Rayleighova distribuce

Rayleighova distribuce
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Možnosti	$\sigma >0$
Dopravce	$x\in [0;\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {x}{{{\sigma }^{{2)))}\exp \left(-{\frac {{{x}^{{2)))){2{{\sigma } ^{{2}}}}}\right)$
distribuční funkce	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Očekávaná hodnota	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$
Medián	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$
Móda	$\sigma$
Disperze	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2))}$
Koeficient asymetrie	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$
Kurtózní koeficient	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Diferenciální entropie	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\vpravo)+{\frac {\gamma }{2))$
Generující funkce momentů	$1+\sigma t\,e^{{\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\left({\textrm { erf}}\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!+\!1\right)$
charakteristická funkce	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$

Rayleighovo rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny s hustotou $\displaystyle X$

f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2} }}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,

kde je parametr měřítka. Odpovídající distribuční funkce má tvar $\displaystyle \sigma$

{\mathsf P}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{ 2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.

Poprvé jej představil v roce 1880 John William Strutt (Lord Rayleigh) v souvislosti s problémem sčítání harmonických kmitů s náhodnými fázemi.

Aplikace

V úkolech o střelbě ze zbraní. Pokud jsou odchylky od cíle pro dva vzájemně kolmé směry normálně rozložené a nekorelované, cílové souřadnice se shodují s počátkem, pak, označíme-li rozptyl podél os jako a , získáme výraz pro hodnotu miss ve tvaru . V tomto případě má množství Rayleighovo rozdělení. $X$ $Y$ $R={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$ $R$
V radiotechnice popsat kolísání amplitudy rádiového signálu.

Jestliže a jsou nezávislé Gaussovy náhodné proměnné s nulovými matematickými očekáváními a stejnými rozptyly , pak náhodná proměnná má Rayleighovo rozdělení. ${X}$ ${Y}$ ${{\sigma }^{{2))}$ $Z={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$
Jestliže nezávislé Gaussovy náhodné proměnné a mají nenulová matematická očekávání, která jsou obecně nerovná, pak se Rayleighovo rozdělení stane Riceovým rozdělením . ${X}$ ${Y}$
Rozložení hustoty druhé mocniny Rayleighovy veličiny c má chí-kvadrát rozdělení se dvěma stupni volnosti. ${\sigma =1}$
Rayleighovo rozdělení se změnou proměnné redukuje na gama rozdělení .

Perov, AI Statistická teorie systémů radiového inženýrství. - M . : Radiotechnika, 2003. - 400 s. — ISBN 5-93108-047-3 .

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona