Součin topologických prostorů

Produkt topologických prostorů je topologický prostor získaný jako množina kartézským součinem původních topologických prostorů a vybavený přirozenou topologií nazývanou topologie součinu [1] [2] nebo Tichonovova topologie . Slovo "přirozený" je zde použito ve smyslu teorie kategorií a znamená, že tato topologie splňuje nějakou univerzální vlastnost .

Tuto topologii poprvé studoval sovětský matematik Andrej Tichonov v roce 1926 .

Definice

Nechat:

\{X_{\alpha }:\alpha \in A\}

je rodina topologických prostorů,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

je jejich kartézský součin (jako sady),

p_{\alpha }:X\to X_{\alpha }

je projekce produktu na odpovídající faktor.

Tikhonovova topologie na je nejhrubší topologie (tj. topologie s nejmenším počtem otevřených množin ), pro kterou jsou všechny projekce spojité . Otevřené množiny této topologie jsou všechny možné sjednocení množin tvaru , kde každá je otevřenou podmnožinou a pouze pro konečný počet indexů. Zejména otevřené množiny součinu konečného počtu prostorů jsou jednoduše sjednocení součinů otevřených podmnožin původních prostorů. $X$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

Také, Tikhonov topologie může být popsána následovně: rodina souborů je vzata jako prebase topologie . Základem topologie jsou všechny možné konečné průniky množin z a topologie jsou všechny možné sjednocení množin ze základny. $X$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

Tichonovova topologie je slabší než tzv. „krabicová“ topologie, pro kterou je základ topologie tvořený všemi možnými součiny otevřených podmnožin násobicích prostorů. Taková topologie nemá výše uvedenou univerzální vlastnost a Tichonovova věta pro ni neplatí .

Příklady

Obvyklá topologie na (topologie vyvolaná metrikou ) je topologie součinu na kartézském stupni $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

Cantorova množina je homeomorfní k součinu spočetného počtu kopií diskrétního prostoru {0,1} a prostor iracionálních čísel je homeomorfní k součinu spočetného počtu prostorů přirozených čísel (s diskrétní topologií).

Vlastnosti

Topologický prostor spolu s projekcemi na každou komponentu lze definovat pomocí univerzální vlastnosti : pokud je libovolný topologický prostor a pro každý je dáno spojité zobrazení, pak existuje jedinečné zobrazení , takže pro každý je následující diagram komutativní: $X$ $X_{i}$ $Y$ $i\v I$ $Y\to X_{i},$ $Y\až X,$ $i\v I$

To ukazuje, že Tikhonovův produkt je produktem v kategorii topologických prostorů . Z univerzální vlastnosti vyplývá, že zobrazení je spojité právě tehdy, když je každé zobrazení spojité.V mnoha situacích je spojitost snadněji kontrolovatelná. $f:Y\to X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

Projekce nejsou pouze spojitá, ale také otevřená zobrazení (to znamená, že každá otevřená sada produktu, když se promítne na komponentu, přejde do otevřené sady). Opak, obecně řečeno, není pravda (protipříkladem je podmnožina, která je doplňkem otevřeného kruhu). Projekce také nemusí být nutně uzavřená zobrazení (protipříkladem je, že obrazy projekcí uzavřené množiny na souřadnicové osy nejsou uzavřenými podmnožinami přímky). $p_{i}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

Topologie produktu se někdy nazývá topologie bodové konvergence. Důvod je následující: posloupnost prvků z produktu konverguje právě tehdy, když jeho obraz konverguje při promítání na každou komponentu. Například topologie součinu na prostoru funkcí s reálnou hodnotou na je topologie, ve které posloupnost funkcí konverguje, když konverguje bodově. $\mathbb {R} ^{I},$ $já$

Vztah k jiným topologickým konceptům

Axiomy oddělitelnosti :

Součin -spaces má vlastnost . $T_{0}$ $T_{0}$
Součin -spaces má vlastnost . $T_{1}$ $T_{1}$
Produktem Hausdorff spaces je Hausdorff.
Součin pravidelných prostorů je pravidelný.
Produkt zcela pravidelných prostorů je zcela pravidelný.
Součin normálních prostorů není vždy normální .

Kompaktnost :

Součin kompaktních prostorů je kompaktní .
Produkt lokálně kompaktních prostorů není vždy lokálně kompaktní. Produkt rodiny lokálně kompaktních prostorů, ve kterých jsou všechny komponenty kromě konečného počtu kompaktní, je však lokálně kompaktní.

Konektivita :

Součin spojených (respektive cest spojených) prostorů je propojen (respektive cestou spojený).
Produkt zcela odpojených prostorů je zcela odpojen.

Kompaktnost produktů Tikhonov

Tichonovův teorém : pokud jsou všechny množiny kompaktní , pak je kompaktní i jejich Tichonovův součin. $X_{\alpha }$

K prokázání tvrzení podle Alexandrovy věty o předbázi stačí dokázat, že každé krytí prvky předbáze připouští konečnou podpokryvnost. Pro any , nechť je spojení všech sad, pro které je sada obsažena v krytu. Potom je nekrytá část prostoru X vyjádřena vzorcem: ${\mathfrak {P}}$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $U\v X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Protože je tato sada prázdná, alespoň jeden faktor musí být prázdný. To znamená, že pro některé zvažovaná krytina obsahuje -předobraz zakrytí prostoru . Díky kompaktnosti prostoru lze rozlišit konečnou podpokryvnou vrstvu od jejího obalu a pak její inverzní obraz vzhledem k mapování bude konečnou podpokryvnou vrstvou prostoru . $\alpha$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $X$

Viz také

Tichonovského kostka

Poznámky

↑ Yu. G. Borisovič, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Úvod do topologie. 2. vyd., dodat. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementární topologie. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Literatura

Engelking R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.