Fredholmova teorie

Fredholmova teorie je odvětvím teorie integrálních rovnic ; v úzkém smyslu - studium Fredholmových integrálních rovnic , v široké interpretaci - představující soubor metod a výsledků ve spektrální teorii Fredholmových operátorů a využívající koncept Fredholmových jader v Hilbertově prostoru .

Pojmenován po hlavním vývojáři - švédském matematikovi Eriku Ivaru Fredholmovi .

Homogenní rovnice

Velká část Fredholmovy teorie se týká hledání řešení integrální rovnice :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Tato rovnice přirozeně vzniká v mnoha problémech fyziky a matematiky jako inverze diferenciální rovnice . To znamená, že úkolem je vyřešit diferenciální rovnici:

lg(x)=f(x)

kde je funkce dána a není známa. Zde je lineární diferenciální operátor . Za eliptický operátor můžete vzít například : $F$ $G$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

v takovém případě se z řešené rovnice stane Poissonova rovnice . Obecnou metodou pro řešení takových rovnic je použití Greenových funkcí , to znamená, že se nejedná přímo, pokusit se rovnici vyřešit:

LK(x,y)=\delta (xy)

kde je funkce Dirac delta . Dále: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Tento integrál je zapsán ve formě Fredholmovy integrální rovnice . Funkce je známá jako Greenova funkce nebo jádro integrálu . $K(x,y)$

V obecné teorii, a může patřit k nějaké rozmanitosti ; v nejjednodušších případech reálná čára nebo -rozměrný euklidovský prostor . Obecná teorie také často vyžaduje, aby funkce patřily do daného funkčního prostoru : často prostoru funkcí integrovatelných do čtverce nebo Sobolevova prostoru . $X$ $y$ $m$

Skutečně používaný prostor funkcí je často určen při řešení problému vlastních čísel diferenciálního operátoru; tedy podle řešení:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

kde jsou vlastní čísla a jsou vlastní vektory. Množina vlastních vektorů tvoří Banachův prostor a tam, kde existuje přirozený vnitřní součin , pak Hilbertův prostor , o kterém platí Rieszova věta . Příklady takových prostorů jsou ortogonální polynomy , které se vyskytují jako řešení třídy obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu . $\omega_{n}$ $\psi _{n} (x)$

Vzhledem k Hilbertovu prostoru lze jádro zapsat ve tvaru:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

kde je dvojí k . V této podobě se objekt často nazývá Fredholmův operátor nebo Fredholmovo jádro . To, že se jedná o stejné jádro, vyplývá z úplnosti Hilbertova vesmírného základu, konkrétně: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\součet _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Protože se obvykle zvyšuje, výsledné vlastní hodnoty operátora klesají směrem k nule. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Nehomogenní rovnice

Nehomogenní Fredholmova integrální rovnice:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

lze formálně napsat jako:

f=(K-\omega)\phi

Pak formální řešení je:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

Řešení v této podobě je známé jako solventní formalismus , kde je resolvent definován jako operátor

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

Daná sada vlastních vektorů a vlastních hodnot může být spojena s rozlišením konkrétního tvaru: $K$

R(\omega ;x,y)=\součet _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

s řešením:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

Nezbytnou a postačující podmínkou pro existenci takového řešení je jedna z Fredholmových vět . Rozpouštědlo je obvykle rozšířeno na výkonovou řadu , v tomto případě je známá jako řada Liouville-Neumann . Pak se integrální rovnice zapíše takto: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

Resolvent se zapisuje v alternativní podobě:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Fredholmův determinant

Fredholmův determinant je obvykle definován jako:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr}\,K^{n}\ že jo]

kde a tak dále. Odpovídající funkce zeta je : $\operatorname {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operatorname {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

Zeta funkci lze považovat za determinant rozpouštědla . Funkce zeta hraje důležitou roli ve studiu dynamických systémů ; toto je stejný obecný typ zeta funkce jako Riemannova zeta funkce , nicméně v případě Fredholmovy teorie je odpovídající jádro neznámé. Existence tohoto jádra je známá jako Hilbert-Poya domněnka .

Hlavní výsledky

Klasickým výsledkem této teorie jsou Fredholmovy teorémy , z nichž jedna je Fredholmova alternativa .

Jedním z důležitých výsledků obecné teorie je, že uvedené jádro je kompaktní operátor , kde prostor funkcí je prostorem ekvispojitých funkcí.

Vynikající související výsledek je teorém indexu , odkazující na index eliptických operátorů na kompaktních varietách .

Historie

Fredholmův článek v Acta mathematica z roku 1903 je jedním z nejdůležitějších milníků ve vytvoření teorie operátorů . David Hilbert vyvinul koncept Hilbertova prostoru , mimo jiné v souvislosti se studiem Fredholmových integrálních rovnic.

Odkazy

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) str. 365-390.
DE Edmunds a WD Evans (1987), Spektrální teorie a diferenciální operátoři, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), "Fredholm kernel", v Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, " Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem ", Analysis Tools with Applications , kapitola 35, str. 579-600.
Robert C. McOwen, " Fredholmova teorie parciálních diferenciálních rovnic na úplných Riemannových varietách ", Pacific J. Math. 87 , č. 1 (1980), 169-185.

Literatura

Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.