Systém počítačové algebry

Systém počítačové algebry ( SKA , angl.  computer algebra system, CAS ) je aplikační program pro symbolické výpočty , tedy provádění transformací a práci s matematickými výrazy v analytické (symbolické) podobě.

Symbolické výpočty

Systémy počítačové algebry se liší ve schopnostech, ale obvykle podporují následující symbolické akce:

• zjednodušení výrazů na menší velikost nebo zmenšení na standardní formu včetně automatického zjednodušení pomocí předpokladů a omezení
• substituce symbolických a číselných hodnot ve výrazech
• změna formy výrazů: zveřejnění součinů a mocnin, částečná a úplná faktorizace (faktorizace)
• rozšíření na jednoduché zlomky, splnění podmínek , zápis goniometrických funkcí pomocí exponentů, transformace logických výrazů
• diferenciace v parciálních a celkových derivátech
• hledání neurčitých a určitých integrálů ( symbolická integrace )
• symbolické řešení optimalizačních problémů : hledání globálních extrémů, podmíněných extrémů atd.
• řešení lineárních a nelineárních rovnic
• algebraické (nenumerické) řešení diferenciálních a konečných diferenčních rovnic
• hledání limitů funkcí a posloupností
• integrální transformace
• manipulace s řadami : sčítání, násobení, superpozice
• maticové operace: inverze, faktorizace, řešení spektrálních úloh
• statistické výpočty
• automatické dokazování vět , formální verifikace
• syntéza programu

Další funkce

Mnoho SKA také zahrnuje:

• programovací jazyk , který umožňuje uživatelům vytvářet vlastní algoritmy
• libovolné přesné numerické operace
• celočíselná aritmetika pro velká čísla a podpora funkcí teorie čísel
• editace matematických výrazů ve dvourozměrné podobě (s dolními indexy, společnými zlomky atd.)
• vykreslovací funkce ve dvou nebo třech rozměrech a jejich animace
• kreslení grafů a tabulek
• API pro použití externími programy ( databázemi ) nebo v programovacích jazycích pro použití systému počítačové algebry
• operace s řetězci ( vyhledávání podřetězců )
• další moduly aplikované matematiky pro obory jako fyzika , bioinformatika , výpočetní chemie a balíčky pro výpočetní techniku ​​inženýrské fyziky

Některé také zahrnují:

• tvorba a editace grafiky ( tvorba počítačových obrazů , zpracování signálů a analýza obrazu )
• syntéza zvuku

Některé SCA jsou zaměřeny na konkrétní oblast použití; obvykle jsou takové programy vyvinuty akademickou obcí a distribuovány zdarma. Nemusí být tak účinné v numerických výpočtech jako systémy pro numerické metody .

Historie

SKA se objevila na počátku 60. let a vyvíjela se postupně, především ve dvou směrech: teoretická fyzika a tvorba umělé inteligence .

Prvním úspěšným příkladem byla průkopnická práce Martinuse Veltmana (později oceněného Nobelovou cenou za fyziku ), který v roce 1963 vytvořil program pro symbolické výpočty (pro potřeby fyziky vysokých energií), který se jmenoval Schoonschip.

Pomocí LISP vytvořil Karl Engelman v roce 1964 MATHLAB jako součást projektu MITER (pro studium umělé inteligence ). Později se MATHLAB stal dostupným na univerzitách pro uživatele sálových počítačů PDP-6 a PDP-10 s operačními systémy jako TOPS-10 nebo TENEX . Zatím je stále možné provozovat na emulacích SIMH PDP-10. MATHLAB („ math ematical lab oratory“) by neměl být zaměňován s MATLAB („ maticová laboratoř oratoře “), numerickým výpočetním systémem vytvořeným o 15 let později na University of New Mexico.

Počínaje koncem 60. let první generace SKA zahrnovala systémy [1] :

• MACSYMA (Joel Moses)
• MATLAB ( Massachusetts Institute of Technology ),
• SCRATCPAD (Richard Jencks, IBM )
• REDUCE (Tony Hearn)
• SAC-I, později SACLIB (George Collins),
• MUMATH pro mikroprocesory (David Stoutmyer) a jeho nástupce
• ODVODIT.

Tyto systémy byly schopny provádět symbolické výpočty: integraci, derivaci, faktorizaci.

Druhá generace, která přijala modernější grafické uživatelské rozhraní , zahrnuje Maple (Kate Geddes a Gaston Gonnet, University of Waterloo , 1985) a Mathematica ( Stephen Wolfram ), které jsou široce používány matematiky, vědci a inženýry [1] . Volné alternativy jsou Sage , Maxima , Reduce .

V roce 1987 představila společnost Hewlett-Packard první kapesní analytickou kalkulačku ( HP-28 ) a byla to první kalkulačka, která implementovala organizaci algebraického výrazu, diferenciaci, omezenou analytickou integraci, expanzi Taylorovy řady a řešení algebraických rovnic.

Společnost Texas Instruments vydala v roce 1995 kalkulačku TI-92 s revolučním rozšířením CAS založeným na softwaru Derive. Tato kalkulačka a její nástupci, včetně TI-89 a řady TI-Nspire CAS vydané v roce 2007, prokázaly proveditelnost budování relativně kompaktních a levných systémů počítačové algebry.

Ve třetí generaci se začal uplatňovat kategorický přístup a operátorské výpočty [1] :

• AXIOM , následovník SCRATCHFAD (NAG),
• MAGMA (John Cannon, University of Sydney ),
• MUPAD (Benno Fuchssteiner, Univerzita v Paderbornu).

Pro rok 2012 pokračuje výzkum v oblasti systémů počítačové algebry třemi směry: schopností řešit stále širší problémy, jednoduchostí použití a rychlostí práce [1] .

Odvětví matematiky používané v systémech počítačové algebry

• Symbolická integrace  - Rischův algoritmus
• Hypergeometrická sumace  - Gosperův algoritmus
• Limita (matematika)  - Gruntzův algoritmus
• Faktorizace polynomů. Pro ohraničené oblasti se používá Berlekampův algoritmus nebo Cantor-Zassenhausův algoritmus .
• Největší společný dělitel  - Euklidův algoritmus
• Gaussova metoda
• Gröbnerova báze  - Buchbergerův algoritmus
• Padé aproximace
• Schwarz-Zippelovo lemma a kontrola rovnosti polynomů
• Čínská věta o zbytku
• Diofantní rovnice
• Eliminace kvantifikátorů nad reálnými čísly - Tarskiho metoda
• Landauův algoritmus
• Deriváty elementárních a speciálních funkcí (například viz neúplná funkce gama )

Viz také

• ANALYTIK

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 4 Moderní počítačová algebra, 2013 , 1.4. Systémy počítačové algebry.

Literatura

• Richard J. Fateman. Eseje v algebraickém  zjednodušení . - 1972. - 191 s. - (Technická zpráva MIT-LCS-TR-095). Archivováno 17. září 2006 na Wayback Machine
• Taranchuk VB Základní funkce systémů počítačové algebry . - Minsk: BGU, 2013. - 59 s. (Ruština)
• Buchberger B. a další. Počítačová algebra: Symbolické a algebraické výpočty. — M .: Mir, 1986. — 392 s.
• Joachim von zur Gathen; Jurgen Gerhard. Moderní počítačová algebra, třetí vydání . - Cambridge University Press, 2013. - 808 s. — ISBN 978-1-107-03903-2 .

Odkazy

• Definice a fungování systému počítačové algebry
• Učební plán a hodnocení ve věku systémů počítačové algebry  - od vzdělávacích zdrojů informační centrum Clearinghouse pro vědu, matematiku a environmentální vzdělání, Columbus, Ohio.
• STACK  je tréninkový a testovací systém založený na počítačové algebře
• Sbírka systémů počítačové algebry