Hilbertův třetí problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Třetí Hilbertův problém je třetím z problémů , které nastolil David Hilbert ve své slavné přednášce na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Tento problém je věnován problematice rovného složení mnohostěnů : možnosti rozřezání dvou mnohostěnů stejného objemu na konečný počet stejných částí-mnohastěnů.

Položení takové otázky bylo způsobeno skutečností, že na jedné straně jsou v rovině libovolné dva polygony stejné plochy stejně složené - jak uvádí Bolyai-Gervinova věta . Na druhou stranu stávající metody dokazování vzorce pro objem čtyřstěnu (1/3 součinu výšky a plochy základny) byly nějak spojeny s limitními přechody, a tedy s axiomem Archimedes [1] . Přestože šlo doslova ve formulaci navržené Hilbertem o rovné složení čtyřstěnů (nebo přesněji o důkaz nemožnosti takového rozdělení v obecném případě), okamžitě a přirozeně se rozšiřuje na otázku rovného složení. libovolných mnohostěnů daného objemu (nebo přesněji o nezbytných a pro tyto podmínky postačujících).

Třetí problém se ukázal jako nejjednodušší z Hilbertových problémů: příklad nestejného tetraedru stejného objemu byl uveden o rok později, v roce 1901, v práci [2] Hilbertova studenta M. V. Dehna . Jmenovitě zkonstruoval (s hodnotami v nějaké abstraktní skupině ) veličinu - Dehnův invariant - jehož hodnoty na stejně složených mnohostěnech jsou stejné, a představil příklad čtyřstěnů stejného objemu, pro které jsou hodnoty Dehnovy invarianty jsou jiné.

Později, Seidlerve své práci [3] v roce 1965 ukázal, že shoda objemu a Dehnův invariant jsou nejen nutné, ale i postačující podmínky pro ekvikompozici mnohostěnů.

Prohlášení o problému

Hilbertův třetí problém je formulován takto:

Gauss ve svých dvou dopisech Gerlingovi vyjadřuje politování nad tím, že některé známé polohy stereometrie závisí na způsobu vyčerpání, tedy v moderním pojetí na axiomu kontinuity (nebo na Archimedově axiomu).

Gauss si konkrétně všímá Euklidova teorému, podle kterého jsou objemy trojúhelníkových pyramid, které mají stejné výšky, ve vztahu jako plochy jejich základen. Podobný problém planimetrie je nyní zcela vyřešen. Gerlingovi se také podařilo prokázat rovnost objemů symetrických mnohostěnů jejich rozdělením na shodné části.

Přesto se mi zdá, že v obecném případě je důkaz zmíněné Euklidovy věty tímto způsobem nemožný, a to, jak se zdá, lze potvrdit rigorózním důkazem nemožnosti.

Takový důkaz by bylo možné získat, kdyby bylo možné označit dva čtyřstěny se stejnými bázemi a stejnými výškami, které nelze žádným způsobem rozložit na shodné čtyřstěny a které rovněž nelze shodnými čtyřstěny doplnit na takové mnohostěny, u nichž by rozklad na shodné čtyřstěny mohl být .

David Hilbert (citováno z knihy V. G. Boltyanského [4] )

Dehnův invariant

Invariant zkonstruovaný Dehnem nabývá hodnot v abstraktní skupině (a navíc ve vektorovém prostoru nad ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Konkrétně pro polytop P s délkami hran a odpovídajícími dihedrálními úhly , je Dehnův invariant D(P) nastaven rovný $l_{1},\tečky ,l_{n}$ $\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n}$

D(P):=\součet _{i}l_{i}\otimes \alpha _{i}\v V

Při rozřezávání mnohostěnu na části se hodnota součtu "délka úhlu s hranou" může změnit pouze tehdy, když se objeví/zmizí nové hrany, objevující se uvnitř nebo na hranici. Ale pro takové hrany je součet dihedrálních úhlů, které k nim přiléhají, roven, resp ., proto se jako prvek faktoru V Dehnův invariant nemění. $\otimes$ $2\pi$ $\pi$

Příklad

Příkladem aplikace Dehnova invariantu je nerovnoměrné složení krychle a pravidelného čtyřstěnu stejného objemu: pro krychli s hranou l je Dehnův invariant a pro pravidelný čtyřstěn s hranou a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

protože $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Poznámky

↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 25. března 2010. Archivováno z originálu 17. října 2011. (neurčitý) Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 25. března 2010. Archivováno z originálu 17. října 2011. (neurčitý)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), no. 3, str. 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Podmínky nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." komentář. Matematika. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ Třetí problém Boltyanského V. G. Hilberta . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 s. Archivováno 21. dubna 2017 na Wayback Machine

Odkazy

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Literatura

Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivováno 17. října 2011 na Wayback Machine
Třetí problém Boltyanského V. G. Hilberta
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Matematika. Ann. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Podmínky nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." komentář. Matematika. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, s. 261-288.

Hilbertovy problémy
jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 ( 24 )