Obdélníkový deltoid

Pravoúhlý deltoid je deltoid ( čtyřúhelník , jehož strany lze seskupit do dvou párů sousedních stran stejné délky), který lze vepsat do kružnice [1] . To znamená, že se jedná o deltoid s kružnicí opsanou ( vepsaný deltoid). Pak je pravoúhlý deltoid konvexní čtyřúhelník a má dva protilehlé pravé úhly [2] .

Vepsaný kruh

Všechny pravoúhlé deltoidy jsou čtyřúhelníky incircle (které mají kružnici opsanou a kružnici), protože všechny deltoidy mají kružnici . Jedna z úhlopříček (která slouží jako osa symetrie ) rozděluje pravý deltoid na dva pravoúhlé trojúhelníky a je také průměrem kružnice opsané.

V opsaném čtyřúhelníku (tj. jednom s vepsaným kruhem) čtyři úsečky mezi středem vepsané kružnice a tečnými body čtyřúhelníku rozdělují čtyřúhelník na čtyři pravoúhlé deltoidy.

Zvláštní případ

Zvláštním případem pravoúhlých deltoidů jsou čtverce , kde úhlopříčky jsou stejně dlouhé a kružnice vepsané a opsané jsou soustředné .

Popis

Deltoid je pravý deltový sval právě tehdy, když má kružnici opsanou (podle definice). To je ekvivalentní deltoidu se dvěma protilehlými pravými úhly.

Vzorce

Protože pravoúhlý deltoid lze rozdělit na dva pravoúhlé trojúhelníky, lze následující vzorce snadno odvodit ze známých vlastností pravoúhlých trojúhelníků. V pravoúhlém deltoidu ABCD , kde dva protilehlé úhly B a D jsou pravé úhly, lze další dva úhly vypočítat z

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b }}

kde a = AB = AD a b = BC = CD . Oblast obdélníkového deltoidu je

\displaystyle K=ab.

Úhlopříčka AC , která je osou symetrie, má délku

{\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2))))

a protože úhlopříčky jsou kolmé (takže pravý deltoid je pravoúhlý čtyřúhelník s plochou ), má druhá úhlopříčka BD délku $K={\frac {pq}{2))$

q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).

Poloměr kružnice opsané je (podle Pythagorovy věty )

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

a protože všechny deltoidy jsou opsány , je poloměr vepsané kružnice dán vztahem

r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}

kde s je poloobvod.

Plocha je dána jako poloměr R kružnice opsané a poloměr r kružnice vepsané jako [3] .

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).

Označíme-li segmenty na úhlopříčkách od průsečíku k vrcholům ve směru hodinových ručiček , pak ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4))$

{\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4))

Toto je přímý důsledek věty o geometrickém průměru .

Dualita

Dvojitý mnohoúhelník pro pravoúhlý deltoid je rovnoramenný lichoběžník [1] .

Alternativní definice

Někdy je pravoúhlý deltoid definován jako deltoid s alespoň jedním pravým úhlem [4] . Pokud existuje pouze jeden pravý úhel, musí být mezi dvěma stranami stejné délky. V tomto případě výše uvedené vzorce nefungují.

Poznámky

↑ 1 2 de Villiers, 2009 , s. 154, 206.
↑ de Villiers, 1994 , s. 11–18.
↑ Josefsson, 2012 , str. 237–24.
↑ 1728 Software Systems, Kite Calculator , přístup 8. října 2012 . Získáno 29. března 2019. Archivováno z originálu dne 6. září 2021. (neurčitý)

Literatura

Michael de Villiers. Některá dobrodružství v euklidovské geometrii. - Key Curriculum Press, 2009. - ISBN 978-0-557-10295-2 .
Michael de Villiers. Role a funkce hierarchické klasifikace čtyřúhelníků // For the Learning of Mathematics. - 1994. - T. 14 , no. 1 . — .
Martin Josephson. Maximální plocha bicentrického čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .