Struktura (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii je struktura na manifoldu , geometrické veličině nebo poli geometrických objektů částí svazku spojeného s hlavním svazkem coframes nějaké manifoldy . Intuitivně lze na geometrickou veličinu pohlížet jako na veličinu, jejíž hodnota závisí nejen na bodu variety , ale také na volbě coreper, tedy na volbě nekonečně malého souřadnicového systému v bodě (viz také Mapa ). $M$ $X$ $M$ $X$

Formální definice struktury na manifoldu

Chcete-li formálně definovat struktury na varietě, zvažte — obecnou diferenciální grupu řádu (skupina -jetů s nulovou prostorovou transformací , která zachovává počátek souřadnic), — varietu koframů řádu řádu a –rozměrné variety ( tj. množství -jetů místních map s počátkem v bodě ). $GL^{k}(n)$ $k$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M_{k}$ $k$ $n$ $M$ $k$ $j_{x}^{k}(u)$ ${\displaystyle u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n))$ $x=u^{-1}(0)$

Skupina působí zleva na rozdělovač podle vzorce $GL^{k}(n)$ $M_{k}$

j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^ {k}(\varphi )\v GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.

Tato akce definuje strukturu hlavního -balíčku s názvem order coframe bundle . $M_{k}$ $GL^{k}(n)$ $\pi _{k}:M_{k}\to M$ $k$

Nechť je nyní libovolná varieta, tedy varieta s levou akcí skupiny , A nechť a je prostor oběžných drah levé akce skupiny v . Svazek , který je přirozenou projekcí prostoru oběžných drah na a spojený s oběma as , se nazývá svazek geometrických struktur nejvýše řádu a jeho úseky se nazývají struktury typu . Struktury tohoto typu jsou v přirozené korespondenci jedna ku jedné s -zquivariantní zobrazení . $W$ $GL^{k}(n)$ $GL^{k}(n)$ $W(M)$ $GL^{k}(n)$ $M_{k}\times W$ $\pi _{W}:W(M)\to M$ $M$ $W$ $M_{k}$ $W$ $k$ $W$ $GL^{k}(n)$ $S:M_{k}\to W$

Typové struktury lze tedy považovat za -hodnotnou funkci na různých -rámcích, které splňují následující podmínku ekvivariance: $W$ $W$ $S$ $M_{k}$ $k$

S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.

Svazek geometrických objektů je přirozený svazek v tom smyslu, že skupina diffeomorfismu manifoldu funguje jako skupina automorfismu . $M$ $\pi _{W}$

Pokud existuje vektorový prostor s lineární (respektive afinní) skupinovou akcí , pak se typové struktury nazývají lineární (respektive afinní ). $W$ $GL^{k}(n)$ $W$

Hlavní příklady lineárních struktur prvního řádu jsou tenzorové struktury nebo tenzorová pole . Nechť , a být prostor tenzorů typu s přirozenou tenzorovou reprezentací grupy . Typová struktura se nazývá pole typu tensor . Lze ji považovat za vektorovou funkci na varietě koframů , která přiřazuje coreperu sadu souřadnic tenzoru vzhledem ke standardní bázi $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$ $M_{1}$ $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ $S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ ${\displaystyle S(\theta )\in V_{q}^{p))$

\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{ *j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}

prostory . S lineární koronerovou transformací jsou souřadnice transformovány v reprezentaci tenzoru: $V_{q}^{p}$ $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$

S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}} ^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1 }}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{ b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.

Nejdůležitější příklady tenzorových struktur jsou:

Všechny lineární struktury (jakéhokoli řádu) jsou vyčerpány Rashevského supertenzory [1] .

Příkladem afinní struktury druhého řádu je afinní spojení bez torze , které lze považovat za strukturu typu , kde je jádro přirozeného homomorfismu , které lze považovat za vektorový prostor s přirozenou grupovou akcí . $V_{(2)}^{1}$ $V_{(2)}^{1}\přibližně V\otimes S^{2}V^{*}$ $GL^{2}(n)\to GL^{1}(n)$ $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$

Další důležitou a poměrně širokou třídou struktur je třída infinitesimálně homogenních struktur neboli -struktur . Lze je definovat jako struktury typu , kde je homogenní prostor skupiny . $W$ $W=GL^{k}(n)/G$ $GL^{k}(n)$

Pro další zobecnění můžeme uvažovat o obecných -strukturách - hlavních svazcích namapovaných homomorfně na -strukturu ao částech svazků s nimi spojených. V tomto případě lze uvažovat o řadě důležitých obecných geometrických struktur, jako jsou spinorové struktury , symplektické spinorové struktury atd. $G$ $G$

Literatura

Bourbaki, N. Teorie množin / Per. z francouzštiny - M .: Mir, 1965. - 457 s.
Veblen, O., Whitehead, J. Základy diferenciální geometrie . - M. : IIL, 1949. - 230 s.
Sternberg, S. Přednášky o diferenciální geometrii . - M .: Mir, 1970. - 413 s.
Vasiliev, A. M. Teorie diferenciálně-geometrických struktur . - M. : MGU, 1987. - 190 s.
Laptev G. F. Základní infinitezimální struktury vyšších řádů na hladké varietě // Proceedings of the Geometrical Seminar. - díl 1. - M. : VINITI , 1966, s. 139-189.

Viz také

Poznámky

↑ Rashevsky P.K. Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 1957. - v. 6. - str. 337-370.