Unitární dokonalé číslo je celé číslo , které je součtem jeho vlastních kladných unitárních dělitelů , bez samotného čísla. ( Divitel d n je jednotný dělitel, pokud d a n/d nemají žádné společné dělitele.) Některá dokonalá čísla nejsou jednotná dokonalá čísla a některá jednotná dokonalá čísla nejsou správná dokonalá čísla.
60 je jednotné dokonalé číslo, protože 1, 3, 4, 5, 12, 15 a 20 jsou jeho vlastní unitární dělitelé a 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Prvních pět a jediné známá unitární dokonalá čísla jsou:
6 , 60, 90 , 87360, 146361946186458562560000 ( sekvence OEIS A002827 )
Odpovídající součty správných unitárních dělitelů jsou:
Neexistují žádná lichá unitární dokonalá čísla. To vyplývá ze skutečnosti, že 2 d *( n ) dělí součet unitárních dělitelů lichého čísla (kde d *( n ) je počet odlišných prvočíselných dělitelů n). Je to proto, že součet všech unitárních dělitelů je multiplikativní funkce , a to je součet unitárních dělitelů prvočíselné mocniny p a se rovná p a + 1, což je sudé pro všechna lichá prvočísla p . Proto liché unitární dokonalé číslo musí mít pouze jednoho zřetelného prvočísla a je snadné ukázat, že mocnina prvočísla nemůže být unitárním dokonalým číslem, protože není dostatek dělitelů.
Není známo, zda existuje nekonečně mnoho unitárních dokonalých čísel, nebo zda existují nějaké další příklady kromě již známých pěti. Šesté takové číslo bude mít alespoň devět lichých prvočíselných dělitelů [1] .
| Čísla podle charakteristik dělitelnosti | ||
|---|---|---|
| Obecná informace | ||
| Faktorizační formy | ||
| S omezenými děliteli |
| |
| Čísla s mnoha děliteli | ||
| Souvisí s alikvotními sekvencemi |
| |
| jiný |
| |