Znakem srovnání je tvrzení o simultánnosti divergence nebo konvergence dvou řad , založené na srovnání členů těchto řad.
Nechť jsou dány dvě kladné řady: a. Pak, pokud od nějakého místa ( ), platí následující nerovnost: ,pak konvergence řady implikuje konvergenci . Nebo, pokud se řada liší, pak diverguje a . |
Označme dílčí součty řady . Z nerovností vyplývá , že omezenost tedy implikuje omezenost a omezenost implikuje neohraničenost Platnost atributu vyplývá z konvergenčního kritéria pro
Také znak srovnání může být formulován v pohodlnější formě - ve formě vztahů.
Pokud pro členy striktně kladných řad a , počínaje od nějakého místa ( ), platí následující nerovnost: ,pak konvergence řady implikuje konvergenci a divergence implikuje divergenci . |
Vynásobením nerovností pro dostaneme
neboDále stačí použít srovnávací kritérium pro kladné řady a (a vzít v úvahu, že konstantní faktor neovlivňuje konvergenci).
Protože je poměrně obtížný úkol spolehlivě stanovit platnost této nerovnosti pro libovolné n, v praxi se srovnávací kritérium obvykle používá v omezujícím tvaru.
Pokud a existují přísně pozitivní řady a ,pak pro , konvergence implikuje konvergenci , a pro , divergence implikuje divergenci . |
Z toho víme, že pro všechny existuje takové, že pro všechny máme , nebo, což je totéž:
Od , můžeme to brát dostatečně malé, aby to bylo pozitivní. Ale pak , a podle srovnávacího kritéria popsaného výše, pokud konverguje, pak konverguje a .
Podobně , a pak, pokud konverguje, pak konverguje a .
Buď tedy obě řady konvergují, nebo obě divergují.
Znaky konvergence řad | ||
---|---|---|
Pro všechny řádky | ||
Pro znaménko-pozitivní řady |
| |
Pro střídání sérií | Leibnizův znak | |
Pro řádky formuláře | ||
Pro funkční série | ||
Pro Fourierovy řady |
|