Schwingerovy rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. března 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Schwingerovy rovnice jsou soustavou rovnic týkajících se Greenových funkcí v kvantové teorii pole . Představil Julian Schwinger v roce 1951.

Schwingerovy rovnice mohou být formulovány jako jediná rovnice ve variačních derivacích :

\left\{{\frac ({\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x))){\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,

kde je akce funkční , je generující funkcional kompletní Greenovy funkce . Argument funkcionálu je klasickým objektem stejné povahy jako pole , tedy obvyklá funkce pro bosony a antikomutační funkce pro fermiony , - levá variační derivace , v bosonickém případě ve fermionovém případě. $S(\varphi )$ $G(A)$ $Sekera)$ $\varphi$ ${\frac {\overrightarrow {\delta )){\delta iA))$ $\chi =+1$ $\chi =-1$

Pro teorii s akčním polynomem v oboru je tato rovnice rovnicí konečného řádu ve variačních derivacích. Určuje řešení pouze do číselného faktoru – jednoznačně je určen generující funkcionál Greenovy funkce bez vakuových smyček , kde je generující funkcionál Greenovy funkce volné teorie. $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$ $G_{0}$

Provedením substituce v rovnici a zmenšením násobiče po derivaci získáme Schwingerovu rovnici pro generující funkcionál spojených Greenových funkcí . ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)))$ $e^{W(A)}$ $W(A)$ $W_{n}$

Reprezentováno jako série $W(A)$

W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},

a porovnáním koeficientů u všech mocnin získáme systém spojených rovnic pro spojené Greenovy funkce . $iA$ $W_{n}$

Schwingerova rovnice v kvantové elektrodynamice

Pro získání Schwingerových rovnic jsou uvedeny klasické zdroje vnějších polí. Například v kvantové elektrodynamice částic se spinem 1/2 stačí v nejjednodušší verzi zavést do Lagrangianu interakci kvantovaného fotonového pole se zdrojem vnějšího elektromagnetického pole v minimální formě — . Díky tomu je možné pomocí funkčních variací oproti klasickému zdroji získat Greenovy funkce s velkým počtem fotonových konců. Z rozptylové matice se stává zdrojový funkcionál . Je také vhodné zavést průměrnou pozorovanou hodnotu operátoru fotonového pole (s přihlédnutím ke kvantovým korekcím): $A^{\mu }(x)$ $J_{\mu }(x)$ ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu ))$ $J_{\mu }(x)$ $S[J]$

{\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }( x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x))),

kde je průměrná hodnota operátorů přes stavy vakua v reprezentaci interakce , symbol označuje chronologické uspořádání operátorů, je variační derivace . $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ $T$ ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))),$

V důsledku toho pro dvoubodovou fermionickou Greenovu funkci

G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi } }(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,

kde je spinorový operátor fermionického (elektron-pozitronového) pole a sloupec nad operátorem znamená Diracovu konjugaci , máme rovnici Diracova typu : $\psi(x)$

\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu ))}-e{\mathcal {A^{\mu ))}(x )\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)))\right\}G(x,y\vert J)=\ delta ^{4}(xy),

kde jsou Diracovy matice a jsou náboje a hmotnost elektronu. Pro průměrnou hodnotu operátoru fotonového pole získáme rovnici typu Maxwellovy rovnice (druhý člen na pravé straně rovnice má význam kvantových korekcí na klasický proud ): $\gamma_{\mu}$ $e,m$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$ $J$

\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x \vert J)],

kde je stopa převzata přes spinorové indexy. Výsledné rovnice, které umožňují určit a z daných zdrojů , se nazývají Schwingerovy rovnice . $J_{\mu }(x)$ $G(x,y\vert J)$ ${\mathcal {A^{\mu ))}(x)$

Greenovu funkci dvoubodového fotonu lze nalézt pomocí vztahu

G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)} }=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y))).

Veličina se nazývá generující funkcionál . $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$

Tříbodová vrcholová část je definována takto:

\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu ))}G^{-1}(x,y\vert J ),

kde je inverzní operátor fermionické Greenovy funkce. Schwingerovy rovnice jsou blízce příbuzné Dysonovým rovnicím . Schwinger také odvodil rovnici pro čtyřbodovou Greenovu funkci dvou částic (fermionů). V nepřítomnosti vnějšího pole je tato rovnice ekvivalentní Bethe-Salpeterově rovnici . $G^{-1}$

Literatura

Vasiliev AN § 7.1 Schwingerovy rovnice // Funkční metody v kvantové teorii pole a statistice. - L . : Nakladatelství Leningradské univerzity, 1976. - S. 72-74. — 295 s.
Bogolyubov HH, Shirkov DV Kapitola VI. Aplikace obecné teorie eliminace divergencí // Úvod do teorie kvantovaných polí,. - 4. vydání,. - M. : Nauka, 1984. - T. 4. - S. 389. - 600 s.
Fyzická encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov. Ed. počet D. M. Alekseev, A. M. Baldin, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovikov a další - Sovětská encyklopedie, 1988. - ISBN 5-85270-034-7 .