Znamení Ermakova

Ermakovův znak je znakem konvergence číselné řady s kladnými členy, kterou stanovil Vasilij Ermakov . Jeho specifikum spočívá v tom, že svou „citlivostí“ předčí všechna ostatní znamení. Tato práce byla publikována v článcích: "Obecná teorie konvergence řad" ("Mathematical Collection", 1870 a "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me série, t. III), "A nové kritérium pro konvergenci a divergenci nekonečné střídavé řady“ („Universitetskie Izvestia of the University of St. Vladimir“ pro 1872).

Formulace

Nechte funkci provést: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funkce přijímá pouze kladné hodnoty);
funkce monotónně klesá jako . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Pak řada konverguje, pokud platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

kde . $\lambda<1$

Pokud pro , pak se řada rozchází. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

důkaz [1]

1. Nechť platí následující nerovnost:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Obě strany této nerovnosti vynásobíme a integrujeme pomocí substituce : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

odtud

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

protože subtrahend v posledních závorkách je kladný. Proto vydělením nerovnosti dostaneme: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Přidáním integrálu na obě strany dostaneme $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ limity _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Vzhledem k tomu , at $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Protože integrál roste s rostoucím a existuje pro něj konečná limita v : $X$ $x\to \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Protože tento integrál konverguje, podle Cauchy-Maclaurinova integrálního testu , konverguje i řada . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Nyní nechejte platit následující nerovnost:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Vynásobením obou částí této nerovnosti a integrací pomocí substituce na levé straně dostaneme: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Přidejme integrál na obě strany : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gama .

Protože pak . Nyní definujeme sekvenci takto: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Pomocí této sekvence lze poslední nerovnost zapsat jako:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Tento integrál shrneme přes : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma,

to znamená, že tento integrál je neomezený pro . Proto: $n\to\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Protože tento integrál diverguje, podle Cauchy-Maclaurinova integrálního testu se řada také diverguje. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formulace v limitní formě

Pokud existuje limit:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Zobecnění [2]

Nechte funkci provést: $f(x)$

$f(x)>0\;\forall x$ (funkce přijímá pouze kladné hodnoty);
funkce monotónně klesá jako . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Vezměme si nějakou funkci , která: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (funkce přijímá pouze kladné hodnoty);
zvyšuje se monotónně;
má spojitou proměnnou.

Pak řada konverguje, pokud platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

pak se řada rozchází.

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu . — M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manžirov. Příručka matematiky pro inženýry a vědce. - 2006. - S. 340. - 1544 s. - ISBN 978-1420010510 .

Literatura

Ermakovův znak - článek z Encyklopedie matematiky

Odkazy

Weisstein, Test Erica W. Ermakoffa (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče