Kvadratická rovnice

Kvadratická rovnice je algebraická rovnice druhého stupně s obecným tvarem

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

kde je neznámá a koeficienty a jsou reálná nebo komplexní čísla. $X$ $A$ $b$ $C$

Kořenem rovnice je hodnota proměnné, která otočí čtvercový trinom na nulu, a kvadratická rovnice na správnou číselnou rovnost. Tato hodnota se také nazývá kořen samotného polynomu. $ax^{2}+bx+c=0$ $X$ $ax^{2}+bx+c.$

Prvky kvadratické rovnice mají svá jména [1] :

$A$ nazývá se první nebo vedoucí koeficient,
$b$ se nazývá druhý průměrný koeficient nebo koeficient při $X$ ,
$C$ se nazývá volný člen .

Je volána redukovaná kvadratická rovnice, ve které je vedoucí koeficient roven jedné [1] . Takovou rovnici lze získat vydělením celého výrazu vedoucím koeficientem: $A$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

Kvadratická rovnice je považována za úplnou, pokud jsou všechny její koeficienty nenulové.

Taková kvadratická rovnice se nazývá neúplná , pokud je alespoň jeden z koeficientů, kromě nejvyššího (buď druhého koeficientu nebo volného členu), roven nule.

Kvadratická rovnice je řešitelná v radikálech , to znamená, že její kořeny mohou být vyjádřeny v podmínkách koeficientů obecně.

Historické informace o kvadratických rovnicích

Starověký Babylon

Již ve druhém tisíciletí před naším letopočtem věděli Babyloňané řešit kvadratické rovnice [1] . Jejich řešení ve starověkém Babylonu úzce souviselo s praktickými úkoly, zejména měřením rozlohy pozemků, zemními pracemi souvisejícími s vojenskými potřebami; přítomnost těchto znalostí je dána i rozvojem matematiky a astronomie obecně. Byly známy metody řešení úplných i neúplných kvadratických rovnic. Zde jsou příklady kvadratických rovnic, které byly vyřešeny ve starověkém Babylonu pomocí moderní algebraické notace:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Pravidla pro řešení kvadratických rovnic jsou v mnohém podobná těm moderním, ale úvahy, kterými byla tato pravidla získána, nejsou v babylonských textech zaznamenány.

Indie

Problémy řešené pomocí kvadratických rovnic se nacházejí v pojednání o astronomii „Aryabhattiam“, které napsal indický astronom a matematik Aryabhata v roce 499 našeho letopočtu. Jedno z prvních známých odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice patří indickému vědci Brahmaguptovi (cca 598) [1] ; Brahmagupta nastínil univerzální pravidlo pro řešení kvadratické rovnice redukované na kanonickou formu: navíc se předpokládalo, že všechny koeficienty v ní kromě mohou být záporné. Pravidlo formulované vědcem se v podstatě shoduje s tím moderním. $ax^{2}+bx=c;$ $A,$

Kořeny kvadratické rovnice na množině reálných čísel

I způsob. Obecný vzorec pro výpočet kořenů pomocí diskriminantu

Diskriminant kvadratické rovnice je množství . $ax^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Stav	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Počet kořenů	dva kořeny	Jeden kořen násobnosti 2 (jinými slovy dva stejné kořeny)	Žádné skutečné kořeny
Vzorec	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (jeden)	$x=-{\frac {b}{2a))$	—

Odvození vzorce

Vzorec (1) lze získat následovně:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Vynásobte každou část a přidejte :

4a

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

Vzorec případu je speciální případ vzorce (1): $D=0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ frac {b}{2a}}.

Pro tento případ nepřítomnost reálných odmocnin vyplývá i ze vzorce (1), protože odmocnina záporného čísla do množiny reálných čísel nepatří. $D<0$

Tato metoda je univerzální, ale ne jediná.

II způsob. Kořeny kvadratické rovnice se sudým koeficientem b

Pro rovnice tvaru , tedy pro sudé , kde $ax^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\frac {1}{2}}b,

místo vzorce (1) pro hledání kořenů je zde možnost použití jednodušších výrazů [1] .

Poznámka: níže uvedené vzorce lze získat dosazením výrazu b = 2 k do standardních vzorců pomocí jednoduchých transformací.

Diskriminační		Kořeny
nesnížené	snížena	D > 0	nesnížené	snížena
snadněji vypočítat čtvrtiny diskriminantů: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Všechny potřebné vlastnosti jsou zachovány.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		D = 0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III způsob. Řešení neúplných kvadratických rovnic

Speciální přístup je procvičován k řešení neúplných kvadratických rovnic. Zvažují se tři možné situace.

b = 0c = 0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(proces převodu je speciálně zobrazen podrobně; v praxi můžete okamžitě přejít na poslední rovnost)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{aligned))

Jestliže , pak rovnice má dva reálné kořeny , a jestliže , pak rovnice nemá žádné reálné kořeny .

-{\frac {c}{a}}>0

-{\frac {c}{a}}<0;

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned))

$x=0$ nebo $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

Taková rovnice musí mít dva reálné kořeny .

IV způsob. Použití dílčích koeficientů

Existují speciální případy kvadratických rovnic, ve kterých jsou koeficienty ve vzájemném poměru, což značně usnadňuje jejich řešení.

Kořeny kvadratické rovnice, ve které je součet vedoucího koeficientu a volného členu roven druhému koeficientu

Je-li v kvadratické rovnici součet prvního koeficientu a volného členu roven druhému koeficientu: , pak její kořeny jsou také číslo opačné k poměru volného členu k nejvyššímu koeficientu ( ). $ax^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-jeden$ $-{\frac {c}{a}}$

Důkaz

Metoda 1. Nejprve zjistěte, zda má taková rovnice skutečně dva kořeny (včetně dvou shodných):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Ano, to je pravda, protože pro jakékoli reálné hodnoty koeficientů , a tedy i diskriminant, je nezáporný. Tedy, jestliže , pak má rovnice dva kořeny, jestliže , pak má pouze jeden kořen. Najděte tyto kořeny: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\ne=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

Konkrétně, jestliže , pak kořen bude jedna: $a=c$ $-jeden.$

Metoda 2.

Použijeme geometrický model kořenů kvadratické rovnice: budeme je považovat za průsečíky paraboly s osou úsečky. Jakákoli parabola, bez ohledu na výraz, který ji definuje, je obrazcem symetrickým podle přímky . To znamená, že úsečka jakékoli přímky k ní kolmé, odříznutá na ní parabolou, je rozdělena osou symetrie na polovinu. Výše uvedené platí zejména pro osu x. Pro libovolnou parabolu tedy platí jedna z následujících rovností: (pokud ) nebo (pokud je pravdivá nerovnost opačného významu). Použitím identity vyjadřující geometrický význam modulu a také akceptováním toho (to lze dokázat dosazením rovnosti do čtvercového trinomu: , tedy -1 je kořenem takové rovnice), dojdeme k následující rovnosti: Jestliže bereme v úvahu, že rozdíl v případě, kdy modul přidáváme, je vždy kladný, a když jej odečítáme záporný, což naznačuje identitu těchto případů, a navíc při zapamatování rovnosti modul otevřeme : . Ve druhém případě, když jsme provedli podobné transformace, dojdeme ke stejnému výsledku atd. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac {b}{2a))$ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba }{a}}=-{\frac {c}{a}}$

Z toho vyplývá, že před řešením jakékoli kvadratické rovnice je vhodné ověřit si možnost aplikace této věty na ni: porovnat součet vedoucího koeficientu a volného členu s druhým koeficientem. Kořeny kvadratické rovnice, jejíž součet všech koeficientů je nula

Je-li v kvadratické rovnici součet všech jejích koeficientů roven nule ( ), pak kořeny takové rovnice jsou také poměrem volného členu k vedoucímu koeficientu ( ). $a+b+c=0$ $jeden$ ${\frac {c}{a))$

Důkaz

Metoda 1. Nejprve si všimneme, že z rovnosti vyplývá, že Nastavme počet kořenů: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

Pro jakékoli hodnoty koeficientů má rovnice alespoň jeden kořen: skutečně pro jakékoli hodnoty koeficientů , a proto je diskriminant nezáporný. Vezměte prosím na vědomí, že jestliže , pak má rovnice dva kořeny, ale jestliže , pak pouze jeden. Najděte tyto kořeny: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\ne=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} }{2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Q.E.D.

Konkrétně, jestliže , pak má rovnice pouze jeden kořen, kterým je číslo .

a=c

jeden

Metoda 2. Pomocí výše uvedené definice kořene kvadratické rovnice zjistíme substitucí, že číslo 1 je v posuzovaném případě takové: - správná rovnost, tedy jednotka je kořenem tohoto typu kvadratických rovnic. Dále podle Vietovy věty najdeme druhý kořen: podle této věty je součin kořenů rovnice roven číslu rovnému poměru volného členu k vedoucímu koeficientu - atd. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Šipka doprava x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$

Z toho vyplývá, že před řešením rovnice standardními metodami je vhodné ověřit si použitelnost této věty na ni, a to sečtení všech koeficientů dané rovnice a zjištění, zda tento součet není roven nule.

V způsobem. Rozklad čtvercového trinomu na lineární faktory

Pokud lze nějakým způsobem reprezentovat trinom tvaru jako součin lineárních faktorů , pak můžete najít kořeny rovnice - budou a , protože po vyřešení naznačených lineárních rovnic dostaneme výše uvedené. Čtvercová trojčlenka není vždy rozložena na lineární faktory s reálnými koeficienty: to je možné, pokud jemu odpovídající rovnice má reálné kořeny. $ax^{2}+bx+c~(a\not =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array} }$

Zvažují se některé zvláštní případy.

Použití vzorce pro druhou mocninu součtu (rozdílu)

Pokud má čtvercová trojčlenka tvar , pak ji použitím výše uvedeného vzorce můžete rozložit na lineární faktory, a tedy najít kořeny: $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$

(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},

(ax+b)^{2}=0,

x=-{\frac {b}{a}}.

Výběr celé druhé mocniny součtu (rozdílu)

Také pojmenovaný vzorec se používá pomocí metody zvané "výběr celé druhé mocniny součtu (rozdílu)". Ve vztahu k dané kvadratické rovnici s dříve zavedeným zápisem to znamená následující:

přidat a odečíst stejné číslo: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
aplikujte vzorec na výsledný výraz, přeneste subtrahend a volný termín na pravou stranu:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{ 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
vezměte druhou odmocninu z levé a pravé strany rovnice a vyjádřete proměnnou:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Poznámka: tento vzorec se shoduje se vzorcem navrženým v části „Kořeny redukované kvadratické rovnice“, který lze získat z obecného vzorce (1) dosazením rovnosti a = 1 . Tato skutečnost není jen náhoda: popsanou metodou, avšak po určitém dodatečném uvažování, je možné odvodit obecný vzorec a také dokázat vlastnosti diskriminantu.

VI způsob. Použití Vietovy přímé a inverzní věty

Vietova přímá věta (viz níže ) a její inverzní věta nám umožňují řešit dané kvadratické rovnice ústně, aniž bychom se uchylovali k výpočtům pomocí vzorce (1).

Podle inverzní věty je libovolná dvojice čísel (číslo) řešením soustavy rovnic $x_{1},x_{2}$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases))

jsou kořeny rovnice .

x^{2}+px+q=0

Přímá věta vám pomůže verbálně vybrat čísla, která splňují tyto rovnice. S jeho pomocí můžete určit znaky kořenů, aniž byste znali samotné kořeny. Chcete-li to provést, postupujte podle pravidla:

1) pokud je volný člen záporný, pak kořeny mají jiné znaménko a největší absolutní hodnota kořenů je znaménko opačné ke znaménku druhého koeficientu rovnice; 2) je-li volný člen kladný, pak mají oba kořeny stejné znaménko, a to je opačné znaménko druhého koeficientu.

7. způsob. Způsob přenosu

Ve svém jádru je metoda „převrácení“ jednoduše modifikací Vietovy věty .

Metoda „převrácení“ je redukce rovnice, kterou nelze redukovat tak, aby všechny koeficienty zůstaly celočíselné, na redukovanou rovnici s celočíselnými koeficienty:

1) vynásobte obě části vedoucím koeficientem:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

(ax)^{2}+b(ax)+ac=0;

2) vyměnit

y=ax\colon

y^{2}+by+ac=0.

Dále vyřešíme rovnici pro y pomocí výše popsané metody a zjistíme x = y / a .

Jak vidíte, při metodě „převod“ se seniorský koeficient pouze „ přenese “ do volného termínu.

Geometrický smysl

Grafem kvadratické funkce je parabola . Řešení (kořeny) kvadratické rovnice jsou úsečky průsečíků paraboly s osou úsečky . Pokud parabola popsaná kvadratickou funkcí neprotíná osu x, nemá rovnice žádné reálné kořeny. Pokud parabola protíná osu x v jednom bodě (ve vrcholu paraboly), má rovnice jeden reálný kořen (rovnice se také říká, že má dva shodné kořeny). Pokud parabola protíná osu x ve dvou bodech, rovnice má dva skutečné kořeny (viz obrázek vpravo.)

Pokud je koeficient kladný, větve paraboly směřují nahoru a naopak. Pokud je koeficient kladný (pro kladný , pro záporný, naopak), pak vrchol paraboly leží v levé polorovině a naopak. $A$ $b$ $A$

Grafický způsob řešení kvadratických rovnic

Kromě výše popsané univerzální metody existuje ještě tzv. grafická metoda . Obecně řečeno, tato metoda řešení racionální rovnice tvaru je následující: v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí a a najít úsečky společných bodů těchto grafů; nalezená čísla budou kořeny rovnice. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

Existuje pouze pět hlavních způsobů, jak graficky řešit kvadratické rovnice. Metoda I

Pro řešení kvadratické rovnice tímto způsobem se sestrojí graf funkce a naleznou se úsečky průsečíků takového grafu s osou . $ax^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $X$

Metoda II

Pro vyřešení stejné rovnice tímto způsobem je převedena do tvaru a grafy kvadratické funkce a lineární funkce jsou vyneseny ve stejném souřadnicovém systému , pak je nalezena úsečka jejich průsečíků. $ax^{2}=-bx-c$ $y=ax^{2}$ $y=-bx-c$

Metoda III

Řešení touto metodou spočívá v transformaci původní rovnice do tvaru metodou extrakce plné druhé mocniny součtu (rozdílu) a následně na . Poté se sestaví funkční graf (jedná se o funkční graf posunutý o jednotky měřítka vpravo nebo vlevo v závislosti na znaménku) a přímka rovnoběžná s osou x. Kořeny rovnice budou úsečky průsečíků paraboly a přímky. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=ax^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Metoda IV

Kvadratická rovnice se převede do tvaru , sestaví se graf funkce (je to graf funkce , posunutý o jednotky měřítka nahoru, pokud je tento koeficient kladný, nebo dolů, pokud je záporný), a , najděte úsečky jejich společné body. $ax^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=ax^{2}$ $C$ $y=-bx$

Cesta V

Kvadratická rovnice se převede do speciálního tvaru:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

pak

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

Po provedení transformací sestaví grafy lineární funkce a nepřímé úměrnosti , najdou úsečky průsečíků těchto grafů. Tato metoda má limit použitelnosti: if , pak se metoda nepoužívá. $y=ax+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)$ $c=0$

Řešení kvadratických rovnic pomocí kružítka a pravítka

Výše popsané způsoby grafického řešení mají značné nevýhody: jsou poměrně pracné, zatímco přesnost konstrukce křivek - parabol a hyperbol - je nízká. Tyto problémy nejsou vlastní níže navržené metodě, která zahrnuje relativně přesnější konstrukce s kružidlom a pravítkem.

Chcete-li učinit takové rozhodnutí, musíte provést následující posloupnost akcí.

Sestrojte kružnici v souřadnicovém systému Oxy se středem v bodě protínajícím osu y v bodě C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Jsou možné tři další případy:
- délka poloměru kružnice přesahuje délku kolmice k ose x, vynechanou z bodu S: v tomto případě kružnice protíná osu x ve dvou bodech a rovnice má dva skutečné kořeny rovné úsečky těchto bodů;
- poloměr je roven kolmici: jeden bod a jedna reálná odmocnina násobnosti 2;
- poloměr je menší než kolmice: v množině nejsou žádné kořeny . $\mathbb {R}$

Důkaz

Uvažovaná metoda zahrnuje konstrukci kružnice, která protíná osu y v bodech (bodech), jejichž úsečky jsou kořeny (nebo kořeny) řešené rovnice. Jak by měl být takový kruh sestrojen? Předpokládejme, že již byla postavena. Kruh je jednoznačně definován určením tří jeho bodů. Nechť, pokud existují dva kořeny, budou to body , kde jsou přirozeně skutečné kořeny kvadratické rovnice (zdůrazňujeme: pokud existují ). Najděte souřadnice středu takového kruhu. Abychom to udělali, dokážeme, že tento kruh prochází bodem . Podle sekantového teorému totiž platí rovnost v akceptovaném zápisu (viz obrázek). Transformací tohoto výrazu získáme hodnotu úsečky OD, která určuje požadovanou pořadnici bodu D: (v poslední transformaci byla použita Vieta věta (viz níže ve stejnojmenné sekci)). Pokud existuje pouze jeden kořen, to znamená, že osa úsečky bude tečnou k takové kružnici a kružnice protíná osu y v bodě s pořadnicí 1, pak ji jistě protne v bodě s výše uvedeným ordináta (zejména, je-li 1=c/a, může se jednat o shodné body), což se dokazuje obdobně pomocí věty sečny a tečny, což je speciální případ věty sečny. V prvním případě ( ) bude tečný bod, bod osy y s pořadnicí 1 a jeho stejný bod s pořadnicí určovat . Pokud jsou c/a a 1 shodné body a existují dva kořeny, bude tento bod a průsečíky s osou úsečky určující. V případě, kdy (1=c/a) a je pouze jeden odmocninec, stačí uvedená informace pro důkaz, protože taková kružnice může být pouze jedna - jejím středem bude vrchol čtverce tvořeného segmenty tečen. a kolmice a poloměr bude strana tohoto čtverce, tvořící 1. Nechť S je střed kružnice, která má dva společné body s osou x. Najdeme jeho souřadnice: za tímto účelem spustíme z tohoto bodu kolmice k souřadnicovým osám. Konce těchto odvěsnic budou středy úseček AB a CD - ostatně trojúhelníky ASB a CSD jsou rovnoramenné , protože v nich jsou AS=BS=CS=DS jako poloměry jedné kružnice, tudíž výšky v nich nakreslené na báze jsou také mediány. Najděte souřadnice středů pojmenovaných segmentů. Protože parabola je symetrická vzhledem k přímce , pak bod této přímky se stejnou úsečkou bude středem úsečky AB. Proto je úsečka bodu S rovna tomuto číslu. Pokud má rovnice jeden kořen, pak je osa x tečnou ke kružnici, proto je její poloměr podle její vlastnosti kolmý na osu, proto je v tomto případě uvedené číslo úsečkou středu. Jeho pořadnici najdeme takto: . Ve třetím možném případě, kdy c\a=1 (a tedy a=c), pak . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac {c}{a}}\not =1$ ${\frac {c}{a))$ $x=-{\frac {b}{2a))$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Našli jsme tedy údaje potřebné pro stavbu. Pokud totiž sestrojíme kružnici se středem v bodě procházejícím bodem , pak v případech, kdy má rovnice reálné kořeny, protne osu x v bodech, jejichž úsečkami jsou tyto kořeny. Navíc, pokud je délka poloměru větší než délka kolmice k ose Ox, pak má rovnice dva kořeny (za předpokladu opaku bychom dostali rozpor s tím, co bylo dokázáno výše), pokud jsou délky stejné, pak jedna (ze stejného důvodu), pokud je délka poloměru menší než délka kolmice , pak kružnice nemá žádné společné body s osou x, rovnice tedy nemá žádné skutečné kořeny (je také dokázáno kontradikcí: jsou-li kořeny, pak se kružnice procházející A, B, C shoduje s danou, a proto osu protíná, nesmí však protínat osu úsečky podle podmínky, což znamená, že předpoklad je nesprávný) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Kořeny kvadratické rovnice na množině komplexních čísel

Rovnice s reálnými koeficienty

Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má vždy s přihlédnutím k násobnosti dva komplexní kořeny , jak uvádí základní věta algebry . V tomto případě v případě nezáporného diskriminantu budou kořeny skutečné a v případě negativního budou komplexně konjugované : $a~b~c$

kdy rovnice bude mít dva skutečné kořeny: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
když - jeden kořen násobnosti 2 (jinými slovy dva stejné kořeny): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a));$
at jsou dva komplexně konjugované kořeny vyjádřené stejným vzorcem jako pro pozitivní diskriminant. Může být také přepsán tak, aby neobsahoval negativní radikální výraz, a to následovně: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Rovnice s komplexními koeficienty

Ve složitém případě je kvadratická rovnice řešena pomocí stejného vzorce (1) a jeho variant naznačených výše, ale rozlišitelné jsou pouze dva případy: nulový diskriminant (jeden dvojitý kořen) a nenulový (dva kořeny jednotkové násobnosti).

Kořeny redukované kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice tvaru, ve kterém je vedoucí koeficient roven jedné, se nazývá redukovaná . V tomto případě je vzorec pro kořeny (1) zjednodušen na $x^{2}+px+q=0,$ $A$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Mnemotechnická pravidla:

Z " Chůvičky ":

„Minus“ píšeme jako první,
Vedle toho p na polovinu,
„Plus-mínus“ je znak radikála,
Od dětství nám známý.
Dobře, pod odmocninou, příteli,
Všechno se zhroutí:
p na polovinu a na druhou
Mínus krásné [2] q .

Z " Baby Monitor " (druhá verze):

p , se zpětným znaménkem,
Rozdělíme jej na dvě
a úhledně jej oddělíme od kořene se
znaménkem mínus-plus.
A pod odmocninou je velmi šikovná
Polovina p na druhou
Mínus q - a zde jsou řešení,
Tedy kořeny rovnice.

Z " Baby Monitor " (třetí verze na motiv Moskevských večerů ):

Chcete-li najít x na polovinu p ,
Nezapomeňte vzít s mínusem,
Přidejte radikál s plus mínus,
Úhledně, ne nějak.
A pod ním je druhá mocnina poloviny p ,
Ty, odečtěte od q a konec,
Bude daný vzorec,
Vaše úvaha je koruna.
Bude daný vzorec,
Vaše úvaha je korunou.

Vietův teorém

Formulace pro redukovanou kvadratickou rovnici

Součet kořenů dané kvadratické rovnice je roven koeficientu se znaménkem mínus a součin kořenů je roven volnému členu $x^{2}+px+q=0$ $p$ $q\colon$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

S jeho pomocí lze dané rovnice řešit ústně:

Příklad

x^{2}-8x+12=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases))

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

Pro neredukovanou kvadratickou rovnici

V obecném případě, tedy pro neredukovanou kvadratickou rovnici $ax^{2}+bx+c=0\colon$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases))

V praxi ( podle "přenosové" metody ) se k výpočtu kořenů používá modifikace Vietovy věty:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{cases}}

{\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases))

pomocí kterého můžete slovně najít ax 1 , ax 2 a odtud - samotné kořeny:

Příklady

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Ale u některých neredukovaných rovnic lze kořeny slovně uhodnout i podle standardní Vietovy věty:

Příklad

5x^{2}-26x+5=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\end{cases}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Faktorizace čtvercového trinomu a věty z toho vyplývající

Pokud jsou známy oba odmocniny čtvercového trinomu, lze jej rozšířit vzorcem

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Důkaz

K prokázání tohoto tvrzení použijeme Vietovu větu. Podle této věty tvoří kořeny a kvadratické rovnice vztahy s jejími koeficienty: . Dosaďte tyto poměry ve čtvercové trojčlence: $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{alignedat}}

V případě nulového diskriminantu se tento poměr stává jednou z variant vzorce pro druhou mocninu součtu nebo rozdílu .

Vzorec (2) má dva důležité důsledky: Důsledek 1 Pokud se čtvercová trojčlenka rozloží na lineární faktory s reálnými koeficienty, pak má reálné kořeny. Důkaz

Nechte _ Pak přepsáním tohoto rozšíření dostaneme: $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Porovnáním výsledného výrazu se vzorcem (2) zjistíme, že kořeny takového trojčlenu jsou a . Protože koeficienty jsou reálné, pak čísla opačná k jejich poměrům jsou také prvky množiny . $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {l}{n}}$ $\mathbb {R}$

Důsledek 2 Pokud čtvercová trojčlenka nemá žádné reálné kořeny, pak ji nelze rozložit na lineární faktory s reálnými koeficienty. Důkaz

Pokud totiž předpokládáme opak (že takový trinom lze rozložit na lineární faktory), pak má podle Důsledku 1 kořeny v množině , což je v rozporu s podmínkou, a proto je náš předpoklad nepravdivý, a takový trinom nelze rozložit na lineární faktory. $\mathbb {R}$

Kvadratické rovnice

Algebraické

Rovnice tvaru je rovnice, která se redukuje na kvadratickou. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

V obecném případě se to řeší nahrazením kde E je množina hodnot funkce f , následovaným řešením kvadratické rovnice . $f(x)=t,~t\in E(f),$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

Při řešení se také můžete obejít bez nahrazování řešením sady dvou rovnic:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

Pokud například , pak rovnice bude: $f(x)=x^{2}$

ax^{4}+bx^{2}+c=0.

Taková rovnice 4. stupně se nazývá bikvadratická [3] [1] .

Nahrazením

y=x+{\dfrac {k}{x}}

rovnice je redukována na kvadratickou rovnici

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

známá jako reciproká nebo zobecněná symetrická rovnice [1] .

Diferenciály

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty 2. řádu

y''+py'+qy=0

substituce se redukuje na charakteristickou kvadratickou rovnici: $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Pokud řešení této rovnice a nejsou si navzájem rovna, pak má obecné řešení tvar: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, kde a jsou libovolné konstanty.

A

B

Pro komplexní kořeny lze obecné řešení přepsat pomocí Eulerova vzorce : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

kde A , B , C , φ jsou libovolné konstanty. Pokud jsou řešení charakteristické rovnice stejná , obecné řešení se zapíše jako: $k_{1}=k_{2}=k$

y=Axe^{kx}+Be^{kx}

Rovnice tohoto typu se často vyskytují v celé řadě problémů v matematice a fyzice, například v teorii oscilací nebo v teorii obvodů střídavého proudu .

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Encyklopedický slovník mladého matematika, 1985 .
↑ další možnost - "nešťastná"
↑ Matematický encyklopedický slovník. — M.: Sovětská encyklopedie. — 1988.

Literatura

Kvadratická rovnice; Čtvercový trojčlen // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 133 -136. — 352 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Odvození vzorce pro kořeny úplné kvadratické rovnice. Řešení redukovaných kvadratických rovnic a rovnic se sudým druhým koeficientem Archivováno 28. ledna 2016 na Wayback Machine / Open Lesson Festival of Pedagogical Ideas.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Algebraické rovnice
Lineární rovnice Kvadratická rovnice kubická rovnice Rovnice čtvrtého stupně Rovnice pátého stupně Rovnice šestého stupně Rovnice sedmého stupně