Příklad Pompeiovi

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. února 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Pompeyův příklad je příkladem diferencovatelné funkce , jejíž derivace ( Pompeyova derivace ) mizí na husté množině . Konkrétně Pompeyova derivace je nespojitá v jakémkoli bodě, kde se nerovná 0.

Historie

Otázka, zda mohou existovat takové funkce, které nejsou shodně nulové, vyvstala v kontextu výzkumu funkční diferenciovatelnosti a integrability na počátku 20. století. Na tuto otázku odpověděl Dimitri Pompeiou kladně vytvořením explicitního příkladu.

Budova

Nechť označí skutečnou třetí odmocninu reálného čísla . Výčet racionálních čísel v jednotkovém intervalu a kladných čísel volíme takový, že ${\sqrt[ {3}]{x}}$ $X$ $q_{1},q_{2},\dots$ $a_{1},a_{2},\tečky$

a_{1}+a_{2}+\tečky <\infty

Zvažte funkci

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j))} .

Pro libovolné x z [0, 1] je každý člen řady menší nebo roven a j v absolutní hodnotě, takže Weierstrassovým testem řada konverguje rovnoměrně ke spojité přísně rostoucí funkci g ( x ) . Navíc se ukazuje, že funkce g je diferencovatelná a

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}] {(x-q_{j})^{2}}}}>0,

v libovolném bodě, kde je součet konečný; navíc ve všech ostatních bodech, zejména v kterémkoli z q j , g ′( x ) := +∞ .

Protože obraz g je uzavřený ohraničený interval s levým koncem

g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j))},

do volby a 0 můžeme předpokládat g (0) = 0 a do volby multiplikativního faktoru můžeme předpokládat, že g mapuje interval [0, 1] na sebe. Protože g je přísně rostoucí, je injektivní a tedy homeomorfismus .

Podle věty o derivaci inverzní funkce má inverzní funkce f := g −1 v libovolném bodě konečnou derivaci, která zaniká alespoň v bodech { g ( q j )} j ∈ℕ . Tvoří hustou podmnožinu [0, 1] (ve skutečnosti derivace mizí na větší množině, viz Vlastnosti).

Vlastnosti

Protože množina nul derivace libovolné všude diferencovatelné funkce je množina G-delta , pro jakoukoli Pompejovu funkci je tato množina hustou množinou G-delta. Zejména je to podle Baireova teorému nepočitatelné .
Lineární kombinace Pompeyových funkcí má derivaci a mizí na množině , což je hustá G-delta množina. Pompeiovy funkce tedy tvoří vektorový prostor . $a\cdot f+b\cdot g$ ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\))$
Limitní funkcí rovnoměrně konvergentní posloupnosti Pompejových derivací je Pompejova derivace. Ve skutečnosti jde o derivaci podle limitní věty pod znaménkem derivace. Navíc mizí v průsečíku nulových množin sekvenčních funkcí: protože se jedná o husté množiny G-delta, je nulová množina limitní funkce také hustá.
- V důsledku toho je třída E všech omezených Pompeyových derivací na intervalu [ a , b ] uzavřeným lineárním podprostorem Banachova prostoru všech omezených funkcí s ohledem na rovnoměrnou vzdálenost (jedná se tedy o Banachův prostor).
- Výše uvedená Pompeiova konstrukce je pozitivní , což je vzácná vlastnost: Weylův teorém říká, že obecně Pompeiouova derivace nabývá kladných i záporných hodnot v hustých množinách, v přesném smyslu, že takové funkce tvoří hustou množinu G-delta Banachův prostor E.

Literatura

Pompeiu, Dimitrie (1907). Sur les fonctions dérivées . Mathematische Annalen [ fr. ]. 63 (3): 326-332. DOI : 10.1007/BF01449201 . Staženo 2021-10-12 .
Andrew M. Bruckner, "Diferenciace reálných funkcí"; Série Monografie CRM, Montreal (1994).