Variační počet

Variační počet je odvětví analýzy , které studuje variace ve funkcionálech . Nejtypičtějším úkolem je najít funkci , na které daný funkcionál dosáhne extrémní hodnoty.

Metody variačního počtu jsou široce používány v různých oblastech matematiky . Například v diferenciální geometrii se používají k hledání geodetických čar a minimálních ploch . Variační metoda je ve fyzice jedním z nejmocnějších nástrojů pro získání pohybových rovnic (viz např . princip nejmenší akce ), a to jak pro diskrétní, tak pro distribuované systémy, včetně fyzikálních polí. Metody variačního počtu jsou použitelné i ve statice (viz Variační principy ).

Termíny a definice

Nejdůležitější pojmy variačního počtu jsou následující:

variace (první variace),
variační derivace (první variační derivace),
kromě první variace a první variační derivace jsou uvažovány i variace a variační derivace druhého a vyšších řádů.

Variace funkce v analýze , shodující se v názvu, není v žádném případě spojena s variačním výpočtem .

Termín variace ( vary ) - se v variačním počtu používá k označení nalezení variace nebo variační derivace (jedná se o obdobu pojmu diferenciace pro případ nekonečněrozměrného argumentu, který je předmětem kalkulu variace). Také, často pro stručnost (obzvláště v aplikacích), termín variace je používán naznačovat řešení variačního problému, který je redukován na nalezení variační derivace a rovnat ji k nule.

Variačním problémem se zpravidla rozumí nalezení funkce (v rámci variačního počtu, rovnice pro funkci), která splňuje podmínku stacionarity pro nějaký daný funkcionál, tedy funkci, jejíž (nekonečně malé) poruchy působí nezpůsobí změnu funkčního, alespoň v prvním řádu malosti. Variační problém je také úzce související problém nalezení funkce (rovnice pro funkci), na které daný funkcionál dosáhne lokálního extrému (v mnoha ohledech je tento problém redukován na první, někdy téměř úplně). Obvykle se při takovém použití termínů předpokládá, že problém je řešen metodami variačního počtu.

Typickými příklady variačního problému jsou izooperimetrické problémy v geometrii a mechanice; ve fyzice problém hledání rovnic pole z daného typu akce pro toto pole.

Historie

Již ve starověku se objevily první variační problémy související s kategorií izoperimetrických problémů - například Didův problém . Již starověcí řečtí matematici věděli [1] :

Ze všech postav s daným obvodem má kruh největší plochu.
Ze všech mnohoúhelníků s daným počtem stran a daným obvodem má největší plochu pravidelný mnohoúhelník .
Ze všech těles s daným povrchem má největší objem koule . Podobný problém pro sférické segmenty vyřešili Archimedes a Zenodor ve 2. století před naším letopočtem. E. napsal knihu „O izoperimetrických obrazcích“ (obsáhlé citace z ní se dochovaly v dílech jiných autorů).

První variační princip formuloval pro trajektorie odražených světelných paprsků Herón Alexandrijský ve svém díle „Katoptrik“ (1. století n. l.) [2] .

Ve středověké Evropě se izoperimetrickými problémy zabývali I. Sacrobosco (XIII. století) a T. Bradwardin (XIV. století). Po vývoji analýzy se objevily nové typy variačních problémů, převážně mechanického charakteru. Newton v „ Mathematical Principles of Natural Philosophy “ (1687) řeší problém: najít tvar rotačního tělesa, které klade nejmenší odpor při pohybu v plynu nebo kapalině (pro dané rozměry). Důležitým historickým problémem, který dal impuls k rozvoji moderní verze variačního počtu, byl problém brachistochrony (1696). Jeho rychlé řešení několika matematiky najednou ukázalo obrovské možnosti nových metod. Z dalších úkolů stojí za povšimnutí určení tvaru trolejového vedení (tedy tvaru rovnováhy těžkého homogenního závitu, 1690). Obecné metody řešení variačních úloh v tomto období ještě neexistovaly, každý problém byl řešen pomocí vtipného (a ne vždy bezchybného) geometrického uvažování.

Pierre Fermat formuloval základní princip geometrické optiky, na jehož základě si světlo v nehomogenním médiu volí cestu, která zabere nejméně času. V roce 1746 Maupertuis zobecnil toto pravidlo tím, že do vědy zavedl první princip nejmenší akce .

Rozhodující příspěvky k vývoji variačního počtu měli Leonhard Euler a Joseph Lagrange . Euler vlastní první systematický výklad variačního počtu a samotného termínu (1766). Lagrange nezávisle získal (od roku 1755) mnoho zásadních výsledků a představil koncept variace .

V této fázi byly odvozeny Euler-Lagrangeovy rovnice . Představují nezbytnou podmínku extrému, který se stal analytickým základem variačních metod. Brzy se však ukázalo, že řešení těchto rovnic nedávají ve všech případech skutečný extrém a nastal problém najít dostatečné podmínky zaručující extrém. První hloubkovou studii (druhé varianty) provedl Legendre , ale Lagrange objevil ve své práci chybu. Legendreovy výsledky zpřesnil a doplnil Jacobi (1837), poté jeho žák Hesse (1857) a později Weierstrass . Nyní se těmto dostatečným podmínkám říká Jacobiho rovnice [3] .

Neformální diskuse

Obsahem variačního počtu je zobecnění pojmu diferenciálu a derivace funkce vektorového argumentu konečných rozměrů na případ funkcionálu - funkce, jejíž definičním oborem je určitá množina nebo prostor funkcí. a hodnoty leží v množině reálných nebo komplexních čísel.

Všude níže v této části se předpokládá, že funkce a funkcionály mají potřebnou hladkost, to znamená, že otázka existence určitých derivací není konkrétně zvažována, zejména proto, že v mnoha konkrétních problémech tato otázka nemá praktický význam (nutná hladkost určitě tam je).

Funkcionál sdružuje každou specifickou funkci ze své definiční oblasti s určitým číslem. $\Phi[f]$ $F$

Je snadné psát analogy diferenciálu a směrové derivace pro funkcionál.

Variace

Analogem diferenciálu (první diferenciál) je variace ve variačním počtu ( první variace ):

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

(stejně jako v případě diferenciálu máme na mysli lineární část tohoto přírůstku a tradičním způsobem se volí nekonečně malý a při výpočtu rozdílu se zahazují nekonečně malé vyšší řády). Současně - hrát roli diferenciálu nebo malého přírůstku nezávislé proměnné - se nazývá variace . $\delta f$ $\delta f$ $F$

Jak můžete vidět, samo o sobě je zase funkční, protože obecně řečeno je různé pro různé (také pro různé ) . $\delta\Phi$ $F$ $\delta f$

Tedy, jak je aplikováno na funkcionály, jedná se o přímou analogii diferenciálu funkce konečnorozměrného (včetně jednorozměrného) argumentu:

dy=y(x+dx)-y(x)

- stejným způsobem chápáno jako lineární část přírůstku funkce s infinitezimálním přírůstkem argumentu (nebo lineární člen v expanzi v mocninách blízko bodu ). $y$ $X$ $y$ $dx$ $X$

Příklady

Pro funkcionál reálné funkce skutečného argumentu - pro jakýkoli a bude pravdivý . $\Phi[f]=\cos(f(1))$ $F$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))$
Pro funkcionál reálné funkce skutečného argumentu - pro jakýkoli a bude pravdivý . $\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))$ $F$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))$
Pro funkcionál reálné funkce skutečného argumentu - pro jakýkoli a bude pravdivý . $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$ $F$ $\delta f$ $\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

Směrová derivace

( Gateauxova derivace ) Derivace funkcionálu v bodě ve směru samozřejmě bude $\Phi$ $F$ $G$

\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.

V zásadě to již stačí k vyřešení typického variačního problému - hledání "stacionárních bodů", tedy takových funkcí, u kterých první variace nebo směrová derivace zaniká pro libovolnou infinitezimální nebo libovolnou konečnou . Právě tyto „body“ v prostoru funkcí – tedy přesně takové funkce – jsou kandidáty na extremály (kontrolu, zda se skutečně jedná o extremály, tedy zda je na nich dosaženo lokálního extrému, je nutné provádět samostatně, neboť v případě funkcí konečného argumentu je zajímavé, že v mnoha problémech fyziky je důležitější najít ne extrémy, ale právě stacionární body). V některých zdrojích existuje terminologie, kde se všechny stacionární body funkcionálu nazývají extrémy a následně se zjišťuje typ extrému. Analýza stacionárních bodů je založena na studiu znaménka druhé derivace vzhledem ke směru. $F$ $\delta f$ $G$

Příklady (Zde není zaveden žádný speciální zápis pro směrovou derivaci.)

Derivace funkcionálu v bodě podél směru je . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1$
Derivace funkcionálu v bodě podél směru je . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0$
Derivace funkcionálu v bodě podél směru je . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi$
Derivace funkcionálu v bodě podél směru je . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0$

Variační derivace

Pro integrální funkcionály , které jsou velmi důležitým případem pro matematiku a aplikace, lze zavést nejen analog diferenciálu a směrovou derivaci, ale také Fréchetovu derivaci - analog konečněrozměrného gradientu , nazývaný variační derivace . .

Tedy v úplné analogii s konečno-dimenzionálním případem, kdy

dy={\big (}{\vec {\nabla }}y,\;d{\vec {x}}{\big )}=\left({\frac {dy}{d{\vec {x}}}},\;d{\vec {x}}\vpravo)=\součet _{i}\částečné _{i}y\,dx_{i}

kde je označení gradientu (nebo Fréchetova derivace) funkce , a je skalární součin; je parciální derivační operátor vzhledem k tý souřadnici, součet je celkový diferenciál . $\vec\nabla y$ $y$ $(\;,\;)$ $\partial_i$ $i$

Pro funkční, které máme

\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\ delta f(x)\,dx

kde je zápis variační derivace a sumace konečnorozměrného vzorce je přirozeně nahrazena integrací. $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ $\Phi$

Tak,

\frac{\delta\Phi}{\delta f}

je standardní zápis variační derivace . Toto je také určitá funkce obou a (obecně řečeno jde o zobecněnou funkci , ale tato výhrada je mimo rámec úvahy, protože se předpokládá, že všechny funkce a funkcionály jsou libovolně hladké a nemají žádné singularity).

X

F

Jinými slovy, pokud je možné reprezentovat variaci

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

tak jako

\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx

kde je nějaká funkce ,

A

X

tedy variační derivace podle („podle “ zde znamená, že zbývající argumenty nebo parametry se nemění; obrat řeči „by “ lze vynechat v případě, kdy je přesně určeno, který funkcionál z které funkce je uvažován , který v praxe nemusí být zřejmá z jeho samotného vzorce, který může zahrnovat další parametry a funkce – viz také níže). To znamená $A$ $\Phi$ $F$ $F$ $F$ $\Phi$

\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.

Příklady (A zde je rozdíl integrálů redukován na jeden integrál.)

Pro funkční , které máme $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int \limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.

Pro funkcionál se variační derivace vypočítá takto: $\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\ limity_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).

Pro funkčnost $\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\ frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\částečné L}{\částečné f}.

Pokud vyjádříme nekonečně malý rozdíl funkce pomocí její derivace a rozdílu argumentu , dostaneme:

\delta L(f)

\delta f

\delta L=\frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f.

Je snadné vidět, že tuto definici lze zobecnit na jakoukoli dimenzi integrálu. Pro -rozměrný případ platí vzorec přímo zobecňující jednorozměrný případ: $n$

\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.

Pojem variační derivace lze také snadno zobecnit na případ funkcionálů několika argumentů [4] :

\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\ delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.

Příklady (Tady je rozdíl integrálů redukován na jeden integrál.)

Pro funkcionál se vícerozměrný případ variační derivace vypočítá jako: $\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\ delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x,\ ;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\částečné L}{\částečné f}.

Pro funkční , které máme $\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g( x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x)+\frac{\částečné L}{\částečné g}\delta g (x)\vpravo)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\částečné L}{\částečné f},\;\frac{\delta\Phi }{\ delta g}=\frac{\částečné L}{\částečné g}.

Vyjádřením infinitezimálního rozdílu funkce několika argumentů jako totálního diferenciálu dostaneme:

\delta L=\frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f+\frac{\částečné L}{\částečné g}\delta g.

Variace a variační deriváty druhého a vyšších řádů

Jak je popsáno výše pro první řád, lze zavést koncept druhé variace a druhé variační derivace funkcionálu, stejně jako -té variace a -té variační derivace : $n$ $n$

\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi [f]}{\delta f^n}.

Pro funkcionály závislé na několika funkcích lze také zavést koncept smíšených variačních derivací různých řádů, například:

\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.

Zde se tím nebudeme podrobně zabývat, vše se děje zcela podobným způsobem jako při zavádění odpovídajících diferenciálů a derivací pro funkci konečněrozměrného argumentu.

Funkcionál v blízkosti určitého bodu v prostoru funkcí expanduje do Taylorovy řady , pokud ovšem existují variační derivace všech řádů. Stejně jako v konečnorozměrných případech dává součet konečného počtu členů této řady hodnotu funkcionálu s určitou přesností (odpovídající řádu malosti) pouze pro malé odchylky jeho argumentu (pro nekonečně malé). Kromě toho, stejně jako v případě funkcí konečně-dimenzionálního argumentu, Taylorova řada (součet všech členů) nemusí konvergovat k funkcionálu expandovanému do ní pro žádná nenulová konečná posunutí, i když takové případy jsou v aplikací.

Aplikace variačního počtu

Přestože problémy, na které je variační počet použitelný, jsou znatelně širší, v aplikacích se redukují hlavně na dva hlavní problémy:

hledání bodů v prostoru funkcí, na kterém je funkcionál definován - body stacionárního funkcionálu , stacionární funkce, přímky, trajektorie, plochy atd., tedy hledání pro dané ty, pro které pro libovolné (nekonečně malé) , popř. , jinak, kde , $\Phi[f]$ $F$ $\delta\Phi=0$ $\delta f$ $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$
nalezení lokálních extrémů funkcionálu, tedy především určení těch, na kterých nabývá lokálně extrémních hodnot - nalezení extrémů (někdy také určení znaménka extrému). $F$ $\Phi[f]$

Je zřejmé, že oba problémy spolu úzce souvisejí a řešení druhého je redukováno (s náležitou plynulostí funkcionálu) na vyřešení prvního a následně kontrola, zda je skutečně dosaženo lokálního extrému (což se provádí samostatně ručně, nebo systematičtěji). , studiem variačních derivací druhého a pokud všechny mají stejné znaménko a alespoň jeden z nich je roven nule, pak vyššího řádu). V popsaném procesu se také určuje typ extrému. Často (např. když je funkce stacionárního funkcionálu jedinečná a všechny změny ve funkcionálu pro jakoukoli velkou poruchu mají stejné znaménko) je řešení otázky, zda se jedná o extrém a o jaký typ se jedná, zřejmé v záloha.

V tomto případě se velmi často problém (1) ukáže jako neméně nebo dokonce důležitější než problém (2), i když klasifikace stacionárního bodu je neurčitá (to znamená, že se může ukázat jako minimum, maximum). nebo sedlový bod, stejně jako slabý extrém, bod, v jehož blízkosti je funkcionál přesně konstantní nebo se od konstanty liší ve vyšším řádu než druhý). Například v mechanice (a obecně ve fyzice) křivka nebo plocha stacionární potenciální energie znamená rovnováhu a otázka, zda jde o extrém, je spojena pouze s otázkou stability této rovnováhy (což není zdaleka vždy Důležité). Dráhy stacionárního děje odpovídají možnému pohybu bez ohledu na to, zda je působení na takové dráze minimální, maximální nebo sedlové. Totéž lze říci o geometrické optice, kde jakákoli přímka stacionárního času (nikoli jen minimálního času, jako v jednoduché formulaci Fermatova principu nejmenšího času ) odpovídá možnému pohybu světelného paprsku v nehomogenním optickém prostředí. Existují systémy, kde neexistují vůbec žádné extrémy, ale stacionární body existují.

Metody pro hledání podmíněných extrémů a podmíněných stacionárních bodů (viz níže) činí z variačního počtu ještě mocnější nástroj pro řešení obou problémů.

Variační technika

Hlavní a obvyklá technika pro nalezení variační derivace integrálního funkcionálu , jehož integrand zahrnuje nejen hodnotu funkce v bodě , ale také hodnoty jejích derivací, tedy nejen , ale také , a tak dále (v zásadě lze zahrnout deriváty libovolného řádu, i když v praktických problémech jsou řády vyšší než druhé mnohem méně obvyklé a nejčastěji řád derivátů není vyšší než první; deriváty nějakého řádu jsou zahrnuty v prakticky vždy zajímavé funkcionály: například takový funkcionál jako délka křivky obsahuje derivace prvního řádu a potenciální energie ohnuté pružné tyče jsou deriváty přinejmenším druhého řádu) je integrace po částech. Po celkem transparentním a zřejmém záznamu vyjádření variace funkcionálu přímo podle receptu popsaného v článku výše umožňuje dosáhnout cíle: nalezení variační derivace. $\Phi[f]$ $F$ $X$ $f(x)$ $df/dx$ $d^2f/dx^2$

Výraz pro variaci funkcionálu je napsán zcela přímo a jednoduše. Ale v tomto případě nastává jedna typická nepříjemnost [5] , která spočívá v tom, že v tomto případě se ve výrazu pod integrálem objevují nejen členy c, ale i c . Tato nepříjemnost je eliminována integrací po částech . $\delta\Phi[f]$ $\delta f$ $\delta(df/dx)$

Podívejme se nejprve na jednoduchý konkrétní příklad a poté na obecný.

Příklad: Nechť je požadováno najít variační derivaci funkcionálu

\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,

kde prvočíslo označuje derivát vzhledem k , a find , pro které je hodnota extrémní. $X$ $f(x)$ $\Phi$

Je snadné se vypsat

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left( \delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=

=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\vpravo)\,dx.

Je zřejmé, že operace převzetí derivace s ohledem na může být volně zaměněna za operaci . Pak $X$ $\delta$

\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx .

Nyní, abychom nestáli pod znaménkem derivace, která nám brání vyjmout závorky z obou členů (zbývající v závorkách je variační derivace), musíme použít integraci po částech v prvním členu: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$

\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\ ,dx=

=2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f( x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.

Nyní můžete součet integrálů opět proměnit v jeden a vyjmout jej ze závorek : $\delta f$

\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1 ^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x) )^2\delta f(x)\vpravo)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\vpravo) \delta f(x)\,dx,

opouštět hraniční termín , stát sám. $2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

Okrajový člen lze přirovnat k nule [6] , čímž se řeší problém nalezení variační derivace (ve skutečnosti je to podle definice to, co je pod integrálem ve velkých závorkách, do definice zasahuje pouze okrajový člen). Vysvětlení skutečnosti, že okrajový člen je roven nule, není příliš striktní (viz poznámka [6] ), ale omezíme se na něj, abychom se zaměřili na to hlavní.

Nejprve zafixujeme na hraničních bodech, pak hraniční člen zmizí, protože bude muset zmizet při takové fixaci v a . U mnoha problémů taková fixace okrajových podmínek probíhá zpočátku. Při hledání extrému a variační derivace na třídě funkcí s takovými okrajovými podmínkami lze okrajový člen jednoduše zahodit. Ale pokud okrajové podmínky nejsou kladeny samotným problémem, mohou být vkládány uměle, problém je řešen pro pevně dané podmínky a pak lze mezi množinou řešení pro různé okrajové podmínky vybrat to optimální (to je obvykle není těžký). Stručně řečeno, řešení úlohy s vynulováním hraničního členu obsahuje mimo jiné řešení původní úlohy, je třeba pouze zúžit třídu již nalezených řešení, měnit a vybírat z nich to nejlepší. (Úhlednější a obecnější přístup naleznete níže.) $F$ $\delta f$ $x=1$ $x=2$ $f(1)$ $f(2)$

Variační derivací zde tedy rozumíme variační derivaci vzhledem ke třídě funkcí s pevnými konci, která (při hledání extrému a podobných úloh) rovná nule určuje chování funkce uvnitř segmentu. . V tomto smyslu máme pro náš příklad: $[1;\;2]$

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,

a nezbytnou podmínkou pro extrémnost je její rovnost nule, to znamená, že máme rovnici pro : $F$

-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\

Řešení této diferenciální rovnice dá explicitní tvar , ale problém hledání řešení diferenciální rovnice již přesahuje rozsah variačního počtu. Úkol posledně jmenovaného je omezen na získání takové rovnice a případně dalších podmínek, které omezují třídu přípustných řešení. $f(x)$

Příklad v obecnějším zápisu: Nechť je požadováno najít variační derivaci funkcionálu (předchozí příklad je speciálním případem a může sloužit jako jeho ilustrace):

\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx,

kde prvočíslo označuje derivát s ohledem na , dvojité prvočíslo označuje druhou derivaci s ohledem na a stále mohou existovat deriváty vyššího řádu označené tečkami a find , pro které je hodnota extrémní. L je zde chápáno jako nějaká (zpravidla dobře definovaná a specifická pro každý konkrétní úkol, jako ve výše uvedeném příkladu, ale zde psána abstraktně pro obecnost) funkce několika argumentů. Hodnoty derivací funkce f v každém bodě integrační domény (který je zde označen jako segment, ale může to být i celá reálná osa) jsou nahrazeny argumenty v L , načež se provede integrace přes x . . $X$ $X$ $f(x)$ $\Phi$

Je snadné se vypsat

\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx

= \int\limits_a^b\left( \frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x) + \frac{\částečné L}{\částečné f'}\delta f'(x) + \frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx,

kde parciální derivace atd. jsou prostě parciální derivace funkce L vzhledem k jejím odpovídajícím argumentům, to znamená, že v tomto zápisu se rozumí jednoduše odpovídající parametry (smyslem je najít nekonečně malý rozdíl mezi $\frac{\partial L}{\partial f}, \frac{\partial L}{\partial f'}, \frac{\partial L}{\partial f''}$ $f, f', f''$

L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x))'', ... \že jo)

L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...\vpravo)

Je zřejmé, že operace převzetí derivace s ohledem na může být volně zaměněna za operaci , jak je podrobně diskutováno v příkladu výše. Proto zde jednoduše nedáváme závorky označující pořadí těchto operací ve výrazech atd. $X$ $\delta$ $\delta f'(x), \delta f''(x)$

Nyní, abychom nestáli pod znaménkem derivace, což ztěžuje odstranění závorek ze všech členů integrandu (zůstávají v závorkách – a vznikne variační derivace), je nutné (představující součet integrálů jako součet integrálů) na druhý člen použít integraci po částech, na třetí - použít integraci po částech dvakrát, na další obsahující vyšší derivace (které jsou zde označeny elipsou), použít integraci po částech třetí nebo vícekrát, dokud všechny tahy nezmizí s , atd.: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$ $\delta f'''(x)$

\int\limits_a^b\left( \frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x) + \frac{\částečné L}{\částečné f'}\delta f'(x) + \ frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx = \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\částečné L}{\částečné f'}\delta f'(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\ částečné L}{\částečné f''}\delta f''(x)\,dx + ...\, =

= \int\limits_a^b \frac{\částečné L}{\částečné f}\delta f(x)\,dx + \frac{\částečné L}{\částečné f'} \delta f(x) \bigg |_a^b - \int\limits_a^b \bigg(\frac{\částečné L}{\částečné f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx + \frac{\částečné L}{\ částečná f''} \delta f'(x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\částečná L}{\částečná f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a ^b + \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)''\delta f(x)\,dx + ...

Nyní můžete součet integrálů opět proměnit v jeden a vyjmout jej ze závorek : $\delta f$

\delta \Phi = \frac{\částečné L}{\částečné f'} \delta f(x) \bigg|_a^b + \frac{\částečné L}{\částečné f''} \delta f'( x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\částečné L}{\částečné f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b + ... + \int\ limity_a^b \bigg( \frac{\částečné L}{\částečné f} - \bigg(\frac{\částečné L}{\částečné f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\částečné L} {\částečné f''}\bigg)'' + ... \bigg) \delta f(x)\,dx

ponechání hraničního termínu na pokoji. Mezní člen může být nastaven na nulu, jak je popsáno a vysvětleno v konkrétním příkladu výše, a také - pečlivěji - v samostatných odstavcích níže, věnovaných samostatně otázkám souvisejícím s hraničním prvkem.

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\částečné L}{\částečné f} - \bigg(\frac{\částečné L}{\částečné f'}\bigg)' + \bigg (\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)'' + ... ,

a nezbytnou podmínkou pro extrémnost je její rovnost nule, to znamená, že máme rovnici pro : $F$

\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'' }\bigg)'' + ... =0.\

(Pokud zde dosadíme konkrétní tvar funkce L , získáme místo tohoto zápisu konkrétní rovnici, například dosazením funkce do tohoto obecného tvaru rovnice v souladu s konkrétním příkladem probraným výše, totiž získáme také konkrétní tvar rovnice odpovídající tomuto příkladu, protože zde a derivace druhého a vyššího (označeného elipsou) řádu - prostě ne - jsou všechny rovny nule). $L(f,f') = f^3 + f'^2,\$ ${\frac {\partial L}{\partial f))=3f^{2},{\frac {\partial L}{\partial f'))=2f',$

Řešení takové diferenciální rovnice, jak již bylo uvedeno výše, v zásadě dává explicitní tvar , který však leží mimo rámec variačního počtu, který se omezuje na získání diferenciální rovnice a případně dalších podmínek, které omezují třída proveditelných řešení (v souvislosti s analýzou okrajového členu) . $f(x)$

Použití obecných funkcí

Tato část se zabývá takovým konkrétním, ale prakticky důležitým případem použití zobecněných funkcí při řešení variačních problémů, jako je použití Diracovy delta funkce .

Použití funkce - (nepleťte si její označení s variačním symbolem!), stejně jako použití zobecněných funkcí obecně, umožňuje výrazně rozšířit třídu funkcionálů, které lze zapsat ve formě integrálních funkcionálů, a na které se tedy vztahují základní variační metody (popsané výše). V této podobě psané funkcionály přitom zahrnují i tak prakticky důležité funkcionály, jako jsou hraniční funkcionály , což práci s nimi značně usnadňuje a dělá ji systematizovanou. $\delta$ $\delta(x)$

Abychom usnadnili vnímání této části, zvýrazníme delta funkci tučně: - abychom ji odlišili od variačního symbolu. $\boldsymbol\delta$

Podívejme se na jednoduchý příklad. Nechť je třeba najít funkci , která minimalizuje funkcionalitu , navíc, že jsou na ni kladeny podmínky . $f(x)$ $W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx$ $f(0)=10,\;f(1)=20$

Aby bylo řešení tohoto problému pohodlné, je užitečné zapsat vložené podmínky do formuláře (v tomto případě se jedná o funkcionály). Není omezeno na toto, pomocí hlavní vlastnosti funkce delta můžeme také psát v integrálním tvaru: $\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20$ $\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$

\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,

\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.

Nyní je možné (rozšířením integrační domény v definici , alespoň o nekonečně malou hodnotu, za interval ) libovolně sčítat a odečítat [7] funkcionály , což nám umožňuje formálně jednoduše redukovat řešení původního problému k problému podmíněného extrému funkcionálu (viz níže ), který se redukuje na nalezení extrému nového funkcionálu s konstantními faktory , jehož konkrétní hodnoty je třeba po vyřešení problému nalezení minima vybrat. řešením odpovídajících algebraických rovnic. Tím budou splněny okrajové podmínky. A co je nejdůležitější, funkční v tomto případě bude mít zcela průhlednou integrální formu, vhodnou pro variace. $W$ $[0;1]$ $W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1$ $V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1$ $\lambda_0,\;\lambda_1$ $PROTI$ $PROTI$

Podobná technika je vhodná, když na požadovanou funkci neklademe okrajové podmínky, ale podmínky pro splnění určité rovnice v každém bodě . $X$

Podmíněné extrémy

Pro stručnost budeme v této části hovořit o podmíněných extrémech, ale vše, co je zde napsáno, je stejně použitelné pro hledání stacionárních bodů obecně.

Podmíněný extrém je extrém nikoli na celém definičním oboru funkce (funkční), ale na určité její podmnožině, vyznačující se speciálně uloženou podmínkou (nebo podmínkami). Obvykle mluvíme o přidělení této podmínky (podmínek) podmnožiny definičního oboru s nižší dimenzí, která má pro konečnorozměrné domény určitý vizuální význam, ale pro nekonečněrozměrné domény (které jsou obvykle domény definice funkcionálů), vnucené podmínky je třeba uvažovat pouze abstraktně (což teoreticky nezasahuje do užitečné analogie s konečně-dimenzionálním případem).

Nechť je třeba najít extrém funkcionálu za nějaké uložené podmínky. $\Phi[f]$

Poznámky a příklady

Jako obvykle, triviální případ, kdy je uložená podmínka redukována na výslovné vyjádření něčeho v termínech něčeho (například, je-li známo, že ), nemá smysl ji speciálně zvažovat, protože to jednoduše vede k určitému přepsání funkcionálu v novém tvaru (nebo i k redukci funkcionálu na funkci konečného počtu proměnných). $f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)$

Zohlednění si zaslouží případ, kdy je vnucena ve formě rovnosti k nule (v obecném případě konstanta) některých dalších funkcionálů (jednoho nebo více), nebo vložení rovnice na požadovanou funkci, kterou musí splňovat.

Typickým případem prvního problému s jednou vynucenou podmínkou je izoperimetrický problém (například Didův problém ). Příkladem druhého typu podmínky může být v některých fyzikálních úlohách uložení požadavku na dodržení rovnice kontinuity (pro stacionární úlohy - její stacionární verze ). $\mathrm{div}\vec v=0$

Hlavní typy problému podmíněného extrému, které má smysl uvažovat, jsou následující:

Je nutné najít extrém funkcionálu za podmínky, že druhý funkcionál je roven nule ; (skutečnost, že pravá strana je nula, neporušuje obecnost). $U[f]\$ $V[f]=0\$
Je třeba najít extrém funkcionálu pod podmínkou . $U[f]\$ $V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\ldots,\;V_N[f]=0$
Pro rovnici , kde je nějaká funkce a/nebo derivace , označované tahy, je třeba najít extrém funkcionálu za podmínky splnění . $U[f]\$ $F\$ $v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)})=0$ $proti\$ $F\$ $F\$

(Třetí typ podmínky zde není psán v nejobecnější podobě, ale pro naše účely to stačí.)

Pro první dva případy téměř přímo (na úrovni přísnosti, kterou jsme nyní přijali, nemá smysl kreslit hranici mezi případem funkcí konečně-dimenzionálního argumentu a funkcionálu), aplikujeme Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů. . Totiž pro nalezení podmíněného extrému za uložení vhodných podmínek je nutné vyřešit variační úlohu pro funkcionál v prvním a druhém případě a poté vybrat (řešením rovnice v prvním případě a N rovnic s parciálními derivacemi pro každou z nich ve druhé) ty , které implementují minimum v nalezené rodině funkcí f , pro které se jedná o parametry. To znamená, že pokud jde o variační počet, klíčovým bodem je najít variaci (nebo variační derivaci) pro nějaký nový funkcionál a přirovnat ji k nule pro tyto dva případy: $U[f]\$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f]- \tečky - \lambda_N V_N[f]$ $d \hat U/ d \lambda = 0$ $\lambda _{i}$ $\lambda$ $\lambda$ $\hat U[f]$

$\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,$
$\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \tečky - \lambda_N V_N) = \delta (U - \sum_i\lambda_i V_i) = 0,$

Třetí případ je zde uvažován pro integrální funkcionál . Pak se nalezení podmíněného extrému redukuje nejprve na změnu funkčního $U[f] = \int\limits_\Omega \tečky d\Omega$

\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega

\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg) d\Omega

kde je proměnná patřící do oblasti integrace (jednorozměrné nebo n - rozměrné) a je nějaká neurčitá funkce x , která vstoupí do rovnice získané po výpočtu variační derivace a jejím přirovnáním k nule. $X$ $\Omega$ $\lambda(x)$

Zdůvodněním takového řešení pro případ 3 může být reprezentace pro každý bod od splnění rovnosti jako rovnítko mezi funkcionálem a nulou pomocí Diracovy delta funkce . Dále, na neformální úrovni zde uvažované, lze považovat za zřejmé, že problém se stal podobným variantě 2 a po sečtení všech se jeho řešení redukuje na výše popsané. $x_{0}$ $\Omega$ $v(f(x_0), f'(x_0), \tečky, f^{(n)}(x_0)) = 0$ $x_{0}$ $V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega$ $x_{0}$

Klíčový bod z hlediska variačního počtu při hledání podmíněného extrému třetího typu je tedy redukován na

\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{ (n)})\bigg)d\Omega = 0.

Derivacemi pro vícerozměrné x lze mínit například parciální derivace různých řádů , včetně smíšených.

Euler-Lagrangeova rovnice

Jedním z hlavních klasických výsledků variačního počtu, které mají velký praktický význam, jsou Euler-Lagrangeovy rovnice - diferenciální rovnice, které musí splňovat funkce, která je stacionární pro poměrně obecnou ve své třídě a velmi důležitou formu integrální funkcionál (a tedy funkce, na které takový funkcionál dosáhne lokálního extrému, musí tyto rovnice také splňovat).

Dostatečně standardní pro získání Eulerových-Lagrangeových rovnic je obvyklý způsob s nalezením variační derivace a jejím vyrovnáním na nulu, nebo metoda zápisu variace s ní prakticky se shodující pomocí standardního zápisu, jak je popsáno výše.

Zde je pro rozšíření typů příkladů uvedeno odvození Eulerových-Lagrangeových rovnic pomocí směrové derivace funkcionálu.

Derivace pomocí směrové derivace. Soukromý příklad

Pro hladké funkce reálné proměnné nebo vektoru s konečnou dimenzí lze maximum a minimum dané funkce najít nalezením bodů, kde derivace mizí (alespoň je to nutná extrémní podmínka). Podobně lze řešení hladkých úloh variačního počtu získat řešením odpovídající Euler-Lagrangeovy rovnice.

Abychom tento proces ilustrovali, uvažujme nejprve konkrétní problém nalezení nejkratší křivky v rovině spojující dva body a . Délka křivky je dána $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,

kde

f'(x)=\frac{df}{dx},

a kde a . Funkce musí mít alespoň jednu derivaci. Pokud je lokální minimum a je to vhodná funkce zanikající v hraničních bodech a mající alespoň první derivaci, pak dostaneme $y=f(x)$ $f(x_1)=y_1$ $f(x_2)=y_2$ $F$ $f_0$ $f_1$ $x_1$ $x_{2}$

A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]

pro jakoukoli blízkou 0. Proto musí derivace vzhledem k (odpovídající, až do nenulového faktoru, první variaci , vypočítané pomocí směrové derivace) zmizet na pro jakoukoli funkci . Takto, $\varepsilon$ $A[f_0+\varepsilon f_1]$ $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon=0$ $f_1$

\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0

pro jakoukoli volbu funkce . Pokud předpokládáme, že má druhou spojitou derivaci, pak můžeme použít vzorec integrace podle částí : $f_1$ $f_0$

\int\limits_a^bu(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, dx.

Po výměně

u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2)),\quad v'(x)=f_1'(x),

ukazuje se

u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0 '(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0,

ale první termín zmizí, protože byl vybrán, aby zmizel v a . Tudíž, $v(x)=f_1(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2 }}\right]\,dx=0

pro jakoukoli dvakrát diferencovatelnou funkci , která mizí na koncích intervalu. Toto je speciální případ hlavního lemmatu variačního počtu: $f_1$

I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0

pro jakoukoli diferencovatelnou funkci , která zaniká na koncích intervalu. Protože v integračním intervalu existuje libovolná funkce, můžeme dojít k závěru, že . Pak, $f_1(x)$ $f_1(x)$ $H(x)=0$

\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.

Z této rovnice vyplývá, že

\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.

Extrémem v našem problému jsou tedy segmenty přímek.

Je snadné vidět, že tato metoda se prakticky shoduje s obvyklou metodou (pomocí standardní notace), pokud je nahrazena . $\varepsilon f_1$ $\delta f\$

Derivace pomocí směrové derivace. Obecnější případ

Podobné výpočty lze provést v obecném případě [8] kdy

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx

a musí mít dvě spojité derivace. Opakováním úvahy najdeme extremální , přijmeme , najdeme derivaci vzhledem k , pak dosadíme : $F$ $f_0$ $f=f_0+\varepsilon f_1$ $\varepsilon$ $\varepsilon=0$

\left.{\frac {dA}{d\varepsilon }}\right|_{{\varepsilon =0}}=\int \limits _{{x_{1}}}^{{x_{2}}} \left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_({\varepsilon =0}}\,dx=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\částečné L}{\částečné f}f_1+\frac{\částečné L}{\částečné f'}f'_1\vpravo)\,dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\částečné L}{\částečné f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\částečné L}{\částečné f' }\vpravo)\,dx+\vlevo.\frac{\částečné L}{\částečné f'}f_1\vpravo|_{x_1}^{x_2}=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\částečné L}{\částečné f}-\frac{d}{dx}\frac{\částečné L}{\částečné f'} \vpravo)\,dx=0.

Konečně na základě hlavního lemmatu variačního počtu můžeme dojít k závěru, že funkce musí splňovat Euler-Lagrangeovu rovnici $L$

-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0.

V obecném případě je tato rovnice obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu , jejíž řešením lze najít extrém . $F$

Eulerova-Lagrangeova rovnice je nutnou , ale ne postačující podmínkou pro přítomnost extrému. Další podmínky jsou formulovány samostatně.

Viz také

Poznámky

↑ Rybnikov, 1949 , s. 356-378.
↑ Rybnikov, 1949 , s. 377-378.
↑ Druhá varianta funkčnosti. Dostatečný stav na minimum funkčních. . Získáno 25. února 2011. Archivováno z originálu 4. dubna 2010. (neurčitý)
↑ Formálně je možné redukovat funkcionál několika argumentů pomocí funkce se sadou hodnot v -rozměrném prostoru: na funkcionál závislý na této jedné nové funkci , ale čistě technicky je často pohodlnější použít původní verze beze změn, protože u konkrétních výpočtů vše dospěje do finále k výpočtu komponent po komponentě, kdy všechny jsou reálně (v extrémním případě komplexní) funkcemi. $\Phi_n[f_1,\;f_2,\;\ldots,\;f_n]$ $n$ $f(x):=(f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x))$ $\Phi_1[f]$ $f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x)$
↑ Zde je nepříjemnost především v tom, že derivace znesnadňují vyjmutí všeho ze závorek, což vede k tvaru , což znamená nalezení variační derivace (což je vše, co je v závorkách a je označeno třemi tečkami). Ale i když je funkcionál takový, že derivaci lze snadno vyjmout z hranatých závorek, to znamená, že variace může být reprezentována jako , pak musí být diferenciace eliminována. To je nutné na základě úvah, že podle definice (a ve smyslu) by s variační derivací mělo být pod integrálem pouze , a že se již nejedná o „žádnou“ funkci . V opačném případě může při hledání extrému dojít k nezjištěnému směru, podél kterého . To, co již není žádnou funkcí, je snadno vidět při zadávání okrajových podmínek. Jak je popsáno v článku, tento problém lze snadno vyřešit. $\delta f$ $\delta\Phi$ $\int(\ldots)\delta f(x)\,dx$ $\int(\ldots)\delta\frac{df(x)}{dx}\,dx$ $\delta f$ $\delta f$ $df/dx$ $X$ $\delta \Phi \neq 0$ $df/dx$
↑ 1 2 Pomocí funkce delta můžete okamžitě získat přesnější výsledek s přihlédnutím k hraničnímu členu, ale zde si pro zjednodušení prezentace vystačíme s tímto přístupem.
↑ Operace sčítání a odečítání funkcionálů je samozřejmě v zásadě definována bez ohledu na formu jejich zápisu, nicméně použití stejného tvaru ji redukuje na zcela automatickou, transparentní a technicky výhodnou, protože vše nyní spočívá v jednoduchém sčítání integrálů přes stejnou oblast, což znamená — k přidání integrandů.
↑ Případ, kdy má Lagrangeova funkce pouze jednu funkci a jednu z jejích prvních derivací jako argument (tento případ je v praxi nejdůležitější), je zde explicitně analyzován a integrace je provedena nad jednou reálnou proměnnou. Věta a důkaz se však poměrně snadno a přímo zobecňují na jakýkoli konečný počet argumentů, jakýkoli konečný řád v derivacích a na formulaci s integrací v oblasti konečné dimenze. $L$ $F$

Literatura

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimální kontrola. — M.: Nauka, 1979
Afanasiev VN, Kolmanovsky VB, Nosov VR Matematická teorie navrhování řídicích systémů. - M . : Vyšší škola , 2003. - 614 s. — ISBN 5-06-004162-X .
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1979
Seifert G., Trellfall V. Variační počet obecně 2. vyd., - M .: RHD, 2000
Krasnov M. L., Makarenko G. I., Kiselev A. I. Počet variací, problémů a cvičení. — M.: Nauka, 1973
Petrov Yu. P. Z historie variačního počtu a teorie optimálních procesů // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1990. - č. 32/33 . - S. 53-73 .
Rybnikov K. A. První fáze vývoje variačního počtu // Historický a matematický výzkum . - M. - L .: GITTL, 1949. - č. 2 . - S. 355-498 .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman přednášky z fyziky. Svazek 6: Elektrodynamika. Překlad z angličtiny (Vol. 3). — Redakční URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . — Kapitola 19: Zásada nejmenší akce. (Velmi jednoduchý, neformální a názorný úvod do techniky variace na příkladu principu nejmenší akce; doporučeno pro starší studenty a možná i pro juniory).
Nikolaj Filonov. Variační počet . Lectorium (15.02.18). (neurčitý)
Fomenko AT Variační metody v topologii. — M.: Nauka, 1982
Elsgolovy LE diferenciální rovnice a variační počet. — M.: Nauka, 1969.
Polak L.S. Variační principy mechaniky. - M.: Fizmatlit , 1959-932 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron okolo světa Malý Brockhaus a Efron Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	J9U : 987007293785905171 LCCN : sh85018809 NDL : 00563089 NKC : ph126994

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata