Vepsaný-opsaný čtyřúhelník

Opsaný čtyřúhelník je konvexní čtyřúhelník , který má kružnici vepsanou i kružnici opsanou . Z definice vyplývá, že opsané čtyřúhelníky mají všechny vlastnosti jak opsaných čtyřúhelníků , tak vepsaných čtyřúhelníků . Jiné názvy pro tyto čtyřúhelníky jsou čtyřúhelník tětiva-tečný [1] a bicentrický čtyřúhelník . Říká se jim také dvoukruhové čtyřúhelníky [2] .

Jsou-li dvě kružnice, jedna uvnitř druhé, kružnicí vepsanou a kružnicí opsanou nějakého čtyřúhelníku, pak jakýkoli bod na kružnici opsané je vrcholem nějakého (možná odlišného) vepsaného čtyřúhelníku, který má stejné kružnice vepsané i kružnice opsané [3] . Je to důsledek Ponceletova porismu , který dokázal francouzský matematik Jean-Victor Poncelet (1788–1867).

Zvláštní příležitosti

Příklady opsaných čtyřúhelníků jsou čtverce , pravoúhlé deltoidy a rovnoramenné opsané lichoběžníky .

Popis

Konvexní čtyřúhelník ABCD se stranami a , b , c , d je bicentrický právě tehdy, když protilehlé strany splňují Pitotovu větu pro opsané čtyřúhelníky a vlastnost vepsaných čtyřúhelníků, že protilehlé úhly sčítají až 180 stupňů, tzn.

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases))

Tři další popisy se týkají bodů, kde se kružnice vepsané v opsaném čtyřúhelníku dotýká stran. Pokud je kružnice tečnou ke stranám AB , BC , CD a DA v bodech W , X , Y a Z , pak je opsaný čtyřúhelník ABCD také opsán tehdy a jen tehdy, když je splněna kterákoli z následujících tří podmínek [4] :

Segment WY je kolmý na XZ
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

První z těchto tří podmínek znamená, že kontaktní čtyřúhelník WXYZ je ortodiagonální čtyřúhelník .

Jestliže E , F , G , H jsou středy WX , XY , YZ , ZW , pak je opsaný čtyřúhelník ABCD také opsán právě tehdy, když čtyřúhelník EFGH je obdélník [4] .

Podle jiného popisu, je-li I středem vepsané kružnice vepsaného čtyřúhelníku , jehož protilehlá boční prodloužení se protínají v J a K , pak je čtyřúhelník opsán právě tehdy, když JIK je pravý úhel [4] .

Další nutnou a postačující podmínkou je, že opsaný čtyřúhelník ABCD je opsán právě tehdy, když je jeho Gaussova přímka kolmá na Gaussovu přímku jeho kontaktního čtyřúhelníku WXYZ . (Gaussova čára čtyřúhelníku je určena středy jeho úhlopříček.) [4]

Budova

Existuje jednoduchá metoda pro konstrukci bicentrického čtyřúhelníku:

Konstrukce začíná kružnicí vepsanou C r se středem I a poloměrem r , poté nakreslete dvě na sebe kolmé tětivy WY a XZ ve vepsané kružnici C r . Na koncích tětiv nakreslíme tečny a , b , c a d k vepsané kružnici. Protínají se v bodech A, B, C a D , což jsou vrcholy vepsaného čtyřúhelníku [5] . Pro nakreslení opsané kružnice nakreslete dvě střední kolmice p 1 a p 2 ke stranám opsaného čtyřúhelníku a a b . Protínají se ve středu O kružnice opsané C R ve vzdálenosti x od středu I kružnice opsané C r .

Platnost této konstrukce vyplývá ze skutečnosti, že v opsaném čtyřúhelníku ABCD má kontaktní čtyřúhelník WXYZ kolmé úhlopříčky právě tehdy, když je opsaný čtyřúhelník také vepsaný .

Oblast

Vzorce ve čtyřech veličinách

Plochu K opsaného čtyřúhelníku lze vyjádřit čtyřmi rozměry čtyřúhelníku několika způsoby. Jsou-li a , b , c a d strany, pak je obsah dán vztahem [3] [6] [7] [8] [9]

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Toto je zvláštní případ Brahmaguptovy formule . Vzorec lze také získat přímo z trigonometrického vzorce pro oblast opsaného čtyřúhelníku . Všimněte si, že obráceně neplatí — některé čtyřúhelníky, které nejsou bicentrické, mají také plochu [10] . Příkladem takového čtyřúhelníku je obdélník (s různými stranami, nikoli čtverec). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Plochu lze vyjádřit úsečkami od vrcholu k bodu dotyku (pro stručnost budeme tyto délky nazývat tečné délky) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Vzorec pro oblast vepsaného čtyřúhelníku ABCD se středem vepsané kružnice I [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Pokud má opsaný čtyřúhelník tečné tětivy k , l a úhlopříčky p , q , pak má obsah [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Jestliže k , l jsou tečné tětivy a m , n jsou čtyřúhelníkové bimediány , pak lze plochu vypočítat pomocí vzorce [7] .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

Vzorec nelze použít, pokud je čtyřúhelník pravý deltový sval , protože v tomto případě je jmenovatel nula.

Pokud jsou M a N středy úhlopříček a E a F jsou průsečíky prodloužení stran, pak je plocha vepsaného čtyřúhelníku dána vztahem

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

kde I je střed vepsané kružnice [7] .

Vzorce z hlediska tří veličin

Plochu vepsaného čtyřúhelníku lze vyjádřit dvěma protilehlými stranami a úhlem θ mezi úhlopříčkami podle vzorce [7]

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

Z hlediska dvou sousedních úhlů a poloměru r vepsané kružnice je plocha dána vzorcem [7]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

Plocha je dána jako poloměr R kružnice opsané a poloměr r kružnice vepsané jako

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

kde θ je některý z úhlů mezi úhlopříčkami [13] .

Pokud M a N jsou středy úhlopříček a E a F jsou průsečíky prodloužení protilehlých stran, lze plochu vyjádřit vzorcem

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

kde Q je základna kolmice k přímce EF ze středu kružnice vepsané [7] .

Nerovnosti

Jestliže r a R jsou poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané, pak plocha K splňuje dvojitou nerovnost [14]

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Rovnost dostaneme pouze v případě, že čtyřúhelník je čtverec .

Další nerovnost pro oblast by byla [15] :str.39,#1203

{\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

kde r a R jsou poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané.

Podobná nerovnost, která dává lepší horní hranici oblasti než předchozí [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

a rovnosti je dosaženo právě tehdy, je-li čtyřúhelník pravý deltový sval .

Také se stranami a, b, c, d a poloobvodem s :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :str. 39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :str. 39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :str. 39,#1203

Úhlové vzorce

Jestliže a , b , c a d jsou délky stran AB , BC , CD a DA v opsaném čtyřúhelníku ABCD , pak lze jeho vrcholové úhly vypočítat pomocí tečny [7] :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Při použití stejného zápisu jsou splněny následující vzorce pro sinus a kosinus [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

Úhel θ mezi úhlopříčkami lze vypočítat ze vzorce [8] .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

Poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané

Poloměr vepsané kružnice r vepsaného čtyřúhelníku je určen stranami a , b , c , d podle vzorce [3]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Poloměr opsané kružnice R je speciálním případem Paramesvarovy formule [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

Poloměr kružnice vepsané lze také vyjádřit pomocí po sobě jdoucích délek tečen e , f , g , h podle vzorce [17] .

\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.

Tyto dva vzorce jsou ve skutečnosti nezbytnou a postačující podmínkou pro to, aby byl opsaný čtyřúhelník s poloměrem kružnice r vepsán .

Čtyři strany a , b , c , d vepsaného čtyřúhelníku jsou řešením rovnice čtvrtého stupně

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

kde s je půlobvod a r a R jsou poloměr kružnice vepsané, respektive poloměr kružnice opsané [18] .

Existuje-li vepsaný čtyřúhelník s poloměrem vepsané kružnice r , jehož délky tečny jsou rovny e , f , g , h , pak existuje čtyřúhelník opsaný s poloměrem vepsané kružnice r v , jehož délky tečny jsou , kde v může být libovolné reálné číslo [19] . ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v))$

Opsaný čtyřúhelník má větší poloměr opsané kružnice než jakýkoli jiný opsaný čtyřúhelník se stejnou délkou stran ve stejném pořadí [20] .

Nerovnosti

Poloměr kružnice opsané R a poloměr kružnice vepsané r splňují nerovnost

R\geqslant {\sqrt {2}}r

což prokázal L. Fejes Toth v roce 1948 [21] . Nerovnice se stane rovností pouze tehdy, jsou-li obě kružnice soustředné (středy jsou stejné). V tomto případě je čtyřúhelník čtverec . Nerovnici lze dokázat několika různými způsoby, jedním ze způsobů je použití dvojité nerovnosti pro výše uvedenou oblast.

Zobecněním předchozí nerovnosti je [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

kde se nerovnost mění v rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník čtverec [23] .

Poloobvod s vepsaného opsaného čtyřúhelníku vyhovuje [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2))}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

kde r a R jsou poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané.

Navíc [15] :s.39,#1203

{\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2))

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :str. 62,#1599

Vzdálenost mezi středem kružnice vepsané a středem kružnice opsané

Fussova věta

Fussova věta dává vztah mezi poloměrem r opsané kružnice , poloměrem R opsané kružnice a vzdáleností x mezi středem opsané kružnice I a středem opsané kružnice O pro jakýkoli bicentrický čtyřúhelník. Zapojení je dáno vzorcem [1] [9] [25] .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

Nebo ekvivalentně,

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

Vzorec odvodil Nikolaj Ivanovič Fuss (1755–1826) v roce 1792. Řešením pro x dostaneme

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

Fussova věta pro vepsané čtyřúhelníky, která je analogická s Eulerovou větou pro trojúhelníky , říká, že je-li čtyřúhelník bicentrický, pak jsou jeho dva sdružené kružnice příbuzné výše uvedeným vzorcem. Ve skutečnosti to platí i obráceně — jsou-li dány dvě kružnice (jedna uvnitř druhé) s poloměry R a r a vzdálenost x mezi jejich středy splňuje podmínku Fussovy věty, je do jedné z kružnic vepsán konvexní čtyřúhelník. , a druhý kruh bude vepsán do čtyřúhelníku [26 ] (a pak podle Ponceletovy věty je takových čtyřúhelníků nekonečně mnoho).

Využijeme-li toho, že při vyjádření Fussovy věty získáme již zmíněnou nerovnost jiným způsobem Zobecnění nerovnosti je [27] $x^{2}\geqslant 0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identity Karlitz

Jiný vzorec pro vzdálenost x mezi středy kružnice vepsané a kružnice opsané má na svědomí americký matematik Leonard Karlitz (1907–1999). Vzorec říká, že [28] .

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

kde r a R jsou poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané a

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

kde a , b , c , d jsou strany vepsaného čtyřúhelníku.

Nerovnice pro tečné délky a strany

Pro tečné délky e , f , g , h platí následující nerovnosti [29] :

{\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

kde r je poloměr kružnice vepsané, R je poloměr kružnice opsané a x je vzdálenost mezi středy těchto kružnic. Strany a , b , c , d splňují nerovnosti [27]

{\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

Další vlastnosti středu vepsané kružnice

Střed kružnice opsané , střed kružnice vepsané a průsečík úhlopříček ve čtyřúhelníku opsaném jsou kolineární . [třicet]

Pokud jde o čtyři vzdálenosti mezi středem kružnice I a vrcholy bicentrického čtyřúhelníku ABCD , existuje následující rovnost : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

kde r je poloměr vepsané kružnice.

Je-li bod P průsečíkem úhlopříček vepsaného čtyřúhelníku ABCD se středem vepsané kružnice I , pak [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Ve čtyřúhelníku opsaném ABCD existuje nerovnost pro poloměr r kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané R [33]

{\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2))

kde I je středem vepsané kružnice.

Vlastnosti úhlopříček

Délky úhlopříček v opsaném čtyřúhelníku lze vyjádřit jako strany nebo délky tečny . Tyto vzorce jsou platné pro vepsané čtyřúhelníky , respektive opsané čtyřúhelníky .

V opsaném čtyřúhelníku s úhlopříčkami p a q platí identita [34] :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

kde r a R jsou poloměr kružnice vepsané a poloměr kružnice opsané . Tuto identitu lze přepsat jako [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

nebo, když to vyřešíme jako kvadratickou rovnici s ohledem na součin úhlopříček, dostaneme

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

V opsaném čtyřúhelníku existuje nerovnost pro součin úhlopříček p , q [14]

{\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2))

kde a , b , c , d jsou strany. Nerovnost dokázal Murray S. Klumkin v roce 1967.

Viz také

Vepsaný-opsaný mnohoúhelník
Neopsaný čtyřúhelník

Poznámky

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , str. 188–193.
↑ 12 Yun , 2008 , str. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld , [1] Archivováno 23. ledna 2019 na Wayback Machine , přístup 2011-08-13.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , str. 165–173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , str. 125–126.
↑ Josefsson, 2010 , str. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , str. 155–164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , str. 28, 30.
↑ 12 Yiu , 1998 , str. 158-164.
↑ Pane, 2012 , str. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , str. 128.
↑ Josefsson, 2010a , str. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , str. 237–241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , str. 64–66.
↑ 1 2 3 4 5 6 Nerovnosti navržené v Crux Mathematicorum , 2007. [2] Archivováno 27. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ Josefsson, 2012 , str. 79–82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , str. 41.
↑ Pop, 2009 , str. 754.
↑ Radic, 2005 , str. 9-10.
↑ Hess, 2014 , str. 392–393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , str. 141.
↑ Josefsson, 2012 , str. 81.
↑ Radic, 2005 , str. 13.
↑ Salazar, 2006 , str. 306–307.
↑ Byerly, 1909 , s. 123–128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , str. 5.
↑ Calin, 2010 , str. 153–158.
↑ Radic, 2005 , str. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Kolinearita v bicentrických čtyřúhelnících [3] Archivováno 26. dubna 2004 na Wayback Machine , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Fussova věta pro bicentrický čtyřúhelník , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) č. 4, s. 242.
↑ Příspěvek na Art of Problem Solving , 2009
↑ Yiu, 1998 , str. 158-164.

Literatura

Heinrich Dorrie. 100 velkých problémů elementární matematiky: jejich historie a řešení. - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld - webový zdroj Wolfram,.
Martin Josephson. Charakterizace bicentrických čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . — S. 165–173 .
Martin Josephson. Výpočty týkající se tečných délek a tečných tětiv tečného čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. — 2010a. - T. 10 . — S. 119–130 .
Martin Josephson. Oblast bicentrického čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 155–164 .
Martin Josephson. Nový důkaz Yunovy nerovnosti pro bicentrické čtyřúhelníky // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — s. 79–82 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Ikony matematiky. Průzkum dvaceti klíčových snímků. - Mathematical Association of America, 2011. - S. 125-126. - ISBN 978-0-88385-352-8 .
Nick Lord. Čtyřúhelníky s plošným vzorcem // Mathematical Gazette. - 2012. - Červenec ( v. 96 ). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$
Martin Josephson. Maximální plocha bicentrického čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Když méně je více: vizualizace základních nerovností . - Mathematical Association of America, 2009. - S. 64-66 . — ISBN 978-0-88385-342-9 .
Durell CV, Robson A. Pokročilá trigonometrie. — Dover, 2003.
Radic M., Kaliman Z., Kadum V. Podmínka, že tečný čtyřúhelník je zároveň tětivou. - Mathematical Communications, 2007. - V. 12. - S. 33–52.
Ovidiu T. Pop. Identity a nerovnosti ve čtyřúhelníku // Octogon Mathematical Magazine. - 2009. - Říjen ( vol. 17 , No. 2 ). - S. 754-763 .
Mirko Radic. Určité nerovnosti týkající se bicentrických čtyřúhelníků, šestiúhelníků a osmiúhelníků // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - T. 6 , no. 1 .
Zhang Yun. Revidovaná Eulerova nerovnost // Matematické spektrum. - 2008. - Květen ( roč. 40 , č. 3 ). - S. 119-121 .
Mark Shattuck. Geometrická nerovnost pro cyklické čtyřúhelníky // Forum Geometricorum. - 2018. - T. 18 . - S. 141-154 .
Paul Yiu. Euklidovská geometrie . - 1998. - S. 158-164.
Juan Carlos Salazar. Fussova věta // Mathematical Gazette. - 2006. - Červenec ( sv. 90 ). — S. 306–307 .
Byerly W.E. The In-and-Circumscribed Quadrilateral // The Annals of Mathematics. - 1909. - T. 10 . — S. 123–128 . - doi : 10.2307/1967103 .
Ovidiu Calin. Euklidovská a neeuklidovská geometrie a metrický přístup . - 2nd ed .. - Wiley Custom Publishing, 2010. - S. 153-158.
Albrecht Hess. Na kružnici obsahující středy tečných čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . — S. 389–396 .