Pětiúhelníkové číslo

Pětiúhelníková čísla jsou jednou z tříd klasických polygonálních čísel . Posloupnost pětiúhelníkových čísel má tvar (sekvence A000326 v OEIS ):

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Obecný vzorec pro páté pětiúhelníkové číslo v pořadí je: $n$

P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2))

Definice

Pětiúhelníková čísla , stejně jako všechna ostatní klasická úhlová čísla, lze definovat jako částečné součty aritmetické posloupnosti, která začíná od 1, a její rozdíl pro pětiúhelníková čísla je : $k$ $k-2=3$

1+4+7+10+\dots

Lze také definovat -té pětiúhelníkové číslo jako součet po sobě jdoucích přirozených čísel : $n$

P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\tečky +(2n-1)

Součet -tého čtvercového čísla s -tým trojúhelníkovým číslem dává -té pětiúhelníkové číslo: $n$ $(n-1)$ $n$

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Tuto větu poprvé publikoval Nicomachus („Úvod do aritmetiky“, II. století) [1] .

Konečně další způsob, jak definovat pětiúhelníkové číslo, je rekurzivně :

P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n- 1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3

Vlastnosti

Pětiúhelníková čísla úzce souvisí s trojúhelníkovými [1] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Pokud ve vzorci zadáte obecnější sekvenci : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\tečky

pak dostaneme zobecněná pětiúhelníková čísla :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( sekvence OEIS A001318 )

Leonhard Euler objevil zobecněná pětiúhelníková čísla v následující identitě :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Mocniny na pravé straně identity tvoří posloupnost zobecněných pětiúhelníkových čísel [2] . $X$

Testování na pětiúhelníkové číslo

Úkol . Zjistěte, zda je dané přirozené číslo pětiúhelníkové. $x>2$

Řešení. Pojďme vypočítat hodnotu výrazu:

n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.

$X$ je pětiúhelníkové číslo právě tehdy, když je celé číslo a číslo v posloupnosti pětiúhelníkových čísel se rovná $n$ $X$ $n.$

Čtvercová pětiúhelníková čísla

Existují čísla, která jsou jak čtvercová , tak pětiúhelníková [3] :

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801 , 8676736387298001, 83314021887196947001, O6 sekvence

Poznámky

↑ 12 Dickson , 2005 , str. 2.
↑ Weinstein F.V. Dělení čísel. // Žurnál "Quantum". - 1988. - č. 11.
↑ Weisstein, Eric W. " Pentagonální čtvercové číslo archivováno 13. listopadu 2017 na Wayback Machine ." Z MathWorld -- webový zdroj Wolfram.

Literatura

Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonální. pyramidová a figurální čísla //Historie teorie čísel . - New York : Dover, 2005. - Sv. 2: Diofantinová analýza. - S. 22-23.

Odkazy

Kudrnatá čísla . Vydavatelská skupina OSNOVA. Datum přístupu: 10. února 2021. (neurčitý)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare