Turbulence

Turbulence , zastaralé. turbulence (z lat .  turbulentus  - bouřlivý, chaotický), turbulentní proudění  - jev, kdy se zvýšením rychlosti proudění kapaliny (nebo plynu) vznikají nelineární fraktální vlny. Vlny se tvoří obyčejné, lineární, různých velikostí, bez přítomnosti vnějších sil a/nebo za přítomnosti sil, které narušují prostředí. Pro výpočet takových toků byly vytvořeny různé modely turbulence . Vlny se objevují náhodně a jejich amplituda se náhodně mění v určitém intervalu. Vyskytují se nejčastěji buď na hranici, u stěny a/nebo při prasknutí nebo převrácení vlny. Mohou se tvořit na tryskách. Experimentálně lze pozorovat turbulenci na konci proudu páry z rychlovarné konvice. Kvantitativní podmínky přechodu k turbulenci experimentálně objevil anglický fyzik a inženýr O. Reynolds v roce 1883 při studiu proudění vody v potrubí.

Turbulence ve svém obvyklém smyslu vzniká v blízkosti stěn nízkoviskózních kapalin nebo plynů nebo v nějaké vzdálené vzdálenosti za útesovými tělesy. S největší pravděpodobností je turbulence popsána Boltzmannovou rovnicí , protože charakteristické stupnice této rovnice jsou mnohem menší než stupnice turbulence. Otázka však zůstává otevřená a v současné době probíhá výzkum použitelnosti této rovnice pro modelování procesu iniciace turbulence. Problém je v tom, že rovnice pohybu tekutin ( Navier-Stokesovy rovnice ) jsou bez měřítka, to znamená, že samy neurčují limity přímé kaskády (viz níže) a neurčují tak charakteristickou velikost (měřítko) turbulentního víry. Přesto bylo na jejich základě vyvinuto obrovské množství matematických modelů turbulence (RANS, LES, DES a DNS modely). Tyto modely, s výjimkou modelu DNS, jsou široce používány pro inženýrské výpočty. Dosud však nebylo získáno jediné přesné analytické řešení tohoto systému rovnic pro oblast turbulentního proudění.

K turbulenci obvykle dochází, když určitý parametr překročí kritickou hodnotu, například Reynoldsovo nebo Rayleighovo číslo (v konkrétním případě rychlosti proudění při konstantní hustotě a průměru potrubí a/nebo teplotě na vnějším okraji média). ).

Za určitých parametrů je turbulence pozorována v tocích kapalin a plynů , vícefázových tocích, tekutých krystalech , kvantových Bose a Fermiho kapalinách, magnetických kapalinách , plazmatu a jakýchkoli spojitých médiích (například v písku, zemi, kovech). Turbulence je také pozorována při explozích hvězd, v supratekutém heliu , v neutronových hvězdách, v lidských plicích, při pohybu krve v srdci a při turbulentním (tzv. vibračním) spalování.

Turbulence nastává spontánně, když sousední oblasti média následují nebo pronikají jedna za druhou, v přítomnosti tlakového rozdílu nebo v přítomnosti gravitace, nebo když oblasti média obtékají nepropustné povrchy. Může vzniknout v přítomnosti nucené náhodné síly. Obvykle vnější náhodná síla a gravitační síla působí současně. Například při zemětřesení nebo poryvu větru spadne lavina z hory, uvnitř které je turbulentní proudění sněhu. Parametry okamžitého průtoku (rychlost, teplota, tlak, koncentrace nečistot) náhodně kolísají kolem průměrných hodnot. Závislost druhé mocniny amplitudy na frekvenci kmitání (neboli Fourierově spektru) je spojitá funkce.

Turbulence může být vytvořena například:

• zvýšením Reynoldsova čísla (zvýšení lineární rychlosti nebo úhlové rychlosti rotace toku, velikosti proudnicového tělesa, snížení prvního nebo druhého koeficientu molekulární viskozity , zvýšení hustoty média);

• zvýšením Rayleighova čísla (ohřev média);

• zvýšení Prandtlova čísla (snížení viskozity);

• zvýšením úhlové rychlosti otáčení nebo radiálního teplotního gradientu (fenomén indexu cyklu );

• nastavením velmi složitého typu vnější síly (příklady: chaotická síla, náraz). Tok nemusí mít fraktální vlastnosti.

• vytvořením složitých okrajových nebo počátečních podmínek, nastavením funkce tvaru hranice. Mohou být například reprezentovány náhodnou funkcí. Například: proudění při výbuchu nádoby s plynem. Je možné například organizovat vhánění plynu do média, vytvořit drsný povrch. Použijte kývání trysky. Položte mřížku. V tomto případě tok nemusí mít fraktální vlastnosti.

• vytvoření kvantového stavu. Tato podmínka platí pouze pro izotopy helia 3 a 4. Všechny ostatní látky zmrznou a zůstávají v normálním, nekvantovém stavu.

• ozářením média zvukem o vysoké intenzitě.

• prostřednictvím chemických reakcí, jako je spalování. Tvar plamene, stejně jako vzhled vodopádu , může být chaotický.

Teorie

K teoretickému popisu turbulence se používají různé přístupy.

Ve statistickém přístupu se předpokládá, že turbulence je generována náhodně se měnícím souborem vírových prvků různých velikostí [1] .

Dalším přístupem je metoda spektrální analýzy, která doplňuje statistický přístup [2] .

Při vysokých Reynoldsových číslech jsou rychlosti proudění slabě závislé na malých změnách na hranici. Proto se při různých počátečních rychlostech lodi při pohybu cestovní rychlostí vytvoří stejná vlna před jejím nosem. Nos rakety hoří a vytváří se stejný vzor vrcholu , navzdory rozdílné počáteční rychlosti.

Fraktální  znamená sobě podobný. Přímá čára má fraktální rozměr rovný jedné. Rovina se rovná dvěma. Míč má tři. Koryto má fraktální rozměr větší než 1, ale menší než 2 při pohledu z výšky satelitu. U rostlin fraktální dimenze stoupá z nuly na více než dvě. Existuje charakteristika geometrických tvarů, nazývaná fraktální dimenze. Náš svět nelze znázornit jako soubor čar, trojúhelníků, čtverců, koulí a jiných jednoduchých tvarů. A fraktální dimenze umožňuje rychle charakterizovat geometrická tělesa složitého tvaru. Například tvar listu stromu.

Nelineární vlna  je vlna, která má nelineární vlastnosti. Jejich amplitudy nelze při srážce sečíst. Jejich vlastnosti se velmi liší s malými změnami parametrů. Nelineární vlny se nazývají disipativní struktury. Nemají lineární procesy difrakce, interference, polarizace. Existují však nelineární procesy, jako je samozaostřování. V tomto případě se prudce, řádově, zvyšuje difúzní koeficient prostředí, přenos energie a hybnosti a síla tření k povrchu.

Tedy v konkrétním případě v potrubí s absolutně hladkými stěnami při rychlosti vyšší než je určitá kritická, v jakémkoli spojitém médiu, jehož teplota je konstantní, pouze vlivem gravitace, nelineárních sobě podobných vln a pak se vždy spontánně tvoří turbulence. V tomto případě neexistují žádné vnější rušivé síly. Pokud na vnitřním povrchu potrubí navíc vytvoříme rušivou náhodnou sílu nebo důlky, objeví se také turbulence.

V konkrétním případě jsou nelineárními vlnami víry , tornáda , solitony a další nelineární jevy (například vlny v plazmatu  - obyčejný a kulový blesk) probíhající současně s lineárními procesy (například akustické vlny).

Z matematického hlediska turbulence znamená, že přesné analytické řešení diferenciálních rovnic v parciálních derivacích zachování hybnosti a Navier-Stokesově zachování hmoty (toto je Newtonův zákon s připočtením viskozity a tlakových sil v prostředí a rovnice kontinuity nebo zachování hmotnosti) a energetická rovnice je při překročení nějakého kritického Reynoldsova čísla zvláštní atraktor. Představují nelineární vlny a mají fraktální, sobě podobné vlastnosti. Ale protože vlny zabírají konečný objem, některá část oblasti proudění je laminární.

S velmi malým Reynoldsovým číslem se jedná o dobře známé lineární vlny na vodě o malé amplitudě. Při vysokých rychlostech pozorujeme nelineární vlny tsunami nebo lámání příbojových vln. Například velké vlny za přehradou se rozpadají na menší vlny.

Kvůli nelineárním vlnám mohou jakékoli parametry média: ( rychlost , teplota , tlak , hustota ) zaznamenat chaotické fluktuace, měnit se z bodu na bod a ne periodicky v čase. Jsou velmi citlivé na sebemenší změnu parametrů prostředí. Při turbulentním proudění jsou okamžité parametry média rozloženy podle náhodného zákona. Tím se liší turbulentní proudění od proudění laminárního . Ale řízením průměrných parametrů můžeme ovládat turbulence. Například změnou průměru potrubí kontrolujeme Reynoldsovo číslo, spotřebu paliva a rychlost plnění raketové nádrže.

Navier-Stokesovy rovnice (běžné, nezprůměrované za určitý časový interval) popisují měkké i tvrdé vybočení toků. Mohou být odvozeny třemi způsoby z obecných zákonů zachování: postulováním Newtonova (zobecněného) zákona tření , následováním Chapman-Enskogovy metody a Gradovy metody.

Když je viskozita nulová, rovnice se redukují na Eulerovu rovnici . Přesná řešení Eulerovy rovnice jsou také chaotická.

Obecně se uznává projekce vektoru rychlosti na souřadnicovou osu v turbulentním proudění, které se skládá z průměrné nebo zprůměrované hodnoty po určitou zvolenou dobu a plus okamžité složky:

Zde  je komponenta zvlnění nebo zvlnění. Ukázalo se, že je vhodné zavést koncept stupně turbulence :

Pro tři osy:

Turbulentní proudění s velkým Reynoldsovým číslem se nazývá rozvinutá turbulence . Za různých okrajových podmínek vede vždy k vytvoření stejného rychlostního profilu. Tato vlastnost nezávislosti parametrů na Reynoldsově čísle se nazývá sebepodobnost toku. Pozoruje se experimentálně v tryskách nebo v mezní vrstvě.

Izotropní turbulenci je možné vytvořit , když jsou statistické parametry proudění (funkce rozdělení pravděpodobnosti, disperze, momenty) stejné ve směru různých souřadnicových os a nezávisí na čase.

Teorii homogenní turbulence (tedy při velmi vysokých Reynoldsových číslech, kdy její statistické parametry nezávisí na čase a jsou přibližně konstantní v proudění, ale závisí na směru) vytvořili sovětští vědci Obukhov a Kolmogorov. A pak byl použit v mnoha inženýrských výpočtech. Teorie vedla k vytvoření zjednodušených semiempirických modelů proudění: k-ε (ka-epsilon) a mnoha dalších.

Většina proudů kapalin a plynů v přírodě (pohyb vzduchu v zemské atmosféře, vody v řekách a mořích, plynu v atmosférách Slunce a hvězd a v mezihvězdných mlhovinách atd.), v technických zařízeních (v potrubí kanály, výtrysky, v hraničních vrstvách v blízkosti pevných těles pohybujících se v kapalině nebo plynu, ve stopách za takovými tělesy atd.) jsou turbulentní v důsledku přítomnosti zdrojů energie a hybnosti, přítomnosti vnějších rušivých sil nebo nepřítomnosti třecí odporové síly v kvantových kapalinách.

Během spalovacích procesů nebo chemických reakcí se na fenomén turbulence superponuje mnoho dalších fyzikálních a chemických procesů. Například vliv konvekce, vlastní oscilace, hystereze. V tomto případě se mluví o turbulentní konvekci. Obvykle se předpokládá, že přechod z laminárního na turbulentní proudění nastává, když je dosaženo kritického Reynoldsova čísla (Re). Kritická hodnota Reynoldsova čísla závisí na konkrétním typu proudění, jeho viskozitním koeficientu, který závisí na teplotě, který závisí na tlaku (proudění v kulatém potrubí, proudění kolem koule atd.). Například pro průtok v kulatém potrubí . Nedávno se ukázalo, že to platí pouze pro tlakové toky. Ale úder do potrubí, jeho prudké otáčení nebo kmitání může způsobit turbulence.

To znamená, že turbulence mohou vznikat spontánně nebo možná jako výsledek působení několika vnějších sil.

Když francouzský lékař a vědec Poiseuille v letech 1840-1842 studoval proudění tekutiny trubicemi malého průměru . je odvozen vzorec, podle kterého je možné vypočítat průtok vody potrubím. [3] [4] Před Poiseuillem studoval Hagen (1797-1884) pohyb viskózní tekutiny potrubím malého průměru . Při velkém průtoku se vzorec ukázal jako nesprávný. Důvodem je turbulence v potrubí.

Stokes , anglický teoretický vědec, našel řešení pohybové rovnice viskózní tekutiny pro malá Re čísla (toto je druhý Newtonův zákon se součtem tlakových sil a viskozitních sil), které odvodil v roce 1845 pro pohyb tekutiny. v kulaté trubce. V roce 1851 pak odvodil vzorec pro odporovou sílu při rovnoměrném pohybu koule v neomezené tekutině. Začal se používat pro stanovení koeficientu dynamické viskozity. Ale řešení se shodovala s experimentem pouze při nízkých rychlostech tekutiny a průměrech trubek a koulí.

Důvod této nesrovnalosti vysvětlily až experimenty Reynoldse v roce 1883. Ukázal existenci dvou různých režimů pohybu tekutin – laminárního a turbulentního – a našel jeden parametr – Reynoldsovo číslo – který umožnil předpovědět přítomnost turbulence pro dané proudění v potrubí.

To umožnilo Reynoldsovi v roce 1883 zavést tezi, že toky stejného typu (potrubí musí být geometricky podobné) se stejným Reynoldsovým číslem jsou podobné. Tento zákon byl nazýván zákonem podobnosti . Poté se na základě experimentů začala rozvíjet teorie dimenze a podobnosti.

Částečný popis rozvinuté turbulence v rámci matematiky 19. století navrhl L. Richardson na počátku 20. století. Mícháním čaje ve sklenici lžící vytváříme víry o velikosti sklenice, lžíce. Viskozita působí na tok tím silněji, čím menší je charakteristická velikost toku. Charakteristická velikost je chápána jako nějaký geometrický parametr, který silně ovlivňuje proudění. Průměr sklenice, její výška, šířka lžičky. Při vysokém Reynoldsově čísle jsou tyto pohyby ve velkém měřítku slabě ovlivněny molekulární viskozitou.

Rovnice pohybu tekutiny (Navier-Stokes) je nelineární, protože rychlost tekutiny je nesena samotnou rychlostí a tyto víry jsou nestabilní. Rozpadají se na menší víry, ty na menší. Nakonec u malých velikostí vstupuje do hry molekulární viskozita a nejmenší víry jsou díky ní utlumeny. Tento pohled se nazýval přímá kaskáda (neboli přechod z velkých měřítek na menší).

V roce 1924 vešla ve známost teorie Ludwiga Prandtla , která byla upřesněna na základě experimentů I. Nikuradzeho a mnoha dalších badatelů. Studovali experimentálně turbulentní proudění v blízkosti desek, v hrubých trubkách a v mnoha dalších tělesech. L. Prandtl představil koncept směšovací délky turbulentního molu - jedná se o hrubý model nelineární vlny, která přenáší hybnost na určitou vzdálenost, analogicky s Brownovým pohybem molekul. Velmi obecný model míchání turbulentního krtka, který nese hybnost v turbulentním pohybu, poprvé navrhl J. Boussinesq . Teorie L. Prandtla byla srozumitelnější pro praktiky, experimentátory a vědce. Poté byl vyvinut a zdokonalen J. I. Taylorem, T. Karmanem a umožnil inženýrům vypočítat průtoky v blízkosti stěn v kanálech, potrubích a profilech křídel. Poté začalo hledání univerzálních vzorců pro rozdělení rychlostí plochého a trojrozměrného proudění na deskách a potrubí. Poté se objevila semiempirická teorie cap-epsilon turbulence A. Kolmogorova. Těmito úkoly se zabývaly stovky inženýrů a vědců v mnoha zemích světa. Nyní dochází ke zpřesňování semiempirických modelů turbulence, ke vzniku nových modelů. Po nástupu superpočítačů bylo možné vypočítat turbulentní proudění kolem nosných ploch, křídel, vrtulí, ventilátorů, vrtulí, letadel, raket, vrtulníků s určitou chybou pomocí empirických modelů turbulence a následně zkrácené a plné Navier-Stokesovy vnořovací koeficienty. Při analýze proudění je nutné získaná pole rychlostí, tlaků z experimentu nebo výpočtu zprůměrovat, to znamená přejít od okamžitých trojrozměrných polí rozložení rychlostí, tlaků, zrychlení k dvourozměrným funkcím, které nezávisí na čas. Tak se získá hodnota tahu leteckého motoru.

S ohledem na zásluhy G. Schlichtinga ve studiu laminárně-turbulentního přechodu jsou po něm pojmenovány malé nelineární vlny ve viskózním kapalném (plynném) prostředí (Tollmin-Schlichtingovy vlny).

Mezi pojmem turbulence a turbulentního proudění je rozdíl. Termín turbulentní proudění vznikl v hydraulice. Poté byly objeveny kvantové kapaliny. Jejich viskozita je vždy nulová. Pokud pro ně vypočítáte Reynoldsovo číslo, je vždy rovno nekonečnu, když projekce vektoru rychlosti není rovna nule. Samotné turbulentní proudění může být přítomno v systému velmi malých vírů, v některých malých částech média. Proto je průměrná rychlost proudění nulová, když je kvantová tekutina v nádobě v klidu. Reynoldsovo číslo není definováno (čitatel má nulovou rychlost, jmenovatel má nulovou viskozitu).

V sovětské vědě

Do roku 1917 se v ruské vědě používal termín neuspořádané proudění . V roce 1938 Kapitsa objevil turbulentní proudění v kvantovém médiu - supratekuté helium . V kapalném heliu existují dva typy zvuku - první a druhý , které mohou vytvářet vlnovou turbulenci na jeho povrchu.

V roce 1941 vypracovali A. N. Kolmogorov a A. M. Obukhov teorii homogenní turbulence pro nestlačitelné proudění při velkých Re číslech.

Poté, v 60. letech 20. století, bylo zahájeno studium nelineárních vln, solitonů .

V 70. letech 20. století v SSSR V.E. Zakharov studoval slabé nebo „vlnové“ turbulence vln na hladině vody (nazývá se degenerované). Turbulence uvnitř médií se nazývaly silné. MD Millionshchikov získal některé vzorce pro mezní vrstvu s velmi velkým Re číslem [1] , vyřešil problém izotropního tlumení turbulence v roce 1939 [2] . Jeho výpočty bezrozměrné rychlosti pro viskózní média v závislosti na bezrozměrné vzdálenosti od stěny ukázaly „praktickou ekvivalenci“ vzorců pro rozdělení rychlosti v mezní vrstvě a potrubí, tento „... umožňuje použít jednodušší vzorec získané pro rozložení rychlosti v mezní vrstvě pro výpočet rozložení rychlosti ve vrstvě potrubí“ [3] .

V roce 1975 zavedl koncept fraktálu matematik Benoit Mandelbrot . A Feigenbaumova konstanta , použitá při popisu fraktálního média s deterministickým chaosem , byla získána v roce 1978 . Současně byl objeven Feigenbaumův scénář (neboli subharmonická kaskáda) - zvláštní typ přechodu do turbulence.

Fyzikové nechápali, proč se při chaotickém pohybu podobném Brownovu v kapalině nebo plynu najednou miliardy molekul skládají do prstence. Na počátku 80. let Yu. L. Klimonovič , profesor Moskevské státní univerzity. Lomonosov předložil hypotézu [5] , že turbulence není chaotický, ale vysoce organizovaný, uspořádaný tok. A že entropie klesá při přechodu z laminárního na turbulentní proudění. Spontánně proto vznikají různé struktury. Navrhl vlastní kritérium, založené na "S-teorému", podle kterého bylo možné vypočítat stupeň uspořádanosti spojitého média pomocí hodnoty produkce entropie. Nevěděl, že Feigenbaumův scénář a jejich další typy se vyskytují ve skutečných turbulentních médiích a věřil, že model kontinua je nedostatečný pro výskyt turbulence a v Navier-Stokesově rovnici žádná turbulence není. Proto i pro prostý pohyb vody zavedl do rovnic nějaké umělé dodatečné fluktuační členy, což byla chyba [5] . Podobně O. Reynolds zavedl další členy do rovnic zachování hybnosti nebo pohybu .

Jeho „ S-teorém “ byl pro experimentátory velmi špatně formulován a nebylo jasné, jak jej použít v experimentu a v čem je lepší než koncept K-entropie [5] [6] . Odporovalo to mnohaleté praxi inženýrů. Často používali přístup, kdy byla entropie konstantní pro tok (izentropický model plynu). Bylo to možné, protože inženýři se často snažili použít laminární proudění místo turbulentního proudění. Používali proudění, kde se proudění zrychlovalo, zatímco proudění se relaminovalo (tj. turbulence se zvrhla v laminární proudění).

V roce 2015 se objevily práce ruských vědců o proudění tekutin při velmi vysokých číslech Re v potrubí [4] .

Turbulence v přírodě

Turbulence ve strojírenství

Snaží se ji buď potlačit, nebo uměle vytvořit.

Winglety jsou umístěny na letadlech  - konce křídel ohnuté nahoru. Ušetří až 4 procenta paliva, protože se tím zmenšuje velikost a počet vírů vzniklých za křídlem, které s sebou odnášejí užitečnou kinetickou energii (jedná se o tzv. vlnové ztráty).

V případech, kdy existuje přechodný režim z laminárního na turbulentní, může docházet ke kolísání tlaku a zdvihové síly. Proto jsou po celé délce křídla umístěny generátory vírů (zakřivené konzoly). Stabilizují parametry průtoku. Proudění po nich je vždy turbulentní. Proto vztlaková síla křídla postupně roste s rostoucí rychlostí letadla.

Topné oleje pro pece v elektrárnách jsou před spalováním ohřívány, aby se snížila viskozita, a poté jsou dodatečně turbolizovány živou párou v peci . Tím se zvyšuje účinnost spalovacího kotle dokonalejším spalováním topného oleje a snížením zbytků popela.

Typy turbulence

• Dvourozměrná turbulence je pozorována v tenkých filmech nebo vrstvách kapaliny nebo plynu. Vzhledem k tomu, že tloušťka zemské atmosféry je mnohem menší než zemský poloměr, je zemská atmosféra dvourozměrným systémem a většinu povětrnostních jevů (cyklóny, hurikány atd.) lze považovat za dvourozměrné turbulentní víry. Hlavní rozdíl mezi dvourozměrnou a trojrozměrnou turbulencí spočívá ve směru přenosu energie ve spektru. V trojrozměrném prostředí se velké turbulentní víry rozpadají na menší a ty zase na ještě menší, které pak působením nekonzervativních sil ztrácejí energii (zpomalují se). Ve dvourozměrném prostředí se naopak malé víry navzájem posilují, sčítají a vytvářejí stále větší víry. Experimentálně lze pozorovat dvourozměrnou turbulenci v uměle vytvořeném mýdlovém filmu vody o tloušťce 4 až 5 mikronů [7] .

• Optická turbulence. Velmi silný laserový paprsek prochází sklem a začíná se náhodně rozptylovat. Světlo jsou vlny, takže je to turbulence světelných vln.

• Chaotické blikání hvězd na noční obloze je spojeno s náhodnou změnou hustoty vzduchu. Je to také projev atmosférické turbulence malého rozsahu.

• Turbulence řeky. Proudění vody v řece je turbulentní. Když se změní Reynoldsovo číslo a průtok, řeka změní drsnost dna.

• V tekutých krystalech (nematics), když je rychlost média nulová, je pozorována tzv. „pomalá“ turbulence.

• Chemická turbulence. V konkrétním případě to lze popsat rovnicí V. N. Nikolaevského. [8] .

• Kvark-gluonové plazma , které existovalo v rané fázi vesmíru, je popsáno modelem ideální tekutiny (tj. Navier-Stokesova rovnice s hodnotou viskozity nula). Toto je příklad turbulentního stavu plazmatu.

• Homogenní a izotropní
  • Izotropní  - kdy jeho statistické parametry nezávisí na směru. Vytváří se uměle v určité vzdálenosti po kovovém pletivu nebo roštu.
  • Homogenní  - když se jeho parametry mění podél zvolené osy, ale v daném úseku (například potrubí) jsou stejné.

• Na povrchu vícefázové kapaliny pod vlivem vibrací. Například ve vrstvě skleněných kuliček v sirupu z kukuřičného škrobu při frekvenci 120 Hz a zrychlení vibrací 25 g .

Literatura

• Loitsyansky Lev Gerasimovich, "Laminární hraniční vrstva" (1962)
• P. Bradshaw Úvod do turbulence a její měření. Překlad z angličtiny V. F. Alymov, V. V. Altov, V. S. Voiteshonok, A. M. Duyubinsky, A. M. Kudin Editoval G. S. Glushko, MIR Publishing House Moskva 1974.

• Feigenbaum M. , Uspekhi Fiz. Nauk, 1983, v. 141, str. 343 [přeložil Los Alamos Science, 1980, v. 1, str. 4] [5] .
• Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamika, - M.: Nauka, 1986. - 736 s.
• Monin A. S. , Yaglom A. M. , Statistická hydromechanika. Za 2 hodiny - L: Gidrometeoizdat, 1. část, 1992. - 695 s;, M: Nauka 2. část, 1967. - 720 s.
• Obukhov AM Turbulence a dynamika atmosféry. L: Gidrometeoizdat 1988.- 414 s. ISBN 5-286-00059-2
• Problémy turbulence. Sborník přeložených článků, ed. M. A. Velikanov a N. T. Švejkovskij. M.-L.: ONTI, 1936. - 332 s.
• Grinvald D.I., Nikora V.I. Turbulence řeky. Leningrad: Gidrometeoizdat. - 1988. - 152 s.
• Frick P. G. Turbulence: modely a přístupy. Přednáškový kurz. Část I. Perm, PSTU, 1998. - 108 s. Část II. — 136 s.
• Berger P., Pomo I., Vidal K. Pořádek v chaosu. O deterministickém přístupu k turbulenci, Moskva: Mir. - 1991. - 368 s.
• Gleick D. Chaos, The Making of a New Science , Penguin books, 1988. - 354 s. (napsal novinář pro školáky a studenty)
• Goldstein G. Klasická mechanika. Cambridge, 1950. - 408 s.
• Adzhemyan L. Ts., Nalimov M. Yu Princip maximální náhodnosti ve statistické teorii rozvinuté turbulence. II. Izotropní tlumená turbulence, 1992
• http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=5578&what=fullt&option_lang=rus
• http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=1497&what=fullt&option_lang=rus
• Frost W., Moulden T. Turbulence. Principy a aplikace. — M .: Mir, 1980. — 535 s.
• Millionshchikov M. D. Hlavní zákonitosti turbulentního proudění ve vrstvách blízkých stěn. // Journal "Atomic Energy", vol. 28, issue 4, str. 317-320 [9]
• Millionshchikov M.D., Turbulentní proudění v mezní vrstvě a potrubí. Moskva: Nauka, 1969.
• G. Schlichting . Teorie mezní vrstvy, 5. vyd., M.: Nauka, 1974.

• Reynolds O. , Experimentální zkoumání okolností, které určují, zda má být pohyb vody přímý nebo sinusový, a zákona odporu v paralelních kanálech. Phil. Trans. Royi. Soc., Londýn, 1883, v. 174.
• Feigenbaum M. , Journal Stat. Fyzika, 1978, v. 19, str. 25.
• Feigenbaum M. , Journal Stat. Fyzika, 1979, v. 21, str. 669.
• Falkovich, G. Mechanika tekutin, krátký kurz pro fyziky  (angličtina) . - Cambridge University Press , 2011. - ISBN 978-1-107-00575-4 .
• Gustafson K.E. Úvod do parciálních diferenciálních rovnic a Hilbertových prostorových metod - 3. vydání, 1999
• Představujeme Fractal Geometry, Nigel Lesmoir Gordon, Will Rood, Ralph Edney, Icon Books, Totem Books, 2000, 176 s.
• Nedávné pokroky v inženýrské vědě (Springer-Verlag, Berlín. 1989), VN Nikolaevskii.
• http://www.lehigh.edu/~jdg4/publications/Ext_Chaos.pdf
• Dan Tanaka, Chemická turbulence ekvivalentní Nikolavského turbulenci, FYZIKÁLNÍ PŘEHLED E 70, 015202(E), 2004

Viz také

• laminární proudění
• fraktál
• hydraulický skok
• Indexový cyklus
• turbulence jasné oblohy

Poznámky

1. ↑ Turbulence. Principy a aplikace, 1980 , str. 66.
2. ↑ Turbulence. Principy a aplikace, 1980 , str. 99.
3. ↑ Titjens O.N.. Hydro- a aeromechanika Svazek 2 Pohyb kapalin s třením a technické aplikace - Hydrodynamika a dynamika plynů. Průmyslová zařízení - čerpadla, kompresory ... (nepřístupný odkaz) . Získáno 21. července 2008. Archivováno z originálu 13. února 2009. (neurčitý) 
4. ↑ Titjens O.N.. Hydro- a aeromechanika Svazek 2 Pohyb kapalin s třením a technické aplikace - Hydrodynamika a dynamika plynů. Průmyslová zařízení - čerpadla, kompresory ... (nepřístupný odkaz) . Získáno 21. července 2008. Archivováno z originálu 13. února 2009. (neurčitý) 
5. ↑ 1 2 3 Yu. L. Klimonovič, Statistická teorie otevřených systémů, Moskva, Janus LLP, 1995. − 624 s.
6. ↑ P. Berger, I. Pomo, K. Vidal, Pořádek v chaosu, O deterministickém přístupu k turbulenci, M, Mir, 1991, 368 s.
7. ↑ Fluid Picture Gallery (downlink) . Získáno 13. února 2009. Archivováno z originálu 26. února 2009. (neurčitý) 
8. ↑ Zdroj . Získáno 19. července 2008. Archivováno z originálu 17. února 2016. (neurčitý)
9. ↑ Atomová energie. Svazek 28, č. 4. - 1970 - Elektronická knihovna "Historie Rosatomu" . elib.biblioatom.ru. Staženo 10. prosince 2019. Archivováno z originálu 10. prosince 2019. (neurčitý)

Odkazy

• Video demonstrující laminární a turbulentní proudění

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 11933719j GND : 4117265-6 J9U : 987007556039605171 LCCN : sh85138753 NDL : 00569287