Kummer znamení

Kritérium Kummer je obecné kritérium pro konvergenci číselných řad s kladnými členy, které stanovil Ernst Kummer .

Formulace

Nechť je dána řada a libovolná číselná posloupnost taková, že řada diverguje. Pak řada konverguje, pokud pro všechny platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

kde . $\delta>0$

Pokud pro , pak se řada rozchází. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

důkaz [1]

Daná řada . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

1. Důkaz konvergence. Nechť nerovnost platí pro všechny: $n$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Vynásobením obou částí této nerovnosti dostaneme: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

a od té doby: $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

To znamená, že posloupnost je monotónně klesající, a proto inklinuje ke konečné limitě (protože je zdola omezena nulou). Podle toho konverguje posloupnost ), která je součtem prvních členů řady $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $n$

\sum _{{n=1}}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

která tedy také konverguje. Ale pak z nerovnosti (*) podle první srovnávací věty vyplývá, že řada konverguje . Od té doby musí tato řada také konvergovat . $\sum _{{n=1}}^{\infty }\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant \delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Poznámka . Při dokazování konvergence se nepoužívá podmínka, že řada diverguje. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Důkaz divergence. Nyní nechejte pro některé platit následující nerovnost: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

nebo

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Vydělením obou stran této nerovnosti dostaneme: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}}

Protože se podle podmínek věty předpokládá, že řada je divergentní, pak na základě srovnávací věty musí tato řada také divergovat . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Formulace v limitní formě

Pokud existuje limit:

K=\lim _{{n\to \infty }}K_{n}

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. $K>0$ $K<0$

Důležité speciální případy

Některé další testy konvergence řad jsou speciálními případy Kummerova testu se specifickými typy posloupnosti : $c_n$

Kdy - znamení d'Alemberta ; $c_{n}=1$
Když - znamení Raabe ; $c_{n}=n$
Kdy je znamení Bertranda . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu . — M .: Nauka, 1970.

Literatura

Kummer sign - článek z Encyklopedie matematiky

Odkazy

Weisstein, Test Erica W. Kummera (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče