Cyklické pořadí

Cyklické pořadí  - způsob řazení objektů takovým způsobem, že sekvenční pohyb v pořadí po úplném obejití kolekce se vrátí k výchozímu objektu pohybu; plný řád , "propojený konci" do cyklu. Na rozdíl od struktur studovaných v teorii objednávky , taková objednávka není modelována binárním vztahem , takový jak “ a < b ”, například jeden nemůže říkat, že východ je “více clockwise” než západ; místo toho je cyklické pořadí definováno jako ternární vztah [ a , b , c ] , což znamená "po a , b je dosaženo před c ". Například [červen, říjen, únor]. Ternární vztah se nazývá cyklický řád, pokud je cyklický ( ), asymetrický, tranzitivní a úplný. Uspořádání, které nemá všechny tyto vlastnosti kromě úplnosti, se nazývá částečné cyklické uspořádání .

Množina s cyklickým řádem se nazývá cyklicky uspořádaná množina nebo jednoduše cyklus [nb] . Některé cykly jsou diskrétní a mají pouze konečný počet prvků  — existuje sedm dní v týdnu , čtyři světové strany , dvanáct not na chromatické stupnici a tři hráči ve hře kámen, papír, nůžky . V závěrečné smyčce má každý prvek „další prvek“ a „předchozí prvek“. Existují také spojité cykly s nekonečným počtem prvků, jako je orientovaná jednotková kružnice v rovině.

Cyklické řády jsou úzce spjaty s lépe známými lineárními řády , které řadí objekty podél přímky . Libovolné lineární pořadí může být složeno do cyklu a jakékoli cyklické pořadí může být řezáno v bodě, což má za následek lineární pořadí. Tyto operace spolu s přidruženými intervalovými konstrukcemi a krycími zobrazeními znamenají, že otázky o cyklických řádech lze často transformovat na otázky o lineárních řádech. Cykly mají více symetrií než lineární řády a často přirozeně vznikají jako zbytky lineárních struktur, jako v konečných cyklických grupách nebo skutečných projektivních čarách .

Ukončení cyklů

Cyklické uspořádání na množině X s n prvky je podobné uspořádání prvků množiny X na ciferníku s n hodinami. Každý prvek x z X má „další prvek“ a „předchozí prvek“ a výběrem následujících nebo předchozích prvků smyčky lze procházet přesně jednou všemi prvky x (1), x (2), ... , x ( n ) .

Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak dát tuto definici. Cyklické pořadí na množině X bude stejné, když se prvky kolem cyklu přeskupí . Cyklus s n prvky je Z n - torzor  — je to množina s volným tranzitivním působením konečné cyklické grupy [1] . Další formulací je přeměnit X na standardní n -vertexový řízený graf-cyklus mapováním prvků množiny na vrcholy.

Instinktivně lze použít cyklické řády pro symetrické funkce , například jako v případě

kde zápis posledního monočlenu jako xz by odvedl pozornost od struktury.

V podstatě se použití cyklických řádů projevuje v definici tříd konjugace volných skupin . Dva prvky g ah grupy F na množině Y sousedí právě tehdy, když jsou zapsány jako součiny prvky y a y −1 s y z Y , a pak jsou tyto součiny uspořádány v cyklickém pořadí. Cyklické řády jsou ekvivalentní při přepisování pravidel, která umožňují odstranění nebo přidání sousedních y a y −1 .

Cyklické pořadí na množině X lze definovat lineárním řádem na X , ale ne jednoznačně. Výběr lineárního řádu je ekvivalentní výběru prvního prvku, takže existuje přesně n lineárních řádů generovaných daným cyklickým řádem. Protože existuje n ! možných lineárních řádů, existuje ( n − 1)! možné cyklické objednávky.

Definice

Nekonečnou množinu lze také cyklicky seřadit. Důležité příklady nekonečných smyček jsou jednotkový kruh , S 1 , a racionální čísla , Q. Základní myšlenka je stejná – prvky v sadě uspořádáme do kruhu. V nekonečném případě se však nemůžeme spoléhat na vztah bezprostřední posloupnosti, protože body nemusí mít předchůdce. Například daný bod na kružnici neexistuje žádný „další bod“. Nelze se ani spoléhat na binární vztah ohledně toho, který ze dvou bodů je „první“. Při průchodu ve směru hodinových ručiček podél kruhu nejdou body na žádnou stranu dříve, ale následují jeden po druhém.

Místo toho použijeme ternární vztah, který naznačuje, že prvky a , b , c jdou jeden po druhém (ne nutně okamžitě) po kružnici. Například ve směru hodinových ručiček [východ, jih, západ]. Při použití argumentů ternární relace [ a , b , c ] si lze cyklický řád představit jako jednoparametrovou rodinu relací binárního řádu, které se říká řezy , nebo jako dvouparametrovou rodinu podmnožin množiny. K , které se nazývají intervaly .

Ternární vztah

Obecná definice je následující: cyklický řád na množině X  je relace (psána [ a , b , c ] ), která splňuje následující axiomy: [nb]

1. Cyklický: Z [ a , b , c ] následuje [ b , c , a ]
2. Asymetrie: [ a , b , c ] implikuje nesprávnost [ c , b , a ]
3. Transitivita: Pokud [ a , b , c ] a [ a , c , d ] , pak [ a , b , d ]
4. Úplnost: Pokud jsou a , b a c odlišné, pak buď [ a , b , c ] nebo [ c , b , a ]

Axiómy jsou pojmenovány analogicky s axiómy asymetrie , transitivity a úplnosti pro binární vztah, které společně definují přísně lineární řád . Edward Huntington [2] [3] navrhl další možný seznam axiomů, včetně axiomů zdůrazňujících analogii cyklického řádu se vztahem „mezi“ . Ternární vztah, který splňuje první tři axiomy, ale ne nutně axiom úplnosti, se nazývá částečný cyklický řád .

Výstružníky a řezy

Daný lineární řád < na množině X je cyklický řád na X generovaný řádem < definován následovně [4] [5] :

Dva lineární řády dávají vzniknout stejnému cyklickému řádu, pokud je lze transformovat do sebe cyklickou permutací, jak se to stane, když jsou vyjmuty karty [6] . Relace cyklického řádu lze definovat jako ternární vztah generovaný přísně lineárním řádem (jak je ukázáno výše) [7] .

Odstraněním jednoho bodu z cyklického řádu zůstane lineární řád. Přesněji řečeno, je-li dána cyklicky uspořádaná množina ( K , [ ] ), každý prvek a ∈ K definuje přirozený lineární řád < a na zbývající množině, K ∖ a s následujícím pravidlem [8] [9] :

Navíc < a lze rozšířit přidáním a jako nejmenšího prvku. Výsledné lineární uspořádání na K se nazývá hlavní řez s nejmenším prvkem a . Podobně přidáním a jako největšího prvku vznikne sekce < a . [deset]

Intervaly

Dané dva prvky , otevřený interval od a do b , zapsaný ( a , b ) , je množina všech takových, že [ a , x , b ] . Systém otevřených intervalů zcela definuje cyklické uspořádání a lze jej použít jako alternativní definici cyklického vztahu [11] .

Interval ( a , b ) má přirozený lineární řád daný vztahem < a . Je možné definovat polouzavřené a uzavřené intervaly [ a , b ) , ( a , b ] a [ a , b ] připojením a jako nejmenšího a/nebo b jako největšího prvků. [ 12] Jako speciální případ je otevřený interval ( a , a ) definován jako řez K ∖ a .

Obecněji se vlastní podmnožina S množiny K nazývá konvexní , pokud obsahuje všechny intervaly mezi libovolnou dvojicí bodů - protože buď ( a , b ) nebo ( b , a ) musí také ležet v S [13] . Konvexní množina je lineárně uspořádána v sekci < x pro jakékoli x , které není v množině. Toto řazení je nezávislé na volbě x .

Automorfismy

Protože kruh má pořadí ve směru hodinových ručiček a pořadí opačné, každá množina s cyklickým uspořádáním má dva významy . Bijekce množiny zachovávající řád se nazývá uspořádaná korespondence . Pokud je význam (směr) stejný, nazývá se bijekce přímá korespondence , jinak se nazývá inverzní korespondence [14] . Coxeter použil vztah dělení k popisu cyklického řádu a tento vztah je dostatečně silný, aby rozlišil dva smysly cyklického řádu. Automorfismy cyklicky uspořádané množiny lze identifikovat s C 2 , dvouprvkovou skupinou přímých a inverzních korespondencí.

Monotónní funkce

Myšlenka „cyklického řádu = uspořádání na kruhu“ funguje, protože jakákoli podmnožina cyklu je také cyklem. Chcete-li použít tuto myšlenku k zavedení cyklického uspořádání na množinách, které ve skutečnosti nejsou jednotkovými kružnicemi v rovině, je třeba zvážit funkce mezi množinami.

Funkce mezi dvěma cyklicky uspořádanými množinami, f  : X → Y , se nazývá monotónní funkce nebo homomorfismus , pokud zachovává pořadí na Y  — jestliže [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , máme [ a , b , c ] . Ekvivalentně je f monotónní, pokud v případě [ a , b , c ] a prvky f ( a ), f ( b ) a f ( c ) jsou odlišné, pak [ f ( a ), f ( b ) , f ( c )] . Typickým příkladem monotónní funkce je následující funkce na 6prvkové smyčce:

Funkce se nazývá vložení , pokud je monotónní a injektivní [nb] . Ekvivalentně je vložení funkcí, která přenáší pořadí z množiny X : z [ a , b , c ] následuje [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Důležitým příkladem je, že pokud X je podmnožinou cyklicky uspořádané množiny Y a X je dáno přirozené pořadí, pak mapa inkluze i  : X → Y je vložení.

Obecně platí, že injektivní funkce f z neuspořádané množiny X do cyklu Y generuje cyklické uspořádání na X , což dělá z funkce f vložení.

Funkce na konečných množinách

Cyklický řád na konečné množině X lze určit vložením do jednotkového kruhu X → S 1 . Existuje mnoho možných funkcí generujících stejné cyklické uspořádání – ve skutečnosti nekonečně mnoho. Pro kvantifikaci je nutné použít složitější objekt než číslo. Zkoumání konfiguračního prostoru všech takových zobrazení vede k definici ( n − 1) -rozměrného mnohostěnu známého jako cyklohedron . Cyklohedrony byly původně používány ke studiu invariantů uzlů [15] . Později byly aplikovány na experimentální identifikaci periodických genů při studiu biologických hodin [16] .

Kategorie homeomorfismů standardních konečných cyklů se nazývá cyklická kategorie . Může být použit ke konstrukci cyklické homotopie Allena Conna .

Je možné definovat stupeň funkce mezi cykly podobným způsobem jako stupeň spojitého zobrazení . Například přirozené zobrazení kruhu kvint na chromatický kruh je zobrazení stupně 7. Lze také definovat číslo rotace .

Uzavření

• Úsek s nejmenším a největším prvkem se nazývá skok . Například jakékoli rozdělení konečného cyklu Z n je skok. Cyklus bez skoků se nazývá hustý [17] [18] .
• Úsek, ve kterém není nejmenší ani největší prvek, se nazývá slot . Například racionální čísla Q mají mezeru v jakémkoli iracionálním čísle. U těchto čísel je také mezera v nekonečnu, tedy obvyklé pořadí. Cyklus bez mezer se nazývá úplný [19] [18] .
• Sekce s jedním koncovým bodem se nazývá hlavní sekce. Například libovolný úsek kružnice S 1 je hlavní. Cyklus, ve kterém je jakýkoli úsek hlavní, je hustý a úplný, se nazývá spojitý [20] [18] .

Množina všech sekcí je cyklické uspořádání s následujícím vztahem: [< 1 , < 2 , < 3 ] právě tehdy, když existuje x , y , z takové, že [21] :

Některé podmnožiny částí tohoto cyklu jsou Dedekindovým dokončením původního cyklu.

Doplňkové konstrukce

Rozvinutí a zakrytí

Počínaje cyklicky uspořádanou množinou K lze vytvořit lineární řád rozšířením na nekonečnou čáru. To odráží intuitivní chápání míjení v kruhu. Formálně je lineární řád definován na přímém součinu Z × K , kde Z  je množina celých čísel , tím, že se stanoví prvek a a vyžaduje se, aby pro všechna i [22] [23] :

Například měsíce leden 2022, květen 2022, září 2022 a leden 2023 jsou v tomto pořadí.

Toto uspořádání Z × K se nazývá univerzální kryt K [nb] . Jeho ordinální typ nezávisí na volbě a , což se o zápisu říci nedá, protože celočíselná souřadnice "převaluje" a . Například, ačkoli cyklické pořadí tříd výšky tónu je kompatibilní s abecedním pořadím A až G, písmeno C je zvoleno jako první tón oktávy, takže v americkém notovém systému B 3 následuje C 4 .

Reverzní konstrukce začíná lineárně uspořádanou množinou a sbaluje ji do cyklicky uspořádané množiny. Je- li dána lineárně uspořádaná množina L a řád zachovávající bijekce T  : L → L s neuzavřenými orbitami, je prostor trajektorie L / T cyklicky uspořádán podle nutné podmínky: [11] [nb]

Konkrétně lze najít K definováním T ( x i ) = x i + 1 na Z × K .

Existuje také n - násobný kryt pro konečné n . V tomto případě jedna cyklicky uspořádaná sada pokrývá jinou cyklicky uspořádanou sadu. Denní čas se například dvakrát překrývá s 12hodinovým časem . V geometrii je svazek paprsků vycházejících z bodu v orientované rovině dvojitým pokrytím svazku neorientovaných čar procházejících stejným bodem [24] [23] . Tyto krytiny lze popsat jako jejich nadzvednutí na univerzální krytinu [11] .

Produkty a kontrakce

Je -li dána cyklicky uspořádaná množina ( K , [ ]) a lineárně uspořádaná množina ( L , <) , je (úplným) lexikografickým součinem cyklické uspořádání na přímém součinu K × L , definované jako [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] když: [25]

• [ a , b , c ]
• a = b ≠ c a x < y
• b = c ≠ a a y < z
• c = a ≠ b a z < x
• a = b = c a [ x , y , z ]

Lexikografický produkt K × L vypadá jako K globálně a L lokálně . Lze si to představit jako K kopií L . Tato konstrukce se někdy používá k popisu cyklicky uspořádaných skupin [26] .

Je možné slepit různé lineárně uspořádané sady a vytvořit tak cyklicky uspořádanou sadu. Dáme-li například dvě lineárně uspořádané množiny L 1 a L 2 , můžete vytvořit cyklus spojením těchto množin v kladném a záporném nekonečnu. Cyklické uspořádání na disjunktním sjednocení L 1 ∪ L 2 ∪ {–∞, ∞ } je definováno jako ∞ < L 1 < –∞ < L 2 < ∞ , kde generované pořadí na L 1 je opačné než původní uspořádání. Například množina všech zeměpisných délek je cyklicky uspořádána slepením všech východních bodů a všech západních bodů podél nultého poledníku a 180. poledníku . Kuhlman, Marshall a Osyak [27] použili tuto konstrukci k popisu prostorů uspořádání a skutečných bodů dvojité formální Laurentovy řady nad skutečným uzavřeným polem [28] .

Topologie

Otevřené intervaly tvoří základ pro přirozenou topologii , topologii cyklického řádu . Otevřené množiny v této topologii jsou přesně ty množiny, které jsou otevřené v libovolném kompatibilním lineárním uspořádání [29] . Pro ilustraci rozdílu, na množině [0, 1) je podmnožina [0, 1/2) okolím 0 v lineárním pořadí, ale ne v cyklickém pořadí.

Zajímavými příklady cyklicky uspořádaných prostorů jsou konformní hranice jednoduše spojeného Lorentzova povrchu [30] a prostory plátků zvednutých centrálních svazků některých 3-manifoldů [31] . Také byly studovány diskrétní dynamické systémy na cyklicky uspořádaných prostorech [32] .

Intervalová topologie zahodí původní orientaci cyklického řádu. Orientaci lze obnovit přidáním intervalů s jejich vygenerovanými lineárními řády. Pak máme soubor pokrytý atlasem lineárních řádů, které jsou kompatibilní s přesahem. Jinými slovy, na cyklicky uspořádanou množinu lze pohlížet jako na lokálně uspořádaný prostor, jako jsou objekty jako manifoldy , ale s uspořádanými vztahy namísto křivočarého souřadnicového systému. Tento úhel pohledu zpřesňuje koncepty, jako je mapování pokrytí. Zobecnění lokálně částečně uspořádaného prostoru je studováno v Rollově článku [33] , viz také Orientovaná topologie .

Související struktury

Skupiny

Cyklicky uspořádaná skupina  je množina se strukturou skupiny a cyklickým uspořádáním tak, že levé a pravé násobení zachovává cyklické uspořádání. Cyklicky uspořádané skupiny byly první, které hlouběji prostudoval Ladislav Rieger v roce 1947 [34] . Cyklicky uspořádané grupy jsou zobecněním cyklických grup  - nekonečná cyklická grupa Z a konečné cyklické grupy Z / n . Protože lineární uspořádání vytváří cyklické uspořádání, cyklicky uspořádané skupiny jsou také zobecněním lineárně uspořádaných grup  — racionálních čísel Q , reálných čísel R a tak dále. Některé z nejdůležitějších cyklicky uspořádaných skupin, které nespadají do žádné z výše uvedených kategorií, jsou kruhová grupa T a její podskupiny, jako je podskupina racionálních bodů .

Jakákoli cyklicky uspořádaná skupina může být vyjádřena jako faktorová skupina L / Z , kde L je lineárně uspořádaná skupina a Z je  cyklická kofinální podskupina L. Libovolnou cyklickou uspořádanou skupinu lze vyjádřit jako součin T × L , kde L  je lineárně uspořádaná skupina. Pokud je cyklicky uspořádaná grupa archimedovská nebo kompaktní, může být vložena do samotné grupy T [35] .

Upravené axiomy

Částečné cyklické uspořádání  je ternární relace, která zobecňuje (celkové) cyklické uspořádání stejným způsobem, jakým částečně uspořádaná množina zobecňuje lineárně uspořádanou množinu . V tomto případě je pořadí cyklické, asymetrické a tranzitivní, ale nemusí být úplné. Uspořádaná varieta je částečný cyklický řád, který splňuje dodatečný distributivní axiom. Nahrazení axiomu asymetrie komplementární verzí vede k definici kocyklického řádu . Úplné kocyklické řády souvisejí s cyklickými řády stejným způsobem, jakým ≤ souvisí s < .

Cyklické uspořádání splňuje silný 4-bodový axiom tranzitivity. Jedna struktura slabší než tento axiom je systém CC  , ternární vztah, který je cyklický, asymetrický a úplný, ale obecně není tranzitivní. Místo toho musí CC systém splňovat 5bodový axiom tranzitivity a nový vnitřní axiom , který omezuje 4bodové konfigurace, které porušují cyklickou tranzitivitu [36] .

Cyklické uspořádání musí být symetrické podle cyklických permutací [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] a symetrické při reverzibilitě: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . Ternární vztah, který je asymetrický za cyklické permutace a symetrický za reverzibility, se spolu s příslušnými verzemi axiomů tranzitivity a úplnosti nazývá vztah „mezi“ . Relace dělení je kvartérní relace , kterou lze chápat jako cyklický řád bez orientace. Vztah mezi kruhovým řádem a separační relací je podobný vztahu mezi lineárním řádem a relací „mezi“ [37] .

Symetrie a teorie modelů

Evans, McPherson a Ivanov [38] podali modelově teoretický popis pokrytí mapování cyklů.

Tararin [39] [39] studoval automorfní skupiny cyklů s různými vlastnostmi tranzitivity . Girodet a Holland [40] popsali cykly, jejichž skupiny plného automorfismu působí volně a tranzitivně . Campero-Arena a Truss [41] popsali počitatelné barevné cykly, jejichž skupiny automorfismu působí tranzitivně. Trass [42] studoval skupinu automorfismu jedinečného (až izomorfismů) spočetného hustého cyklu.

Kulpeshov a McPherson [43] studovali podmínky minimalizace na cyklických řádech struktur , tedy na modelech jazyků prvního řádu, které obsahují vztah cyklického řádu. Tyto podmínky jsou podobné o-minimalitě a slabé o-minimalitě pro případ lineárně uspořádaných struktur. Kulpeshov [44] [13] pokračoval v popisu ω-kategorických struktur [45] .

Vnímání

Hans Freudenthal zdůraznil roli cyklických řádů v kognitivním vývoji, na rozdíl od Jeana Piageta , který uvažoval pouze o lineárních řádech. Byly provedeny experimenty ke studiu mentálního obrazu cyklicky uspořádaných množin, jako jsou měsíce v roce.

Poznámky

↑  V anglické literatuře může být toto uspořádání nazývánocyklické uspořádání [46] ,kruhové uspořádání(kruhové uspořádání) [46] ,cyklické uspořádání(cyklické uspořádání) [47] nebokruhové uspořádání(kruhové uspořádání) [48] . Můžete se také setkat s názvycelkové cyklické uspořádání(zcela cyklické uspořádání) [49] ,úplné cyklické uspořádání(zcela cyklické uspořádání) [50] ,lineární cyklické uspořádání(lineární cyklické uspořádání) [10] ,l-cyklické uspořádánínebo ℓcyklické řádu( l-/ℓ-cyklický řád) [51] pro zdůraznění rozdílu od širší třídy dílčích cyklických řádů , které jednoduše nazývajícyklické řády. Konečně někteří autoři používají termíncyklický řádk označení neorientovaného kvartérního rozdělovacího vztahu [52] .

↑  Množinu s cyklickým řádem můžeme nazvatcyklus [50] nebokruh [53] . V literatuře v angličtině se názvy objevují i​​cyklicky uspořádaná množina(cyklicky uspořádaná množina),množina(množina),celková cyklicky uspořádaná množina(zcela cyklicky uspořádaná množina),úplná cyklicky uspořádaná množina(zcela cyklicky uspořádaná množina),lineárně cyklicky uspořádaná množina(lineárně cyklicky uspořádaná množina),l-cyklicky uspořádaná množina(l-cyklicky uspořádaná množina), ℓ-cyklicky uspořádaná množina(ℓ-cyklicky uspořádaná množina). Všichni autoři se shodují, že cyklus je kompletně uspořádaný.

↑   Pro cyklický vztah existuje několik různých symbolů. Huntington [46] použil sedmikráskové řetězení: ABC . Czech [54] a Nowak [50] použili uspořádané trojice a symbol inkluze:( a , b , c ) ∈ C . Megiddo [55] použil symbol řetězení a inkluze: abc ∈ C , přičemž abc rozumí cyklicky uspořádané trojici. V literatuře o teorii grup se stejně jako u Shvirtskovského [56] , Černaka a Jakubika [57] častěji používají hranaté závorky:[ a , b , c ]. Girodet a Holland [53] používají závorky:( a , b , c ), přičemž u vztahu „mezi“ ponechávají hranaté závorky. Campero-Arena a Truss [58] používají zápis ve stylu funkce: R ( a , b , c ). Rieger [59] cit. Pekinovou [60] ) používá jako oddělovač symbol menší než:< x , y , z <. Někteří autoři používají infixový zápis: a < b < c , přičemž si uvědomují, že takový zápis neodpovídá obvyklé interpretaci a < b a b < c pro stejnou binární relaci < [61] . Weinstein [62] zdůrazňuje cyklickou povahu vztahu opakováním prvku: p ↪ r ↪ q ↪ p .

↑   Nowak [63] nazývá vkládání „izomorfní vkládání“.

↑ Bodwich nazývá  mapováníTArchimedean [64] , Campero-Arena a Trussto nazývají coterminal [65] , a McMullen to nazývápřekladem [11] .

↑   McMullen [11] nazývá Z × K „univerzálním krytem“K. Girodet a Holland [66] napsali, žeKje „konvoluce“ Z × K . Freudenthal a Bauer [67] nazývají Z × K "∞-násobný kryt"K. Často je tato konstrukce psána v antilexikografickém pořadína K × Z.

Poznámky

1. ↑ Brown, 1987 , str. 52.
2. ↑ Huntington, 1916 .
3. ↑ Huntington, 1924 .
4. ↑ Huntington, 1935 , str. 6.
5. ↑ Čech, 1936 , s. 25.
6. ↑ Calegari, 2004 , str. 439.
7. ↑ Courcelle, 2003 .
8. ↑ Huntington, 1935 , str. 7.
9. ↑ Čech, 1936 , s. 24.
10. ↑ 1 2 Novák, 1984 , s. 323.
11. ↑ 1 2 3 4 5 McMullen, 2009 , str. deset.
12. ↑ Giraudet, Holandsko (2002) .
13. ↑ 1 2 Kulpeshov, 2009 .
14. ↑ Coxeter, 1949 , str. 25.
15. ↑ Stasheff, 1997 , s. 58.
16. ↑ Morton, Pachter, Shiu, Sturmfels (2007) .
17. ↑ Novák, 1984 , s. 325.
18. ↑ 1 2 3 Novák, Novotný (1987) .
19. ↑ Novák, 1984 , pp. 325, 331.
20. ↑ Novák, 1984 , s. 333.
21. ↑ Novák, 1984 , s. 330.
22. ↑ Roll, 1993 , str. 469.
23. ↑ 1 2 Freudenthal, Bauer (1974) .
24. ↑ Freudenthal, 1973 , s. 475.
25. ↑ Świerczkowski, 1959a , s. 161.
26. ↑ Świerczkowski, 1959a .
27. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 .
28. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 , str. osm.
29. ↑ Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov, 2008 , str. 44.
30. ↑ Weinstein, 1996 , pp. 80–81.
31. ↑ Calegari, Dunfield, 2003 , pp. 12–13.
32. ↑ Bass, Otero-Espinar, Rockmore, Tresser, 1996 , str. 19.
33. ↑ Roll, 1993 .
34. ↑ Pecinová-Kozáková, 2005 , s. 194.
35. ↑ Świerczkowski, 1959a , pp. 161–162.
36. ↑ Knuth, 1992 , str. čtyři.
37. ↑ Huntington, 1935 .
38. ↑ Evans, Macpherson, Ivanov, 1997 .
39. ↑ 1 2 Tararin, 2001 .
40. ↑ Giraudet, Holandsko, 2002 .
41. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 .
42. ↑ Truss, 2009 .
43. ↑ Kulpeshov, Macpherson, 2005 .
44. ↑ Kulpeshov, 2006 .
45. ↑ Macpherson, 2011 .
46. ↑ 1 2 3 Huntington, 1916 , str. 630.
47. ↑ Kok, 1973 , str. 6.
48. ↑ Mosher, 1996 , str. 109.
49. ↑ Isli a Cohn, 1998 , s. 643.
50. ↑ 1 2 3 Novák, 1982 , s. 462.
51. ↑ Černák, 2001 , str. 32.
52. ↑ Bowditch, 1998 , str. 155.
53. ↑ 1 2 Giraudet, Holandsko, 2002 , s. jeden.
54. ↑ Čech, 1936 , s. 23.
55. ↑ Megiddo, 1976 , str. 274.
56. ↑ Świerczkowski, 1959a , s. 162.
57. ↑ Černák, Jakubik, 1987 , str. 157.
58. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , str. jeden.
59. ↑ Rieger, 1947 .
60. ↑ Pecinová, 2008 , str. 82.
61. ↑ Černy, 1978 , s. 262.
62. ↑ Weinstein, 1996 , s. 81.
63. ↑ Novák, 1984 , s. 332.
64. ↑ Bowditch, 2004 , str. 33.
65. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , str. 582.
66. ↑ Giraudet, Holandsko, 2002 , s. 3.
67. ↑ Freudenthal a Bauer 1974 , str. deset.

Literatura

• Hyman Bass, Maria Victoria Otero-Espinar, Daniel Rockmore, Charles Tresser. Cyklická renormalzatlon a automorfismus skupin kořenových stromů. - Springer, 1996. - T. 1621. - (Poznámky z přednášky z matematiky). — ISBN 978-3-540-60595-9 . - doi : 10.1007/BFb0096321 .
• Brian H. Bowditch. Řezné body a kanonické dělení hyperbolických grup  // Acta Mathematica . - 1998. - Září ( roč. 180 , číslo 2 ). - S. 145-186 . - doi : 10.1007/BF02392898 . Archivováno z originálu 22. března 2012.
• Brian H. Bowditch. Rovinné grupy a Seifertova domněnka  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 2004. - Listopad ( sv. 576 ). - S. 11-62 . - doi : 10.1515/crll.2004.084 .
• Kenneth S. Brown. Konečné vlastnosti grup  // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1987. - únor ( roč. 44 , číslo 1-3 ). - S. 45-75 . - doi : 10.1016/0022-4049(87)90015-6 .
• Danny Calegari. Kruhové grupy, rovinné grupy a Eulerova třída  // Monografie geometrie a topologie. - 2004. - Prosinec ( 7. díl ). - S. 431-491 . - doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 . - arXiv : math/0403311 .
• Danny Calegari, Nathan M. Dunfield. Laminace a grupy homeomorfismů kruhu  // Inventiones Mathematicae. - 2003. - Duben ( ročník 152 , číslo 1 ). - S. 149-204 . - doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 . — arXiv : math/0203192 .
• G. Campero-Arena, John K. Truss. 1-tranzitivní cyklické uspořádání  // Journal of Combinatorial Theory, Series A . - 2009. - Duben ( díl 116 , číslo 3 ). - S. 581-594 . - doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006 .
• Eduard Čech. Bodové množiny . — Praha: Jednota Československých matematiků a fyziků, 1936.
• Štefan Černák. Cantorovo rozšíření poloviny lineárně cyklicky uspořádané grupy  // Diskuze Mathematicae - Obecná algebra a aplikace. - 2001. - T. 21 , no. 1 . - S. 31-46 . - doi : 10.7151/dmgaa.1025 .  (nedostupný odkaz)
• Štefan Černák, Jan Jakubík. Doplnění cyklicky uspořádané skupiny  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , no. 1 . - S. 157-174 . Archivováno z originálu 4. listopadu 2022.
• Ilja Černý. Řezy v jednoduchých spojených oblastech a cyklické řazení soustavy všech hraničních prvků  // Časopis pro pěstování matematiky. - 1978. - T. 103 , čís. 3 . - S. 259-281 .
• Bruno Courcelle. 2.3 Kruhový řád // Problémy v teorii konečných modelů / Dietmar Berwanger, Erich Grädel. — 2003.
• HSM Coxeter . kapitola 3: Pořádek a kontinuita. // Skutečná projektivní rovina. - New York, Toronto, Londýn: McGraw-Hill, 1949.
• David M. Evans, Dugald Macpherson, Alexandre A. Ivanov. Konečné obaly // Teorie modelu grup a grup automorfismu: Blaubeuren, srpen 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 1-72. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Hans Freudenthal . Matematika jako vzdělávací úkol. - D. Reidel, 1973. - ISBN 90-277-0235-7 .
• Hans Freudenthal, A. Bauer. Geometrie — Fenomenologická diskuse // Základy matematiky / Heinrich Behnke, SH Gould. - MIT Press, 1974. - V. 2. - S. 3-28. — ISBN 0-262-02069-6 .
• Hans Freudenthal. Didaktická fenomenologie matematických struktur. - D. Reidel, 1983. - ISBN 90-277-1535-1 .
• Michele Giraudet, W. Charles Holland. Ohkuma Structures  // Objednávka . - 2002. - Září ( díl 19 , číslo 3 ). - S. 223-237 . - doi : 10.1023/A:1021249901409 .  (nedostupný odkaz)
• Edward V. Huntington. Soubor nezávislých postulátů pro cyklický řád  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - Národní akademie věd Spojených států , 1916. - Listopad ( vol. 2 , vydání 11 ). - S. 630-631 . - doi : 10.1073/pnas.2.11.630 .
• Edward V. Huntington. Soubory zcela nezávislých postulátů pro cyklický řád  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - Národní akademie věd Spojených států , 1924. - Únor ( sv. 10 , 2. vydání ). - str. 74-78 . - doi : 10.1073/pnas.10.2.74 .
• Edward V. Huntington. Vzájemné vztahy mezi čtyřmi hlavními typy řádu  //  Transactions of the American Mathematical Society. - 1935. - Červenec ( roč. 38 , 1. vydání ). - str. 1-9 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1 .
• Amar Isli, Anthony G. Cohn. Algebra pro cyklické řazení 2D orientací // AAAI '98/IAAI '98 Sborník z patnácté národní/desáté konference o umělé inteligenci/Inovativní aplikace umělé inteligence . - 1998. - ISBN 0-262-51098-7 .
• Donald E. Knuth . Axiomy a trupy . - Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. - T. 606. - P. ix + 109. — (Poznámky z informatiky). — ISBN 3-540-55611-7 . - doi : 10.1007/3-540-55611-7 .
• Kok H. Propojené uspořádané prostory. - Amsterdam: Mathematisch Centrum , 1973. - ISBN 90-6196-088-6 .
• Salma Kuhlmann, Murray Marshall, Katarzyna Osiak. Cyklické 2-struktury a prostory uspořádání polí mocninných řad ve dvou proměnných  // Journal of Algebra. - 2011. - T. 335 , č.p. 1 . - S. 36-48 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.026 . Archivováno z originálu 21. července 2011.
• Beibut Sh. Kulpešov. Na ℵ 0 -kategorické slabě kruhově minimální struktury // Mathematical Logic Quarterly. - 2006. - Prosinec ( ročník 52 , číslo 6 ). - S. 555-574 . - doi : 10.1002/malq.200610014 .
• Kulpeshov B.Sh. Definovatelné funkce v ℵ 0 -kategorické slabě cyklicky minimální struktury  // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Březen-duben ( díl 50 , číslo 2 ). - S. 356-379 .
• Beibut Sh. Kulpeshov, H. Dugald Macpherson. Podmínky minimalizace na kruhově uspořádaných strukturách // Mathematical Logic Quarterly. - 2005. - Červenec ( díl 51 , číslo 4 ). - S. 377-399 . - doi : 10.1002/malq.200410040 .
• H. Dugald Macpherson. Přehled homogenních struktur  // Diskrétní matematika. - 2011. - doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 .
• Curtis T. McMullen. R-stromy pásu karet a holomorfní dynamika na jednotkovém disku  // Journal of Topology. - 2009. - Vol. 2 , vydání. 1 . - S. 23-76 . - doi : 10.1112/jtopol/jtn032 .
• Nimrod Megiddo. Částečné a úplné cyklické objednávky  (anglicky)  // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1976. - Březen ( roč. 82 , ses. 2 ). - str. 274-276 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 .
• James Morton, Lior Pachter, Anne Shiu, Bernd Sturmfels. Cyklohedronový test pro nalezení periodických genů ve studiích exprese časového průběhu // Statistické aplikace v genetice a molekulární biologii. - 2007. - Leden ( díl 6 , číslo 1 ). - doi : 10.2202/1544-6115.1286 . - arXiv : q-bio/0702049 .
• Lee Mosher. Uživatelská příručka ke skupině mapovacích tříd: jednou proražené povrchy // Geometrické a výpočetní perspektivy na nekonečných skupinách / Gilbert Baumslag. - Knihkupectví AMS, 1996. - T. 25. - S. 101-174. — (DIMACS). — ISBN 0-8218-0449-9 .
• Cyklicky uspořádané množiny  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1982. - T. 32 , no. 3 . - S. 460-473 .
• Vítězslav Novák. Řezy v cyklicky uspořádaných množinách  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1984. - T. 34 , no. 2 . - S. 322-333 .
• Vítězslav Novák, Miroslav Novotný. Po dokončení cyklicky uspořádaných množin  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , no. 3 . - S. 407-414 . Archivováno z originálu 4. listopadu 2022.
• Eliška Pecinová-Kozáková. Ladislav Svante Rieger a jeho algebraické dílo // WDS 2005 - Sborník příspěvků, I. část / Jana Šafránková. - Praha: Matfyzpress , 2005. - S. 190-197. — ISBN 80-86732-59-2 .
• Eliška Pecinová. Ladislav Svante Rieger (1916–1963) . - Praha: Matfyzpress, 2008. - T. 36. - (Dějiny matematiky). - ISBN 978-80-7378-047-0 . Jazyk: čeština
• LS Rieger. O uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II . - 1947. - Vydání. 1 . - S. 1-33 . Jazyk: čeština
• J Blair Roll. Lokálně částečně uspořádané skupiny  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1993. - T. 43 , no. 3 . - S. 467-481 .
• Jim Stasheff. Od operád k „fyzicky“ inspirovaným teoriím // Operady: Sborník konferencí Reneassance / Jean-Louis Loday, James D. Stasheff, Alexander A. Voronov. - Knihkupectví AMS, 1997. - T. 202. - S. 53-82. — (Současná matematika). - ISBN 978-0-8218-0513-8 .
• Świerczkowski S. O cyklicky uspořádaných skupinách  // Fundamenta Mathematicae. — 1959a. - T. 47 . - S. 161-166 .
• O automorfismu grup cyklicky uspořádaných množin  // Siberian Mathematical Journal. - 2001. - T. 42 , no. 1 . - S. 212-230 .
• Valerij Michajlovič Tararin. O c-3-tranzitivním automorfismu grup cyklicky uspořádaných množin  // Matematické poznámky. - 2002. - T. 71 , no. 1 . - S. 122-129 . - doi : 10,4213/mzm333 .
• John K Truss. O skupině automorfismu spočetného hustého kruhového řádu  // Fundamenta Mathematicae . - 2009. - T. 204 , č. 2 . - S. 97-111 . - doi : 10.4064/fm204-2-1 .
• Oleg Viro, Oleg Ivanov, Nikita Netsvetaev, Viatcheslav Kharlamov. 8. Cyklické řády // Elementární topologie: problémová učebnice . - Knihkupectví AMS , 2008. - S. 42-44. - ISBN 978-0-8218-4506-6 .
• Tilla Weinsteinová. Úvod do Lorentzových povrchů. - Walter de Gruyter, 1996. - V. 22. - (De Gruyter Expositions in Mathematics). — ISBN 978-3-11-014333-1 .

Další čtení

• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller, Peter M. Neumann. Poznámky k nekonečným permutačním skupinám. - Springer, 1998. - T. 1698. - S. 108-109. — (Poznámky z matematiky). - doi : 10.1007/BFb0092550 .
• Manuel Bodirsky, Michael Pinsker. Redukty Ramseyových struktur // Modelové teoretické metody v konečné kombinatorice. - AMS, 2011. - (Současná matematika).
• Peter J. Cameron. Tranzitivita permutačních grup na neuspořádaných množinách // Mathematische Zeitschrift. - 1976. - Červen ( roč. 148 , číslo 2 ). - S. 127-139 . - doi : 10.1007/BF01214702 .
• Peter J. Cameron. Cohomologické aspekty dvou grafů. — Mathematische Zeitschrift. - 1977. - T. 157. - S. 101-119. - doi : 10.1007/BF01215145 .
• Peter J. Cameron. Algebra věku // Teorie modelu grup a grup automorfismu: Blaubeuren, srpen 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 126-133. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Bruno Courcelle, Joost Engelfriet. Struktura grafu a monadická logika druhého řádu, jazykový teoretický přístup . — Cambridge University Press, 2011.
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Periodické uspořádané permutační skupiny a cyklické uspořádání // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 1995. - Březen ( vol. 63 , vydání 2 ). - S. 310-321 . - doi : 10.1006/jctb.1995.1022 .
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Sada-homogenních grafů a vkládání celkových objednávek // Objednávka. - 1997. - Březen ( díl 14 , číslo 1 ). - S. 9-20 . - doi : 10.1023/A:1005880810385 .
• David M. Evans Konečné kryty s konečnými jádry // Annals of Pure and Applied Logic. - 1997. - Listopad ( díl 88 , číslo 2-3 ). - S. 109-147 . - doi : 10.1016/S0168-0072(97)00018-3 .
• Ivanov AA Finite Covers, Cohomology and Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1999. - Leden ( díl 78 , číslo 1 ). - S. 1-28 . - doi : 10.1112/S002461159900163X .
• Jan Jakubík. O monotónních permutacích ℓ-cyklicky uspořádaných množin  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 2006. - T. 45 , no. 2 . - S. 403-415 .
• Christine Cowan Kennedyová. Na cyklickém ternárním vztahu ... (diplomová práce). — Tulane University, 1955.
• Eszter Herendine Konyaová. Matematicko-didaktická analýza pojmu orientace  // Výuka matematiky a informatiky. - 2006. - V. 4 , čís. 1 . - S. 111-130 . Archivováno z originálu 4. listopadu 2022.
• Eszter Herendine Konyaová. Geometrické transformace a koncept cyklického řazení // Podpora nezávislého myšlení prostřednictvím matematického vzdělávání / Bożena Maj, Marta Pytlak, Ewa Swoboda. - Rzeszow University Press, 2008. - S. 102-108. - ISBN 978-83-7338-420-0 .
• Gerard Leloup. Existenčně ekvivalentní cyklické ultrametrické prostory a cyklicky oceňované skupiny  // Logic Journal of the IGPL. - 2011. - Únor ( roč. 19 , číslo 1 ). - S. 144-173 . - doi : 10.1093/jigpal/jzq024 .
• Gabriel Marongiu. Několik poznámek ke ℵ 0 -kategoričnosti kruhového uspořádání // Unione Matematica Italiana. Bollettino. B. Série VI. - 1985. - T. 4 , no. 3 . - S. 883-900 . Jazyk: italština
• Stephen McCleary, Matatyahu Rubin. Lokálně se pohybující skupiny a problém rekonstrukce řetězců a kruhů . - 2005. - říjen. - arXiv : math/0510122 .
• Müller G. Lineare und zyklische Ordnung // Praxis der Mathematik. - 1974. - T. 16 . - S. 261-269 .
• Rubin M. Lokálně se pohybující skupiny a rekonstrukční problémy // Uspořádané grupy a nekonečné permutační grupy / W. Charles Holland. - Kluwer, 1996. - T. 354. - S. 121-157. - (Matematika a její aplikace). — ISBN 978-0-7923-3853-6 .
• O cyklických relacích uspořádání // Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, třída III. - 1956. - T. 4 . - S. 585-586 .
• Świerczkowski S. O cyklicky uspořádaných intervalech celých čísel  // Fundamenta Mathematicae. — 1959b. - T. 47 . - S. 167-172 .
• Truss JK Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1992. - Červenec ( sv. s3-65 , číslo 1 ). - S. 121-141 . - doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121 .

Odkazy

• cyklická objednávka na webu nLab