Tangenciální zrychlení

Tangenciální zrychlení je složka zrychlení směřující tečně k trajektorii pohybu. Charakterizuje změnu rychlostního modulu na rozdíl od normální složky , která charakterizuje změnu směru rychlosti.

Je definována jako derivace modulu rychlosti s ohledem na čas, násobená jednotkovým vektorem podél rychlosti. Označeno symbolem vybraným pro zrychlení s přidáním indexu tečné složky: nebo , , . Měřeno v m/s 2 (v soustavě SI). $\tau$ $\mathbf {a} _{\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{t))$ $\mathbf {w} _{\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\tau ))$

Hodnota se rovná průmětu celkového zrychlení na tečnu v daném bodě křivky, což odpovídá koeficientu roztažnosti v doprovodné bázi . ${\displaystyle a_{\tau ))$ $\mathbf {a}$

Obecný vzorec

Hodnotu tečného zrychlení jako průmět vektoru zrychlení na tečnu k trajektorii lze vyjádřit takto:

a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}

kde je pozemní rychlost podél trajektorie, shodující se s absolutní hodnotou okamžité rychlosti v daném okamžiku. $v\ =dl/dt$

Pokud použijeme zápis pro jednotkový tečný vektor , můžeme tečné zrychlení zapsat ve vektorovém tvaru: ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt))\,\mathbf {\tau }

Tangenciální zrychlení je paralelní s vektorem rychlosti při zrychleném pohybu (kladná derivace) a antiparalelní při pomalém pohybu (negativní derivace). $\mathbf {a} _{\tau }$ ${\mathbf v}$

Původ vzorce

Rozklad celkového zrychlení na tečnou a normálovou složku se provádí diferencováním vektoru rychlosti s ohledem na čas , reprezentovaný jako jednotkový vektor tečny : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {dv }{dt))\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt))={\frac {dv}{dt))\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n}

První člen je tečné zrychlení a druhý je normální zrychlení ( a jsou poloměrem zakřivení a jednotkou kolmou k trajektorii v uvažovaném bodě). $\mathbf {a_{\tau }}$ $\mathbf {a_{n}}$ $R$ $\mathbf n$

Některé příklady

Příklad 1

Rychlost kamene shozeného z výšky s počáteční rychlostí nasměrovanou vodorovně se před pádem na zem změní jako , kde je zrychlení volného pádu . Rychlostní modul bude , což znamená , že tangenciální zrychlení je stejně velké . V počátečním okamžiku se rovná nule a obecně má tendenci . Tangenciální zrychlení můžete také napsat jako vektor: $v_{0}$ ${\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}$ $G$ ${\displaystyle v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2))))$ ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2))))$ $t$ $G$

{\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{ v))=a_{\tau }\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{ 2}+g^{2}t^{2))))={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{ 2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}} }\,{\vec {j}}

V těchto výrazech , , jsou jednotkové vektory v kartézských souřadnicích. $\vec{i}$ $\vec{j}$

Příklad 2

Nechť vektor poloměru tělesa závisí na čase podle zákona . ${\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}$

V tomto případě se rychlost těla zjistí jako . V souladu s tím je jeho modul stejný a je konstantní hodnotou. Výsledkem je, že tečné zrychlení je nulové: ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \ sin(\omega t){\vec {j}}$ $v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\ sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega$

a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0

Uvažovaná závislost popisuje rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměru . ${\vec {r}}(t)$ $r_{0}$

Ekvivalence

Pohyb tělesa s konstantním tečným zrychlením nazýváme stejně proměnný . Slova "ekvivalentní" ( const) a "stejnoměrně zrychlený" ( const) nejsou synonyma. Tyto pojmy jsou zaměnitelné pouze ve vztahu k přímočarému pohybu. Nicméně určité analogie jsou možné, pokud vezmeme v úvahu oba tyto typy pohybu. $a_{\tau }=\,$ ${\vec {a}}=\,$

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti