Série Mercator

Mercatorova řada (někdy nazývaná Newton-Mercatorova řada ) v matematické analýze je Taylorova řada pro funkci přirozeného logaritmu , kterou poprvé publikoval německý matematik Nicholas Mercator (Kaufmann) v pojednání Logarithmotechnia (1668):

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}

Leibniz za tento objev označil Mercatora za „prvního vynálezce nekonečných sérií“; před Mercatorem evropští matematici zvažovali téměř výhradně číselné řady , které neobsahují žádné proměnné. Bez ohledu na Mercatora tuto sérii objevil Isaac Newton . V „ The Method of Fluxions and Infinite Series with its Application to the Geometry of Curves “ (1671, vydáno posmrtně v roce 1736), Newton vyjádřil překvapení, že před Mercatorem nikdo „ nenasměroval svou pozornost k aplikaci na písmena [proměnné] principů. nedávno objevené doktríny desetinných zlomků, zejména proto, že otevírá cestu k obtížnějším a důležitějším objevům “ [1] .

Mercatorova řada přispěla ke vzestupu masového zájmu o použití nekonečných řad a vytvoření obecné teorie řad a funkcí. Koncem 17. století se toto téma výrazně rozšířilo a přešlo v matematickou analýzu [2] .

Mercatorova řada konverguje na , i když konvergence je spíše pomalá. Pro , řada konverguje absolutně . $-1<x\leqslant 1,$ $|x|<1$

Historie

V roce 1647 objevil Grégoire de Saint-Vincent spojení mezi logaritmem a oblastí pod hyperbolou (viz obrázek). V roce 1650 na základě geometrických úvah publikoval italský matematik Pietro Mengoli v pojednání „ Nové aritmetické kvadratury “ expanzi do nekonečné řady [3] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\tečky

V roce 1657 byl tento vzorec nezávisle publikován anglickým matematikem Williamem Braunkerem ve svém článku „ Squaring a hyperbola by the infinite series of racionálních čísel “ [3] .

V roce 1668 německý matematik Nicholas Mercator (Kaufmann), tehdy žijící v Londýně, v pojednání „ Logarithmotechnia “ poprvé uvažoval o expanzi do řady nikoli čísel, ale funkcí [4] :

{\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\tečky

Pak našel oblasti pod levou a pravou částí tohoto rozkladu ( integroval je v moderních termínech) a získal „sérii Mercator“, kterou sepsal pro hodnoty a . Mercator nezkoumal konvergenci série, ale hned po zveřejnění Mercatorova díla John Wallis upozornil, že série je vhodná pro (záporná čísla pak byla zanedbána). $x=0{,}1$ $x=0{,}21$ $0\leqslant x<1$

Jak historikové vědy zjistili, Newton odvodil stejnou sérii v roce 1665, ale jako obvykle se neobtěžoval publikovat [5] . Newtonovy hluboké výzkumy v oblasti nekonečných řad byly publikovány až v roce 1711 v pojednání „ Analýza pomocí rovnic s nekonečným počtem členů “ [1] .

Variace a zobecnění

Mercatorova řada je pro reálné výpočty nevhodná, protože konverguje velmi pomalu a v omezeném intervalu. Ale již v roce Mercatorova vydání (1668) navrhl James Gregory jeho upravenou verzi:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\tečky \right)

Tato řada konverguje mnohem rychleji a logaritmický výraz již může představovat libovolné kladné číslo , protože pak je absolutní hodnota menší než jedna [5] . Například součet prvních 10 členů Mercatorovy řady pro je zde roven , správné je pouze první desetinné místo, zatímco Gregoryho řada udává hodnotu, ve které je 10 ze 13 číslic správných [6] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$ $\ln 2$ $0{,}646,$ $0{,}6931471805498,$

V komplexní rovině nabývá série Mercator zobecněnou podobu:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots

Toto je Taylorova řada pro komplexní funkci , kde symbol ln označuje hlavní větev (hlavní hodnotu) komplexního přirozeného logaritmu . Tato řada se sbíhá v kruhu . $f(z)=-\ln(1-z),$ $|z|\leqslant 1,z\neq 1$

Poznámky

↑ 1 2 Newton I. Matematické práce . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 3 -24, 25. - 452 s.
↑ Čítanka o dějinách matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M. : Vzdělávání, 1977. - S. 121. - 224 s.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 158.
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 158-161.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 162.
↑ Hairer E., Wanner G. Calculus ve světle jeho historie . - M . : Vědecký svět, 2008. - S. 27 . — 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 .

Literatura

Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.

Odkazy

Abelson I. B. Mercator najde klíč // Zrození logaritmů. - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 s.
Weisstein, Eric W. Mercator Series (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux