Transponovaná matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Transponovaná matice je matice získaná z původní matice nahrazením řádků sloupci. $A^{T}$ $A$

Formálně je transponovaná matice pro matici velikostí matice velikosti definovaná jako . $A$ $m\krát n$ $A^{T}$ $n \krát m$ $A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}$

Například,

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\ konec{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\ \2&4&6\end{bmatrix}}\;

To znamená, že k získání transponované matice z původní matice je třeba zapsat každý řádek původní matice jako sloupec ve stejném pořadí.

Vlastnosti transponovaných matic

Dvakrát transponovaná matice A se rovná původní matici A.

(A^{T})^{T}=A

Transponovaný součet matic se rovná součtu transponovaných matic.

{\displaystyle (A+B)^{T}=B^{T}+A^{T))

Transponovaný součin matic se rovná součinu transponovaných matic v opačném pořadí.

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}

Při transpozici můžete vyjmout skalár.

{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T))

Determinant transponované matice se rovná determinantu původní matice.

\det A=\det A^{T}

Související definice

Symetrická matice (symetrická matice) je matice, která splňuje vztah. $S^{T}=S$

Aby byla matice symetrická, je nutné a postačující, aby: $S$

matice byla čtvercová ; $S$
prvky symetrické kolem hlavní diagonály byly stejné, to znamená . ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji))$

Antisymetrická (šikmá symetrická) matice (antisymetrická, šikmo symetrická) je matice, která splňuje vztah. $A^{T}=-A$

Aby byla matice antisymetrická, je nutné a postačující, aby: $A$

matice byla čtvercová ; $A$
prvky symetrické kolem hlavní diagonály byly stejné v absolutní hodnotě a opačné ve znaménku, tj . $A_{ij}=-A_{ji}$

Z toho vyplývá, že prvky hlavní diagonály antisymetrické matice jsou rovny nule: . $A_{ii}=0$

Pro jakoukoli čtvercovou matici existuje reprezentace , $M$ $M=S+A$

kde je symetrická část a je antisymetrická část. $S={\frac {M+M^{T}}{2}}$ $A={\frac {MM^{T}}{2}}$

Viz také

Matice konjugované transpozice

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný