Fredholmova teorie je odvětvím teorie integrálních rovnic ; v úzkém smyslu - studium Fredholmových integrálních rovnic , v široké interpretaci - představující soubor metod a výsledků ve spektrální teorii Fredholmových operátorů a využívající koncept Fredholmových jader v Hilbertově prostoru .
Pojmenován po hlavním vývojáři - švédském matematikovi Eriku Ivaru Fredholmovi .
Velká část Fredholmovy teorie se týká hledání řešení integrální rovnice :
.Tato rovnice přirozeně vzniká v mnoha problémech fyziky a matematiky jako inverze diferenciální rovnice . To znamená, že úkolem je vyřešit diferenciální rovnici:
,kde je funkce dána a není známa. Zde je lineární diferenciální operátor . Za eliptický operátor můžete vzít například :
,v takovém případě se z řešené rovnice stane Poissonova rovnice . Obecnou metodou pro řešení takových rovnic je použití Greenových funkcí , to znamená, že se nejedná přímo, pokusit se rovnici vyřešit:
,kde je funkce Dirac delta . Dále:
.Tento integrál je zapsán ve formě Fredholmovy integrální rovnice . Funkce je známá jako Greenova funkce nebo jádro integrálu .
V obecné teorii, a může patřit k nějaké rozmanitosti ; v nejjednodušších případech reálná čára nebo -rozměrný euklidovský prostor . Obecná teorie také často vyžaduje, aby funkce patřily do daného funkčního prostoru : často prostoru funkcí integrovatelných do čtverce nebo Sobolevova prostoru .
Skutečně používaný prostor funkcí je často určen při řešení problému vlastních čísel diferenciálního operátoru; tedy podle řešení:
,kde jsou vlastní čísla a jsou vlastní vektory. Množina vlastních vektorů tvoří Banachův prostor a tam, kde existuje přirozený vnitřní součin , pak Hilbertův prostor , o kterém platí Rieszova věta . Příklady takových prostorů jsou ortogonální polynomy , které se vyskytují jako řešení třídy obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu .
Vzhledem k Hilbertovu prostoru lze jádro zapsat ve tvaru:
,kde je dvojí k . V této podobě se objekt často nazývá Fredholmův operátor nebo Fredholmovo jádro . To, že se jedná o stejné jádro, vyplývá z úplnosti Hilbertova vesmírného základu, konkrétně:
.Protože se obvykle zvyšuje, výsledné vlastní hodnoty operátora klesají směrem k nule.
Nehomogenní Fredholmova integrální rovnice:
lze formálně napsat jako:
.Pak formální řešení je:
.Řešení v této podobě je známé jako solventní formalismus , kde je resolvent definován jako operátor
.Daná sada vlastních vektorů a vlastních hodnot může být spojena s rozlišením konkrétního tvaru:
s řešením:
.Nezbytnou a postačující podmínkou pro existenci takového řešení je jedna z Fredholmových vět . Rozpouštědlo je obvykle rozšířeno na výkonovou řadu , v tomto případě je známá jako řada Liouville-Neumann . Pak se integrální rovnice zapíše takto:
Resolvent se zapisuje v alternativní podobě:
.Fredholmův determinant je obvykle definován jako:
,kde a tak dále. Odpovídající funkce zeta je :
Zeta funkci lze považovat za determinant rozpouštědla . Funkce zeta hraje důležitou roli ve studiu dynamických systémů ; toto je stejný obecný typ zeta funkce jako Riemannova zeta funkce , nicméně v případě Fredholmovy teorie je odpovídající jádro neznámé. Existence tohoto jádra je známá jako Hilbert-Poya domněnka .
Klasickým výsledkem této teorie jsou Fredholmovy teorémy , z nichž jedna je Fredholmova alternativa .
Jedním z důležitých výsledků obecné teorie je, že uvedené jádro je kompaktní operátor , kde prostor funkcí je prostorem ekvispojitých funkcí.
Vynikající související výsledek je teorém indexu , odkazující na index eliptických operátorů na kompaktních varietách .
Fredholmův článek v Acta mathematica z roku 1903 je jedním z nejdůležitějších milníků ve vytvoření teorie operátorů . David Hilbert vyvinul koncept Hilbertova prostoru , mimo jiné v souvislosti se studiem Fredholmových integrálních rovnic.