Drude teorie

Drudeova teorie je klasickým popisem pohybu elektronů v kovech . Tuto teorii navrhl německý fyzik Paul Drude 3 roky po objevu elektronu jako částice - v roce 1900 . Vyznačuje se jednoduchostí a jasností, dobře vysvětluje Hallův jev , měrnou vodivost ve stejnosměrném a střídavém proudu a tepelnou vodivost v kovech, a proto je i dnes aktuální. Lze použít pro několik typů médií včetně prostorově oddělených vrstev jako u Coulomb drag .

Základní předpoklady

Elektrony v kovu jsou považovány za elektronový plyn, na který lze aplikovat kinetickou teorii plynů . Předpokládá se, že elektrony, stejně jako atomy plynu v kinetické teorii, jsou identické pevné koule, které se pohybují v přímých liniích, dokud se navzájem nesrazí. Předpokládá se, že doba trvání jedné srážky je zanedbatelná a že mezi molekulami nepůsobí žádné jiné síly, kromě těch, které vznikají v okamžiku srážky. Protože elektron je záporně nabitá částice, aby byla splněna podmínka elektrické neutrality v pevné látce, musí existovat i částice jiného druhu - kladně nabité. Drude navrhl, že kompenzační kladný náboj patří mnohem těžším částicím (iontům), které považoval za nehybné. V době Drude nebylo jasné, proč jsou v kovu volné elektrony a kladně nabité ionty a co jsou tyto ionty zač. Na tyto otázky mohla odpovědět pouze kvantová teorie pevných látek. U mnoha látek však lze jednoduše předpokládat, že elektronový plyn se skládá z vnějších valenčních elektronů slabě vázaných na jádro, které se v kovu „uvolní“ a dostanou možnost volně se pohybovat kovem, zatímco atomová jádra s elektrony vnitřních obalů (atomových jader) zůstávají nezměněny a hrají roli pevných kladných iontů Drudeovy teorie.

Navzdory skutečnosti, že hustota plynu vodivostních elektronů je asi 1000krát větší než hustota klasického plynu za normální teploty a tlaku, a navzdory přítomnosti silných interakcí elektron-elektron a elektron-ion v modelu Drude, metody kinetická teorie neutrálních zředěných plynů.

Základní předpoklady Drudeovy teorie.

V intervalu mezi srážkami se nebere v úvahu interakce elektronu s jinými elektrony a ionty. Jinými slovy, předpokládá se, že v nepřítomnosti vnějších elektromagnetických polí se každý elektron pohybuje konstantní rychlostí po přímce. Dále se předpokládá, že v přítomnosti vnějších polí se elektron pohybuje v souladu s Newtonovými zákony; v tomto případě se bere v úvahu vliv pouze těchto polí, přičemž se zanedbávají komplexní přídavná pole generovaná jinými elektrony a ionty. Aproximace, která zanedbává interakci elektron-elektron mezi srážkami, je známá jako nezávislá elektronová aproximace. Podle toho se aproximace, ve které je zanedbávána interakce elektron-iont, nazývá aproximace volných elektronů.
V modelu Drude, stejně jako v kinetické teorii, jsou srážky okamžité události, které náhle změní rychlost elektronu. Drude je spojoval se skutečností, že se elektrony odrážejí od neprostupných jader iontů (a nepovažoval je za srážky elektron-elektron analogicky s dominantním mechanismem srážek v obyčejném plynu).
Předpokládá se, že za jednotku času elektron zažije srážku (tj. náhlou změnu rychlosti) s pravděpodobností rovnou . To znamená, že pro elektron je pravděpodobnost srážky v nekonečně malém časovém intervalu jednoduše . Čas se nazývá relaxační čas nebo čas volné dráhy; hraje zásadní roli v teorii vodivosti kovů. Z tohoto předpokladu vyplývá, že náhodně vybraný elektron v přítomném okamžiku se bude pohybovat v průměru během doby před svou další srážkou a v průměru se již pohyboval během doby od předchozí srážky. V nejjednodušších aplikacích modely Drude uvažují, že doba relaxace nezávisí na prostorové poloze elektronu a jeho rychlosti. ${1 \over \tau }$ $dt$ ${dt\over\tau}$ $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau$
Předpokládá se, že elektrony se dostávají do tepelné rovnováhy se svým prostředím pouze díky srážkám. Předpokládá se, že srážky udržují lokální termodynamickou rovnováhu extrémně jednoduchým způsobem: rychlost elektronu bezprostředně po srážce nesouvisí s jeho rychlostí před srážkou, ale je směrována náhodně a její hodnota odpovídá teplotě, která v oblasti převládá. kde ke srážce došlo. Proto čím teplejší je oblast, kde ke srážce dochází, tím větší je rychlost elektronu po srážce.

Drudeův vzorec

Boltzmannova kinetická rovnice v aproximaci relaxační doby vede k Drudeově vzorci pro vodivost elektronového plynu:

{\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*))))

$\sigma$ - elektrická vodivost
$n$ je koncentrace elektronů
$e_{0}$ - elementární náboj
$\tau$ - doba relaxace hybnosti ( doba , během které elektron " zapomene ", kterým směrem se pohyboval)
$m^{{*}}$ je efektivní hmotnost elektronu

Níže je odvození tohoto výrazu pro klasický případ bez zohlednění skutečného potenciálu rozptylu. Tento vzorec je také použitelný pro elektrony a děrový plyn v polovodičích (Vzorec může být zapsán v jiné formě pro degenerovaný elektron nebo děrový plyn , kde je difúzní koeficient elektronů nebo děr a je hustota stavů elektronů nebo děr , a všechny fyzikální veličiny se odebírají na Fermiho povrchu ). Hustoty stavů ve dvourozměrném vodiči $\sigma =e_{0}^{2}Dg$ $D$ $G$

g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}

kde g s je degenerace rotace, gv je degenerace údolí, m * je efektivní hmotnost a nezávisí na energii. g s = 2 a degenerace údolí pro GaAs g v = 1.

Pro proudové nosiče se zákonem parabolické disperze (energie se měří od spodní části vodivostního pásma)

E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}

kde ν F je nosná rychlost na Fermiho úrovni a g = n / E F , lze získat Drudeův výraz pro dvourozměrný elektronový plyn

\sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_ {F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={ \frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau

kde poslední rovnice vyplývá ze stavu degenerace elektronového plynu a definice difúzního koeficientu.

Některé vzorce

zrychlení elektronu mezi dvěma srážkami z druhého Newtonova zákona :

{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec E}

průměrná rychlost elektronů :

{\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }

Je však třeba mít na paměti, že okamžitá rychlost elektronu v kovu může být velká a je určena Fermiho hladinou .

proudová hustota :

{\vec j}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec v}_{d}

Ohmův zákon :

{\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau }{2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot { \vec {E}}

Mobilita nosiče poplatků :

\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau } {2m}}

tepelná energie elektronu:

W_{{th}}=3{\frac {kT}{2}}

Meze použitelnosti

Mezi nevýhody této teorie patří fakt, že tato teorie je fenomenologická a využívá relaxační čas, který je nutné získat z experimentu nebo hlubší teorie. Také použití Boltzmannovy kinetické rovnice v aproximaci relaxačního času omezuje použitelnost této teorie v oblasti diskrétního spektra proudových nosičů, to znamená, že je použitelná pouze v semiklasické aproximaci a v silných magnetických polích (během tvorba Landauových hladin ) nebo s malým počtem módů ( kvantování odporu ) nedokáže adekvátně popsat fyzikální jevy. Také v makroskopickém projevu kvantových efektů, jako je fenomén supravodivosti . I ve slabých magnetických polích může Drudeova teorie ztratit svou použitelnost kvůli jevům, které vznikají pouze v kvantové mechanice spojené s interferencí, například slabá lokalizace , Aharonov-Bohmův jev , univerzální kolísání vodivosti . Navíc i silná lokalizace (silná porucha), perkolační teorie (nízká hustota nosičů), skokové vedení a balistický transport jsou mimo rámec této teorie.

Literatura

N. Ashcroft, N. Mermin. Fyzika pevných látek: Ve dvou svazcích / M.I. Kaganov. — M .: Mir, 1979.