Pozitivní určitá matice

V lineární algebře je kladně definitní matice hermitovská matice , která je v mnoha ohledech analogická kladnému reálnému číslu . Tento koncept úzce souvisí s kladně-definitivní symetrickou bilineární formou (nebo seskvilineární formou v případě komplexních čísel ).

Formulace

Nechť je hermitovská matice dimenzí . Transponovaný vektor označte a konjugovaný transponovaný vektor označte . $M$ $n\krát n$ $A$ $a^{T}$ $a^{*}$

Matice je kladně definitivní , pokud splňuje kterékoli z následujících ekvivalentních kritérií: $M$

jeden.	Pro všechny nenulové komplexní vektory $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Všimněte si, že množství je vždy skutečné, protože je hermitovská matice . $z^{} M z$ $M$
2.	Všechny vlastní hodnoty , , jsou kladné. Jakákoli hermitovská matice , podle věty o spektrálním rozkladu, může být reprezentována jako skutečná diagonální matice , přeložená do jiného souřadnicového systému (to je , , kde je unitární matice , jejíž řádky jsou ortonormální vlastní vektory , tvořící základ ). Podle této definice je matice kladně-definitivní, pokud jsou všechny prvky hlavní diagonály (nebo jinými slovy vlastní čísla ) kladné. To znamená, že v bázi sestávající z vlastních vektorů je působení na vektor ekvivalentní složkovému násobení kladným vektorem. $M$ $\lambda_i, i = 1, 2, \tečky, n$ $D$ $M = P^{-1}DP$ $P$ $M$ $M$ $D$ $M$ $M$ $M$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	Jeden a půl řádkový formulář $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ definuje bodový součin v . Zobecněním výše uvedeného, jakýkoli skalární součin je tvořen z hermitovské pozitivně definitní matice. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
čtyři.	$M$ je Gramova matice vytvořená z množiny lineárně nezávislých vektorů $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ pro některé . Jinými slovy, prvky jsou definovány následovně $k$ $M$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Tedy , kde je injektiv , ale ne nutně čtvercová matice . $M = A^{}A$ $A$
5.	Determinanty všech úhlových minorů matic jsou kladné ( Sylvesterovo kritérium ). V souladu s tímto kritériem jsou pro kladné semidefinitní matice všechny úhlové minority nezáporné, což však není postačující podmínkou pro to, aby matice byla kladně semidefinitní, jak je patrné z následujícího příkladu $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Pro skutečné symetrické matice ve výše uvedených vlastnostech lze prostor nahradit a konjugovat transponované vektory s transponovanými. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Kvadratické formy

Pozitivní definitivnost je také možné formulovat z hlediska kvadratických forem . Nechť je pole reálných ( ) nebo komplexních ( ) čísel a je vektorový prostor nad . Hermitovská forma $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{V}$ $K$

B : V \krát V \šipka doprava K

je bilineární zobrazení , navíc konjugát je . Taková funkce se nazývá kladně definitní kdy pro jakoukoli nenulovou . $B\left(x, y\vpravo)$ $B\left(y, x\vpravo)$ $B$ $B\left(x, x\right) > 0$ $x \in V$

Negativní matice určité, semidefinité a neurčité

Hermitovská matice dimenzí se bude nazývat záporně definitivní jestliže $M$ $n\krát n$

x^{*}Mx<0

pro všechny nenulové (nebo ekvivalentně pro všechny nenulové ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$M$ se bude nazývat kladně semidefinitní (nebo nezáporně definitní ), jestliže

x^{*} M x \geq 0

pro všechny (nebo ekvivalentně pro všechny ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$M$ se bude nazývat záporně semidefinitní (nebo nepozitivně definitní ), pokud

x^{*} M x \leq 0

pro všechny (nebo ekvivalentně pro všechny ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

Matice tedy bude záporně definitní, pokud jsou všechna její vlastní čísla záporná, kladná semidefinitivní, pokud jsou všechna její vlastní čísla nezáporná, a záporná semidefinitivní, pokud jsou všechna její vlastní čísla kladná [2] .

Matice je kladně semidefinitní tehdy a jen tehdy, když je Gramovou maticí nějaké sady vektorů. Na rozdíl od pozitivně definitní matice nejsou tyto vektory nutně lineárně nezávislé . $M$

Pro jakoukoli matici platí následující: je kladně semidefinitní a . Platí to i obráceně: každá kladná semi-definitní matice může být vyjádřena jako ( Choleského rozklad ). $A$ $A^{*}A$ $\operatorname{rank}\left(A\right) = \operatorname{rank}\left(A^{*}A\right)$ $M$ $M = A^{*}A$

Hermitovská matice , která není ani pozitivně, ani negativně semi-určitá, se nazývá neurčitá .

Další vlastnosti

Zaveďme značení pro kladné semidefinitní matice a pro kladně definitní matice. $M \succeq 0$ $M\succ 0$

Pro libovolné čtvercové matice budeme psát if , tedy kladnou semidefinitní matici. Vztah tedy definuje částečné pořadí na množině čtvercových matic . Podobným způsobem lze definovat vztah celkové objednávky . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \succeq 0$ $M-N$ $\succeq$ $M \succ N$

jeden.	Jakákoli pozitivně definitní matice je invertibilní a její inverzní matice je také pozitivně definitní. Pokud , tak . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	If je pozitivně definitní matice a , pak je pozitivně definitní matice. $M$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Jestliže a jsou kladně určité matice, pak součiny a jsou také kladně určité. If , then je také kladně určité. $M$ $N$ $MNM$ $NMN$ $MN=NM$ $MN$
3.	Pokud je kladná definitní matice, pak jsou prvky hlavní diagonály kladné. Proto, . dále $M$ $m_{ii}$ $\operatorname{trace}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
čtyři.	$M$ je pozitivně definitní matice tehdy a jen tehdy, když existuje pozitivně definitní taková, že . Označme . Taková matice je jedinečná za předpokladu, že . Pokud , tak . $B \succ 0$ $B^2 = M$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \succ 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Jestliže a jsou kladně určité matice, pak (kde označuje Kroneckerův součin ). $M$ $N$ $M\otimes N \succ 0$ $\otimes$
6.	Jestliže a jsou kladně určité matice, pak (kde označuje Hadamardův součin ). Když jsou matice reálné, platí také následující nerovnost ( Oppenheimova nerovnost ): $M$ $N$ $M\circ N \succ 0$ $\circ$ $M,N$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Jestliže je kladně definitní matice, a je hermitovská matice a , pak . $M$ $N$ $MN + NM \succeq 0$ $\left( MN+NM \succ 0 \right)$ $N \succeq 0$ $\left( N \succ 0 \right)$
osm.	Jestliže a jsou kladné semidefinitní reálné matice, pak . $M$ $N$ $\operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Jestliže je kladně definitní reálná matice, pak existuje číslo takové, že , kde je matice identity . $M$ $\delta>0$ $M\succeq \delta I$ $já$

Nehermitovské matice

Reálné nesymetrické matice mohou také uspokojit nerovnost pro všechny nenulové reálné vektory . Taková je například matrice $x^TM x > 0$ $X$

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

protože pro všechny nenulové reálné vektory $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Obecněji pro všechny nenulové reálné vektory tehdy a jen tehdy, když je symetrická část kladně definitní. $x^TM x > 0$ $X$ $\frac{M + M^T}{2}$

Pro komplexní matice existuje několik zobecnění nerovnosti . Pokud pro všechny nenulové komplexní vektory , pak je matice hermitovská . To je, jestliže , pak je Hermitian . Na druhou stranu pro všechny nenulové komplexní vektory právě tehdy, když je hermitovská část kladně definitní. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $X$ $M$ $x^{*} M x > 0$ $M$ $\operatorname{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$ $X$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Viz také

Poznámky

↑ Nikolaj Bogoljubov, Anatolij Logunov, Anatolij Oksak, Ivan Todorov. Obecné principy kvantové teorie pole . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 s. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vasilij Fomičev, Andrej Fursov, Sergej Korovin, Stanislav Emeljanov, Alexandr Iljin. Matematické metody teorie řízení. Problémy stability, ovladatelnosti a pozorovatelnosti . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 s. — ISBN 9785457964747 .

Literatura

R. A. Horn, C. R. Johnson. Maticová analýza, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia , Positive definite matices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.