Vepsaný kruh

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Kruh se nazývá vepsaný do úhlu , pokud leží uvnitř úhlu a dotýká se jeho stran. Střed kružnice vepsané do úhlu leží na sečině tohoto úhlu.

Kruh se nazývá vepsaný do konvexního mnohoúhelníku , pokud leží uvnitř daného mnohoúhelníku a dotýká se všech jeho stran.

V mnohoúhelníku

Pokud lze do daného konvexního mnohoúhelníku vepsat kružnici, pak se osy všech vnitřních úhlů daného mnohoúhelníku protínají v jednom bodě, který je středem vepsané kružnice.

Poloměr kružnice vepsané do mnohoúhelníku se rovná poměru její plochy k jejímu semiperimetru : $S$ $p$

r={\frac {S}{p}}

V trojúhelníku

Vlastnosti vepsaného kruhu:

Každý trojúhelník může být vepsán kružnicí, a to pouze jednou.
Střed vepsané kružnice je stejně vzdálený od všech stran a je průsečíkem os trojúhelníku. $já$
Poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku je: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

kde jsou strany trojúhelníku, jsou výšky nakresleny k odpovídajícím stranám [1] ; $a,b,c$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}}}

kde je plocha trojúhelníku a je jeho semiperimetr.

S

p

r={\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}

, je semiperimetr trojúhelníku ( Cotangentova věta ).

p

Pokud je základna rovnoramenného trojúhelníku , pak kružnice tečnou ke stranám úhlu v bodech a prochází středem vepsané kružnice trojúhelníku . $AB$ $\trojúhelník ABC$ $\úhel ACB$ $A$ $B$ $\trojúhelník ABC$
Eulerova věta : , kde je poloměr kružnice opsané trojúhelníku, je poloměr kružnice v ní vepsané, je střed kružnice opsané, je střed kružnice vepsané . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $Ó$ $já$
Pokud čára procházející bodem I rovnoběžná se stranou protíná strany a v bodech a , pak . $AB$ $před naším letopočtem$ $CA$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Pokud jsou body dotyku kruhu vepsaného do trojúhelníku s jeho stranami spojeny segmenty, získáme trojúhelník s vlastnostmi: $T$ $T_{1}$
- Osy T jsou kolmé osy T1
- Nechť T 2 je ortotrojúhelník T 1 . Pak jsou jeho strany rovnoběžné se stranami původního trojúhelníku T.
- Nechť T 3 je střední trojúhelník T 1 . Pak osy T jsou výšky T 3 .
- Nechť T 4 je ortotrojúhelník T 3 , pak osy T jsou osy T 4 .
Poloměr kružnice vepsané do pravoúhlého trojúhelníku s rameny a , b a přeponou c je roven . ${\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$
Vzdálenost od vrcholu C trojúhelníku k bodu, kde se kružnice vepsaná dotýká strany, je . $d={\frac {a+bc}{2}}=pc$
Vzdálenost od vrcholu C ke středu vepsané kružnice je , kde je poloměr vepsané kružnice a γ je úhel vrcholu C . $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))}$ $r$
Vzdálenost od vrcholu C ke středu vepsané kružnice lze také zjistit pomocí vzorců a $l_{c}={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr))$
Věta o trojzubci nebo věta o trojlístku : Jestliže D je průsečík ose úhlu A s kružnicí opsanou trojúhelníku ABC , I a J jsou středy vepsané a kružnice tečny ke straně BC , v tomto pořadí , pak . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Verrierovo lemma [2] [3] : nechť se kružnice dotýká stran a oblouk opsané kružnice trojúhelníku . Potom body tečnosti kružnice se stranami a středem vepsané kružnice trojúhelníku leží na téže přímce. $PROTI$ $AB$ $AC$ $před naším letopočtem$ $ABC$ $PROTI$ $ABC$

Feuerbachova věta . Kruh o devíti bodech se dotýká všech tří kružnic , stejně jako kružnice vepsané . Bod tečnosti mezi Eulerovým kruhem a kruhem je známý jako Feuerbachův bod .

Vztah mezi kružnicemi vepsanými a opsanými

Eulerův vzorec : Jestliže - vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané a jejich poloměry jsou stejné a v tomto pořadí, pak . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Vzorce pro poměr a součin poloměrů:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[čtyři]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

kde je polovina obvodu trojúhelníku a jeho obsah. $p$ $S$

Kolmice zvednuté ke stranám trojúhelníku v bodech dotyku kružnic se protínají v jednom bodě. Tento bod je symetrický ke středu kružnice opsané vzhledem ke středu kružnice opsané [5] .

Pro trojúhelník lze sestrojit polovepsanou kružnici nebo Varièrovu kružnici. Jedná se o kružnici tečnou ke dvěma stranám trojúhelníku a jeho vnitřní kružnici opsané. Úsečky spojující vrcholy trojúhelníku a odpovídající body dotyku Verrierových kružnic s kružnicí opsané se protínají v jednom bodě. Tento bod slouží jako střed homothety s kladným koeficientem přivádějícím kružnici opsanou k kružnici vepsané .
Střed vepsané kružnice leží na úsečce spojující body dotyku stran trojúhelníku a polovepsané kružnice.

Vztah mezi středem vepsané kružnice a středy výšek trojúhelníku

Rigbyho věta . Nakreslíme-li výšku a kružnici , která se jí dotýká na druhé straně na kteroukoli stranu ostroúhlého trojúhelníku , pak bod dotyku této strany s touto stranou, střed zmíněné výšky a také střed leží na jedné straně. přímka. [6] .
Z Rigbyho věty vyplývá, že 3 úsečky spojující střed každé ze 3 výšek trojúhelníku s bodem dotyku kružnice nakreslené na stejnou stranu jako výška se protínají ve středu .

Ve čtyřúhelníku

Popsaný čtyřúhelník , pokud nemá vlastní průniky („jednoduchý“), musí být konvexní .
Některé (ale ne všechny) čtyřúhelníky mají kružnici vepsanou. Říká se jim opsané čtyřúhelníky . Mezi vlastnostmi těchto čtyřúhelníků je nejdůležitější, že součty protilehlých stran jsou stejné. Toto tvrzení se nazývá Pitotova věta .
Jinými slovy, kruh může být vepsán do konvexního čtyřúhelníku ABCD právě tehdy, když se součty jeho protilehlých stran rovnají: . $AB+CD=BC+AD$

V každém opsaném čtyřúhelníku leží dva středy úhlopříček a střed vepsané kružnice na stejné přímce ( Newtonův teorém ). Na něm leží střed segmentu s konci v průsečíkech pokračování protilehlých stran čtyřúhelníku (pokud nejsou rovnoběžné). Tato čára se nazývá Newtonova čára . Na obrázku je zelená, úhlopříčky jsou červené, úsečka s konci v průsečíkech pokračování protilehlých stran čtyřúhelníku je také červená.
Střed kružnice opsané čtyřúhelníku je průsečíkem výšek trojúhelníku s vrcholy v průsečíku úhlopříček a průsečíky protilehlých stran ( Brocardova věta ).

Ve sférickém trojúhelníku

Vepsaná kružnice pro sférický trojúhelník je kružnice tečnou ke všem jeho stranám.

Tangenta poloměru [7] kružnice vepsané do sférického trojúhelníku je [8] :73-74

{\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p))))

Kruh vepsaný do sférického trojúhelníku patří ke kouli. Poloměr nakreslený od středu koule přes střed vepsané kružnice protne kouli v bodě průsečíku úhlových os (oblouky velkých kružnic koule rozdělující úhly na polovinu) sférického trojúhelníku [8] :20-21 .

Zobecnění

Vepsaná koule je koule, která se dotýká všech ploch mnohostěnu .
Steinerova elipsa je elipsa vepsaná do trojúhelníku.

Viz také

Poznámky

↑ Altshiller-Court, 1925 , str. 79.
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku. Ed. 2. Edice: Fyzikální a matematické dědictví (reprint reprodukce edice). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., „O poměru inradiusu k cirkumradiusu trojúhelníku“, Mathematical Gazette 87, březen 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Prvky geometrie trojúhelníku. Řada: "Knihovna" Matematické vzdělávání "". M.: MTsNMO, 2002. s. 11, bod 5
↑ Ross Honsberger . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . p. 30, Obrázek 34, §3. Nepravděpodobná kolinearita.
↑ Poloměr kruhu je měřen podél koule, to znamená, že je to míra velkého kruhového oblouku spojujícího průsečík poloměru koule, vedeného ze středu koule přes střed koule. kružnice, s koulí a bodem dotyku kružnice se stranou trojúhelníku.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Literatura

Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M . : Vzdělávání , 1991. - S. 89. - 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. ed.), New York: Barnes & Noble