Lesterova věta

Leicesterova věta je výrok v geometrii trojúhelníku , podle kterého v jakémkoli scaleneském trojúhelníku dva Fermatovy body , střed devíti bodů a střed opsané kružnice leží na jedné kružnici ( Leicesterova kružnice ). Pojmenováno po kanadském matematikovi June Lesterovi .

Důkazy

Hilbertův důkaz pomocí Kiepertovy hyperboly

Leicesterova věta o kružnici vyplývá z obecnějšího tvrzení B. Giberta (2000), totiž že každá kružnice, jejíž průměr je tětivou Kiepertovy hyperboly trojúhelníku a je kolmá k jeho Eulerově přímce , prochází Fermatovými body [1] [2] .

Lemma Dao na pravoúhlé hyperbole

V roce 2014 Dao Thanh Oai (Đào Thanh Oai) ukázal, že Gibertův výsledek vyplývá z vlastností pravoúhlých hyperbol . Jmenovitě nechť body a leží na stejné větvi pravoúhlé hyperboly , a jsou dva body na , symetrické kolem jeho středu (body protinožců), ve kterých jsou tečny k rovnoběžné s přímkou . $H$ $G$ $S$ ${\displaystyle F_{+))$ $F_{-}$ $S$ $S$ $HG$

Dovolit a být dva body na hyperbola , jehož tečné čáry se protínají v bodě na přímce . Pokud se přímka protíná v bodě , a kolmice uprostřed úsečky protíná hyperbolu v bodech a , pak šest bodů leží na jedné kružnici [3] . ${\displaystyle K_{+))$ ${\displaystyle K_{-))$ $E$ $HG$ $K_{+}K_{-}$ $HG$ $D$ $DE$ ${\displaystyle G_{+))$ $G_{-}$ $F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}$

Pro získání Lesterova teorému z tohoto výsledku je nutné vzít Kiepertovu hyperbolu trojúhelníku jako body , Fermatovy body jako body, vnitřní a vnější body Vectenu , body budou ortocentrem a těžištěm trojúhelníku [ 3] . $S$ $F_{+},F_{-}$ $K_{+},K_{-}$ $H,G$

Viz také

Poznámky

↑ B. Gibert (2000): [Zpráva 1270] . Vstup do online fóra Hyacintos, 22.08.2000. Zpřístupněno dne 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalisations Archived 7 October 2021 at Wayback Machine . Forum Geometricorum, ročník 10, strany 175-209. MR : 2868943
↑ 1 2 Đào Thanh Oai (2014), Jednoduchý důkaz Gibertova zobecnění Lesterovy kružnice Archivováno 10. října 2015 na Wayback Machine Forum Geometricorum, svazek 14, strany 201-202. MR : 3208157

Literatura

Clark Kimberling. Lesterův kroužek // Učitel matematiky. - 1996. - T. 89 , no. 26 .
června A. Lester. Trojúhelníky III: Komplexní trojúhelníkové funkce // Aequationes Mathematicae. - 1997. - T. 53 . — S. 4–35 .
Michael Trott. Aplikace GroebnerBasis na tři problémy v geometrii // Mathematica ve vzdělávání a výzkumu. - 1997. - T. 6 . — S. 15–28 .
Ron Shail. Důkaz Lesterovy věty // Mathematical Gazette. - 2001. - T. 85 . — S. 225–232 .
John Rigby. Jednoduchý důkaz Lesterovy věty // Mathematical Gazette. - 2003. - T. 87 . — S. 444–452 .
JA Scott. Na Lesterově kruhu a Archimedově trojúhelníku // Mathematical Gazette. - T. 89 . — S. 498–500 .
Michael Duff. Krátký projektivní důkaz Lesterovy věty // Mathematical Gazette. - T. 89 . — S. 505–506 .
Stan Dolan. Člověk versus počítač // Mathematical Gazette. - T. 91 . — S. 469–480 .

Paul Yiu. Kruhy Lestera, Evanse, Parryho a jejich zobecnění // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . — S. 175–209 .

Odkazy

Lester Circle Podrobnosti o jeho objevu. (Angličtina)
Lester Circle ve společnosti MathWorld
Střed kruhů Pohoata-Dao-Moses X(5607) a X(5608 )