Projektivně rozšířená číselná řada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. října 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Projektivně prodloužená reálná čára je množina reálných čísel doplněná o jeden bod, zvaný nekonečno ( projektivní nekonečno , nekonečno bez znaménka , oboustranné nekonečno , bod v nekonečnu ). $\mathbb {R}$

Bod v nekonečnu lze intuitivně chápat jako pozitivní a negativní identifikované nekonečno. To lze jasně demonstrovat zobrazením množiny reálných čísel nikoli na přímce, ale na kružnici s jedním vyraženým bodem. Pak bude tomuto velmi proraženému bodu odpovídat nekonečno.

Projektivně rozšířená číselná osa rozšiřuje číselnou řadu podobným způsobem, jako rozšířená komplexní rovina rozšiřuje komplexní rovinu .

Přestože se termín rozšířená číselná osa obvykle používá ve vztahu k množině reálných čísel se dvěma znaménkovými nekonečny, někdy se používá i pro projektivně rozšířenou číselnou řadu. Proto, aby se zdůraznil jejich rozdíl, číselná řada doplněná dvěma nekonečny se někdy nazývá affinely rozšířená číselná řada .

Projektivně prodlouženou číselnou řadu označují různí autoři jako [1] , [2] , [3] . V tomto článku bude použito označení . Projektivní nekonečno se označuje jako , . První zápis se také někdy používá k označení plus nekonečna, ale v tomto článku se používá pouze ve vztahu k projektivnímu. $\mathbb {R} ^{*}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\infty ))$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ $\pm \infty$

Objednávka

On neexistuje žádné přirozené lineární uspořádání , protože neexistuje žádný přirozený způsob, jak určit, zda je nekonečno větší nebo menší než nějaké číslo. Cyklické pořadí však není definováno . Lze jej znázornit jako směr pohybu po kružnici od 0 do ∞ procházející 1. Tedy pokud jdou za sebou při pohybu po kružnici ve směru, ve kterém za sebou jdou 0, 1 a ∞. Když se tedy pohybujeme tímto řádem od 0, procházíme ve vzestupném pořadí všemi kladnými čísly, pak nekonečnem, pak všemi zápornými a pak znovu 0. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $[a,b,c]$

Formálně je toto pořadí určeno následujícími vztahy: [4]

[a,b,c]\Leftrightarrow a<b<c

[\infty ,b,c]\Leftrightarrow b<c

[a,\infty ,c]\Leftrightarrow a>c

[a,b,\infty ]\Leftrightarrow a<b

případy, kdy existuje více než jedno nekonečno, jsou vždy špatné

Všechno je tady . $a,b,c\in \mathbb {R}$

Cyklické pořadí definuje intervaly jako množiny formuláře (intervaly formuláře jsou definovány samostatně ). V konvenční notaci to lze přepsat takto: [5] ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\{x|[a,x,b]\}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\zpětné lomítko \{a\}$

Interval v ${\widehat {\mathbb {R} }}$ je buď množina formuláře, nebo pro některé. $(a; b)$ $(a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)$ $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}$

Segment v ${\widehat {\mathbb {R} }}$ je buď množina formuláře, nebo, nebo, nebo pro některé. $[a;b]$ $\{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \))$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ $a,b\in \mathbb {R}$

Poloviční interval in ${\widehat {\mathbb {R} }}$ je buď množina tvaru, nebo, nebo, nebo, , nebo, nebo, nebo, nebopro některé. $(a;b]$ $[A; b)$ $[a;+\infty )$ $(-\infty ;b]$ ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \))$ ${\displaystyle (-\infty ;b)\cup \{\infty \))$ $(a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)$ $a,b\in \mathbb {R}$

Někdy se pro takové mezery používá obvyklá notace , chápaná ve výše uvedeném smyslu. Tedy , , , , . S takovými označeními (na levé straně rovnosti ve výše definovaném smyslu, na pravé straně v obvyklém smyslu) , , . Záznam je definován jako . $(a,b),[a,b],(a,b]$ ${\displaystyle (a,b)=\{x|[a,x,b]\))$ ${\displaystyle [a,b]=(a,b)\pohár \{a,b\))$ ${\displaystyle (a,b]=(a,b)\cup \{b\))$ $[a,b)=(a,b)\cup \{a\}$ $a \neq b$ $(0,1)=(0,1)$ $(1,0)=(1,+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ,0)$ $(a,a)$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\zpětné lomítko \{a\}$

Topologie

Cyklické uspořádání neurčuje topologii: otevřená množina je množina, kterou lze reprezentovat jako sjednocení intervalů (intervaly jsou chápány ve smyslu definovaném výše). Tato topologie není nic jiného než spojení otevřených množin s okolím nekonečna. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$

ε-okolí ∞ je množina. Jakékoli okolí nekonečna obsahuje nějaké ε-okolí nekonečna. $\left({\frac {1}{\varepsilon ));+\infty \right)\cup \{\infty \}\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\ varepsilon}}\right)$

Proražené ε-okolí ∞ je množina. $\left({\frac {1}{\varepsilon ));+\infty \right)\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)$

Bez definice intervalů by topologie on mohla být zavedena následovně. Definujme propíchnuté okolí nekonečna jako nějakou otevřenou množinu obsahující nějaké ε-okolí nekonečna. Pak okolí nekonečna je proražené okolí nekonečna s přidaným nekonečnem. Potom je topologie spojením topologie s množinou sousedství nekonečna. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$

Projektivně prodloužená skutečná linie je kompaktní Hausdorffův prostor , homeomorfní ke kruhu. Jedná se o jednobodové zhutnění skutečné linie a je to její Alexandrovovo zhutnění .

Obvyklým způsobem lze limitu definovat, protože argument má tendenci k nekonečnu . Záznam také získává svůj obvyklý význam v topologii. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to \infty }f(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\infty$

Existují určité limity, které neexistují v a dokonce ani v . Limita tedy neexistuje v a v , ale existuje v a je rovna . Pokud limita existuje v , pak existuje také v . Navíc, pokud je limita v konečná, pak se rovná stejné hodnotě, a pokud je nekonečná, pak se rovná . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$

Aritmetické operace

Standardní operace v jsou rozšířeny o kontinuitu. V mnoha případech takové šíření není možné, takže operace se stávají částečně definovány. [jeden] $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

a+\infty =\infty +a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty +\infty

- nedefinováno

a-\infty =\infty -a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty -\infty

- nedefinováno

a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty ,\quad a\neq 0

0\cdot \infty ,\infty \cdot 0

- nedefinováno

{\frac {\infty }{a))=\infty ,\quad a\neq \infty

{\frac {a}{\infty ))=0,\quad a\neq \infty

{\frac {\infty }{\infty ))

- nedefinováno

{\frac {a}{0}}=\infty ,\quad a\neq 0

{\frac {0}{0}}

- nedefinováno

${\widehat {\mathbb {R} }}$ jedna z mála struktur, která umožňuje dělení 0 .

Algebraické vlastnosti

Následující rovnosti znamenají: levé části jsou buď nedefinované, nebo stejné.

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\ cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Následující rovnosti platí, pokud je definována jejich pravá strana.

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a=\left({\frac {a}{b))\right)\cdot b&=\,\,{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a=(a+b)-b&=\,\,(ab)+b\end{aligned}}

Projektivní vlastnosti

Projektivně rozšířená číselná osa je projektivní přímka získaná z afinní čáry přidáním bodu v nekonečnu. Projektivní transformace této linie mají tvar $\mathbb {R}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ vpravo|\neq 0

Takové transformace se nazývají Möbiovy transformace . Jejich vlastnosti jsou v mnoha ohledech podobné vlastnostem jejich komplexních protějšků: [2]

Soubor Möbiových transformací s operací kompozice tvoří skupinu.
Pro jakékoli dvě trojice , v každé z nich jsou body párově odlišné, existuje jedinečná Möbiova transformace, která se převádí do . $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in {\widehat {\mathbb {R} ))$ $x_{1},x_{2},x_{3}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$
Funkce je Möbiova transformace právě tehdy, když zachovává anharmonický poměr .
Funkce je Möbiovou transformací právě tehdy, když ji lze reprezentovat jako kompozici odrazů a inverzí

Viz také

Afinně rozšířená číselná řada

Poznámky

↑ 12 Wolfram . _
↑ 12 Lee , 2020 , str. 75.
↑ Emanuello, Nolder, 2015 , str. 12.
↑ nLab .
↑ Tucker, 2011 , str. 32.

Literatura

Cantrell DW Projektivně rozšířená reálná čísla . Wolfram Matematický svět . Weisstein EW. Datum přístupu: 18. dubna 2021.
Nam Hoon Lee. Geometrie : od izometrií ke speciální teorii relativity . - Springer International Publishing, 2020. - 258 s. - (Pregraduální texty z matematiky). — ISBN 9783030421014 .
Emanuello JA, Nolder CA Projective Compactification of and Its Möbius Geometry $\mathbb {R} ^{1,1}$ (anglicky) // Daniel Alpay Complex Analysis and Operator Theory: Journal. - Orange, CA USA, 2015. - 1. února ( č. 9 ). — S. 329–354 . — ISSN 1661-8262 . - doi : 10.1007/s11785-014-0363-5 .
Rozšířená reálná čísla (anglicky) . nLab .
Warwick Tucker. Ověřené numerické údaje: Krátký úvod do rigorózních výpočtů . — Princeton University Press, 2011. — 152 s. — ISBN 9781400838974 .