Srovnávací znamení

Znakem srovnání  je tvrzení o simultánnosti divergence nebo konvergence dvou řad , založené na srovnání členů těchto řad.

Formulace

Nechť jsou dány dvě kladné řady:

a

.

Pak, pokud od nějakého místa ( ), platí následující nerovnost:

,

pak konvergence řady implikuje konvergenci .

Nebo, pokud se řada liší, pak diverguje a .

Důkaz

Označme dílčí součty řady . Z nerovností vyplývá , že omezenost tedy implikuje omezenost a omezenost implikuje neohraničenost Platnost atributu vyplývá z konvergenčního kritéria pro


Znak porovnání vztahů

Také znak srovnání může být formulován v pohodlnější formě - ve formě vztahů.

Formulace

Pokud pro členy striktně kladných řad a , počínaje od nějakého místa ( ), platí následující nerovnost:

,

pak konvergence řady implikuje konvergenci a divergence implikuje divergenci .

Důkaz

Vynásobením nerovností pro dostaneme

nebo

Dále stačí použít srovnávací kritérium pro kladné řady a (a vzít v úvahu, že konstantní faktor neovlivňuje konvergenci).


Limitní srovnávací kritérium

Protože je poměrně obtížný úkol spolehlivě stanovit platnost této nerovnosti pro libovolné n, v praxi se srovnávací kritérium obvykle používá v omezujícím tvaru.

Formulace

Pokud a existují přísně pozitivní řady a

,

pak pro , konvergence implikuje konvergenci , a pro , divergence implikuje divergenci .

Důkaz

Z toho víme, že pro všechny existuje takové, že pro všechny máme , nebo, což je totéž:

Od , můžeme to brát dostatečně malé, aby to bylo pozitivní. Ale pak , a podle srovnávacího kritéria popsaného výše, pokud konverguje, pak konverguje a .

Podobně , a pak, pokud konverguje, pak konverguje a .

Buď tedy obě řady konvergují, nebo obě divergují.

Literatura

Odkazy