Nerovnost

Nerovnost v matematice  je vztah spojující dvě čísla nebo jiné matematické objekty pomocí jednoho z níže uvedených znaků [1] .

Přísné nerovnosti

Nerovnosti jsou ekvivalentní . Říkají, že znamení a jsou protikladná ; například výraz „znak nerovnosti byl obrácen“ znamená, že byl nahrazen výrazem nebo naopak.

Nepřísné nerovnosti

Ruská tradice psaní znaků ⩽ a ⩾ odpovídá mezinárodní normě ISO 80000-2 . V zahraničí se někdy používají znaky ≤ a ≥ nebo ≦ a ≧. Říká se, že znaménka ⩽ a ⩾ jsou také protikladná .

Jiné typy nerovností

Dále v tomto článku, pokud není uvedeno jinak, se pojem nerovnost týká prvních 4 typů.

V elementární matematice se studují numerické nerovnice (racionální, iracionální, trigonometrické, logaritmické, exponenciální). V obecné algebře , analýze , geometrii , nerovnosti jsou také uvažovány mezi objekty nenumerické povahy.

Související definice

Nerovnice se stejnými znaménky se nazývají stejnojmenné nerovnosti (někdy se používá výraz „stejný význam“ nebo „stejný význam“).

Je povolena dvojitá nebo dokonce vícenásobná nerovnost, která kombinuje několik nerovností do jedné. Příklad:

je zkratka pro dvojici nerovností: a

Numerické nerovnosti

Číselné nerovnice obsahují reálná čísla ( u komplexních čísel není srovnání pro více či méně definováno ) a mohou obsahovat i symboly neznámých.Číselné nerovnice obsahující neznámé veličiny se dělí (podobně jako rovnice ) na algebraické a transcendentální. Algebraické nerovnosti se zase dělí na nerovnosti prvního stupně, druhého stupně a tak dále. Například nerovnost je algebraická prvního stupně, nerovnost je algebraická třetího stupně, nerovnost je transcendentální [2] .

Vlastnosti

Vlastnosti numerických nerovnic jsou v některých ohledech blízké vlastnostem rovnic [1] :

Další vlastnosti

Řešení nerovnic

Pokud nerovnost obsahuje symboly neznámých, pak její řešení znamená zjistit otázku, pro jaké hodnoty neznámých je nerovnost splněna. Příklady:

provedeno v provádí, pokud nebo nikdy neprovedeno (žádná řešení). platí pro všechny ( identita ).

Pozor : pokud zvýšíte nerovnost obsahující neznámé na sudou mocninu, mohou se objevit „extra“ řešení. Příklad: je-li nerovnost na druhou: pak se objeví chybné řešení, které nevyhovuje původní nerovnosti. Všechna takto získaná řešení by proto měla být ověřena dosazením do původní nerovnosti.

Nerovnosti prvního stupně

Nerovnice prvního stupně má obecný formát: nebo kde (práce se znaky a je podobná). Chcete-li to vyřešit, vydělte nerovnost a pokud otočte znaménko nerovnosti [3] . Příklad:

Zde jsou podobné pojmy: nebo Systémy nerovnic prvního stupně

Pokud je stejná neznámá zahrnuta do více nerovností, je třeba řešit každou nerovnost samostatně a tato řešení pak porovnat, což je nutné provést společně.

Příklad 1 . Ze systému získáme dvě řešení: pro první nerovnost pro druhou: Jejich kombinací dostaneme odpověď:

Příklad 2 . Řešení: a Druhé řešení absorbuje první, takže odpověď je:

Příklad 3 . Řešení: a jsou nekompatibilní, takže původní systém nemá žádná řešení.

Nerovnosti druhého stupně

Obecná forma nerovnosti druhého stupně (také nazývaná kvadratická nerovnost ):

nebo

Pokud má kvadratická rovnice reálné kořeny , pak lze nerovnost zredukovat na tvar, resp.

nebo

V prvním případě a musí mít stejné znaky, ve druhém - odlišné. Pro konečnou odpověď je třeba použít následující jednoduché pravidlo [4] .

Čtvercová trojčlenka s různými reálnými kořeny je záporná v intervalu mezi kořeny a kladná mimo tento interval.

Pokud by se ukázalo, že rovnice nemá žádné reálné kořeny, pak si její levá strana zachovává pro všechny stejné znaménko. Původní nerovnost druhého stupně je tedy buď identická, nebo nemá řešení (viz příklady níže [5] ).

Příklad 1 . Vydělením , dostaneme nerovnost do tvaru: Po vyřešení kvadratické rovnice dostaneme kořeny , takže původní nerovnost je ekvivalentní této: Podle výše uvedeného pravidla, což je odpověď.

Příklad 2 . Podobně získáme, že a máme stejná znaménka, tedy podle pravidla, popř

Příklad 3 . Rovnice nemá žádné skutečné kořeny, takže její levá strana si zachovává své znaménko pro všechny Levá strana je kladná, takže původní nerovnost je identita (pravda pro všechny ).

Příklad 4 . Stejně jako v předchozím příkladu je i zde levá strana vždy kladná, takže nerovnost nemá řešení.

Podobně faktoringem lze řešit nerovnosti vyšších stupňů. Dalším způsobem je sestavit graf levé strany a určit, jaká znaménka má v různých intervalech [6] .

Jiné nerovnosti

Existují také zlomkové racionální, iracionální, logaritmické a trigonometrické nerovnosti.

Některé dobře známé nerovnosti

Níže jsou uvedeny prakticky užitečné nerovnosti, které jsou shodně splněny, pokud neznámé spadají do zadaných hranic [7] .

kde je kladné číslo větší než 1. Důsledky této nerovnosti najdete v článku Absolutní hodnota .

Znaky nerovnosti v programovacích jazycích

Symbol "není se rovná" se v různých programovacích jazycích píše odlišně.

symbol jazyky
!= C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<> Základní , Pascal , 1C
~= Lua
/= Haskell , Fortran , Ada
# Modula-2 , Oberon

Kódy znaků nerovnosti

symbol obraz Unicode ruské jméno HTML Latex
kód titul hexadecimální desetinný mnemotechnické pomůcky
< U+003C Méně než znamení Méně < < < <, \textless
> U+003E Větší než znamení Více > > > >, \textvětší
U+2A7D Menší než nebo šikmo rovné Méně nebo stejně Ne \leqslant
U+2A7E Větší než nebo šikmo rovné Více nebo stejné Ne \geqslant
U+2264 Menší nebo rovno Méně nebo stejně \le, \leq
U+2265 Větší než nebo rovno Více nebo stejné \ge, \geq
U+226A Mnohem méně než Mnohem méně Ne \ll
U+226B Mnohem větší než Mnohem více Ne \gg

Viz také

Poznámky

  1. 1 2 Nerovnice // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 999.
  2. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 177.
  3. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 178.
  4. Elementární matematika, 1976 , s. 217-222.
  5. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 180-181.
  6. Elementární matematika, 1976 , s. 212-213, 219-222.
  7. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 174-176.

Literatura

  • Nerovnosti Beckenbach E.F. — M .: Mir, 1965.
  • Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
    • Reedice: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
  • Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
  • Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Nerovnosti. - M .: Zahraniční literatura, 1948.