktura Weir a Pelan jsou stabilnější, mají nižší mezifázovou energii s malým množstvím kapaliny [16] .

Husté balení kuliček v životě

Mnoho krystalů má těsnou strukturu jednoho typu atomu nebo těsnou strukturu velkých iontů s menšími ionty vyplňujícími prostor mezi nimi. Zpravidla jsou kubické a šestiúhelníkové uspořádání energeticky velmi blízké a je obtížné předvídat, jaký tvar krystal získá.

Thomas Harriot , kolem roku 1585, provedl první matematickou úvahu o skládání koulí v souvislosti se skládáním dělových koulí a uvažoval o mřížce fcc: dělové koule byly obvykle naskládány do obdélníkových nebo trojúhelníkových dřevěných rámů, které tvořily třístranné nebo čtyřstranné pyramidy; obě stohování poskytují plošně centrovanou kubickou mřížku a liší se pouze orientací vzhledem k základně. Šestihranné těsné balení má za následek šestihrannou pyramidu. V souvislosti se skládáním dělových koulí je znám i stejnojmenný problém teorie čísel.

Viz také

Komentář

↑ Vzdálenost ke středu čtyřstěnu prázdné oblasti se rovná poloměru kružnice opsané čtyřstěnu se stranou 2, tj . Vzorec pro poloměr kružnice opsané si přečtěte v článku Pravidelný čtyřstěn . Vzdálenost ke středu oktaedrické oblasti se rovná poloměru kružnice opsané této oblasti o délce strany 2. Vzorec pro poloměr této oblasti lze získat v článku Osmistěn ${\displaystyle 2{\sqrt {\tfrac {3}{8))))$

Poznámky

↑ 1 2 Sloan N. J. A. Balení kuliček // Ve světě vědy . - 1984. - č. 3 . - S. 72-82 .
↑ Podolskaya E. A., Krivtsov A. M. Description of the geometry of crystals with hexagonal close-packed structure based on paired ones / Institute for Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg. // Rusko Fyzika pevných látek, 2012. - V. 54. - Vydání. 7. - S. - 1327-1334.
↑ Hales, TC (1998), Přehled Keplerovy domněnky, arΧiv : math/9811071v2 .
↑ Szpiro, 2003 , str. 12–13.
↑ Conway, Sloane, 1998 , str. Oddíl 6.3.
↑ Barlow, 1883 , str. 186–188.
↑ Grunch.net .
↑ Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing na webu Wolfram MathWorld .
↑ Kevin Knudson. Skládání dělových koulí v 8 rozměrech // Forbes . - 2016. - 29. března.
↑ Frank Morgan. Balení koulí v rozměru 8 // The Huffington Post . - 2016. - 21. března.
↑ Andreas Loos. So stapeln Mathematiker Melonen (německy) // Die Zeit . - 2016. - 21. března.
↑ Lisa Grossmanová. Nový matematický důkaz ukazuje, jak skládat pomeranče ve 24 rozměrech // New Scientist . - 2016. - 28. března.
↑ 12 Erica Klarreich . Balení koulí řešeno ve vyšších rozměrech // Quanta : Magazine. - 2016. - 30. března.
↑ Natalie Wolchover. V počítačích, kterým věříme? (anglicky) // Quanta : Magazine. - 2013. - 22. února.
↑ Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017 .
↑ Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner et al., 2013 .

Literatura

Jiří Szpiro. Matematika: Vyhovuje důkaz? // Příroda. - 2003. - Červenec ( v. 424 ). - doi : 10.1038/424012a .
Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska. Balení problému koule v dimenzi 24. - 2017. - únor. - arXiv : 1603.06518v2 .
John Horton Conway , Neil James Alexander Sloane . Oddíl 6.3 // Kulová těsnění, mřížky a skupiny. - Springer, 1998. - T. 290. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9 .
William Barlow. Pravděpodobná povaha vnitřní symetrie krystalů // Příroda. - 1883. - T. 29 .
Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Pěny, struktura a dynamika. - Oxford: Oxford University Press, 2013. - ISBN 9780199662890 .

Odkazy

P. Krishna & D. Pandey, "Close-Packed Structures" Mezinárodní unie krystalografie od University College Cardiff Press. Cardiff, Wales PDF Archivováno 29. srpna 2017 na Wayback Machine
D.K. Nová hádanka: umístění kuliček do krychle // Kvant . - 1990. - č. 5 . - S. 82 .
na Sphere Packing . Grunch.net. Získáno 12. června 2014. Archivováno z originálu dne 20. března 2015. (neurčitý)

Balicí úkoly
Balící kruhy	V kruhu / v pravoúhlém trojúhelníku / v rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku / ve čtverci Koberec Apollonius Věta o balení kruhu Tammesův problém (na sféře)
Balení balónků	Apolloniev v kouli husté balení kontaktní číslo Sférická hranice balení (Hamming)
Další balíčky	Do kontejnerů Tetraedry Sady
Hádanka	Conway Slotobera - Graatsma