Zkrácení (geometrie)

Zkrácený čtverec je pravidelný osmiúhelník: t{4} = {8} =

Zkrácená krychle t{4,3} nebo

Zkrácený krychlový plást t{4,3,4} popř

Zkrácení  je operace v prostoru libovolné dimenze, která odřízne vrcholy mnohostěnu a při níž se místo vrcholů vytvoří nové plochy. Termín pochází z názvů Archimédových těles daných Keplerem .

Jednotný výstřižek

Obecně lze říci, že jakýkoli polytop může být zkrácen s určitou mírou volnosti ve výběru hloubky zkrácení, jak je ukázáno v článku Conwayova notace pro polytopy .

Běžně používaným typem zkrácení je jednotné zkrácení , ve kterém se operace zkrácení aplikuje na pravidelný mnohostěn a výsledkem je jednotný mnohostěn se stejnými délkami hran. V tomto případě neexistuje žádná svoboda volby a ve výsledku dostáváme dobře definovaná geometrická tělesa, podobná běžným mnohostěnům.

V obecném případě mají všechny jednotné mnohostěny s jedním vyznačeným uzlem (v Coxeter-Dynkinově diagramu) jednotné zkrácení. Například ikosidodekaedr reprezentovaný Schläfliho symboly r{5,3} nebo s Coxeter-Dynkinovými diagramy nebo, má jednotné zkrácení — kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr se zápisy tr{5,3} nebo ,. V Coxeter-Dynkinově diagramu se efekt zkrácení projevuje tím, že se kruhy objevují ve všech uzlech sousedících s kruhem.

Zkrácení polygonů

Oříznutý n-stranný mnohoúhelník bude mít 2n stran. Z rovnoměrně zkráceného pravidelného mnohoúhelníku se stane další pravidelný mnohoúhelník: t{n} = {2n}. Úplné zkrácení , r{3}, je další pravidelný mnohoúhelník, duální k původnímu.

Pravidelné mnohoúhelníky lze také reprezentovat Coxeter-Dynkinovým diagramem ,, a jeho jednotné zkrácení bude mít diagram, a jeho úplné zkrácení je diagram. Grafpředstavuje Coxeterovu skupinu I 2 (n), ve které je každý uzel zrcadlem a každá hrana představuje úhel π/ n mezi zrcadly, zatímco kruhy kolem jednoho nebo dvou zrcadel označují, které z nich je aktivní.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Hvězdicové polygony lze také zkrátit. Zkrácený pentagram {5/2} bude vypadat jako pětiúhelník , ale ve skutečnosti jde o dvojitě krytý (degenerovaný) desetiúhelník ({10/2}) se dvěma sadami překrývajících se vrcholů a stran. Zkrácený velký heptagram (sedmiúhelníková hvězda) {7/3} dává čtrnácticípou hvězdu {14/3}.

Jednotné zkrácení pravidelných polytopů a teselací

Pokud jde o zkrácení pravidelných mnohostěnů nebo obklady pravidelných mnohoúhelníků , obvykle se používá „jednotné zkrácení“, což znamená zkrácení do bodu, kdy se původní plochy stanou pravidelnými mnohoúhelníky s dvojnásobným počtem stran.

Sekvence na obrázku ukazuje příklad zkrácení krychle, ukazující čtyři kroky od kontinuálního procesu zkrácení z plné krychle k úplné zkrácení krychle. Konečné těleso je kuboktaedr .

Prostřední obrázek je jednotná zkrácená krychle . Je reprezentován symbolem Schläfli t { p , q ,…}.

Hluboké zkrácení  je silnější zkrácení, které odstraní všechny původní hrany, ale ponechá vnitřek původních ploch. Napříkladzkrácený osmistěnje hluboce zkrácená krychle: 2t{4,3}.

Úplné hluboké zkrácení se nazývá birektifikace a redukuje původní plochy na body. V tomto případě se mnohostěn změní na dvojitý mnohostěn . Například osmistěn je úplné hluboké zkrácení krychle : {3,4} = 2r{4,3}.

Dalším typem zkrácení je všestranné zkrácení , které ořezává hrany a vrcholy a výsledkem jsou obdélníky místo hran.

Mnohostěny ve vyšších dimenzích mají další úrovně zkrácení - ranking , na kterých jsou plochy, hrany a vrcholy odříznuty. V dimenzích nad 5 existuje sterikace , která ořízne plochy, hrany a vrcholy a také trojrozměrné plochy.

Zkrácení hrany

Zkrácení hran  je zkosení mnohostěnu, jako v případě všestranného zkrácení, ale vrcholy zůstanou a hrany jsou nahrazeny šestiúhelníky. Ve 4-rozměrném mnohostěnu jsou okraje nahrazeny podlouhlými bipyramidami .

Alternace nebo částečné zkrácení

Alternace nebo částečné zkrácení odstraní pouze některé z původních vrcholů.

Při částečném zkrácení nebo alternaci je polovina vrcholů a hran zcela odstraněna. Operace je použitelná pro mnohostěny, jejichž plochy mají sudý počet stran. Plochy zkrátí počet stran na polovinu a čtvercové plochy přejdou přes hrany. Například čtyřstěn je alternací krychle h{4,3}.

Odchylka  – obecnější termín používaný pro Johnsonův mnohostěn , zahrnuje odstranění jednoho nebo více vrcholů, hran nebo ploch bez ovlivnění zbývajících vrcholů. Například trojdílný dvacetistěn se získá z běžného dvacetistěnu odstraněním tří vrcholů.

Další částečná zkrácení jsou založena na symetrii. Například čtyřstěnně zmenšený dvanáctistěn .

Generalizovaná zkrácení

Proces lineárního zkracování lze zobecnit tím, že se parametr zkracování nechá být záporný nebo se nechá procházet středem hrany, což má za následek samo se protínající hvězdicové mnohostěny. Takové mnohostěny mohou souviset s některými pravidelnými hvězdnými mnohoúhelníky a jednotnými hvězdnými mnohostěny .

• Malé zkrácení  - hrany jsou zmenšeny, plochy zdvojnásobí počet stran, nové plochy se vytvoří na místě dřívějších vrcholů.
• Jednotné zkrácení  je speciální případ, kdy všechny výsledné hrany mají stejnou délku. Ve zkrácené krychli t{4,3} se čtvercové plochy změní na osmiúhelníky a místo vrcholů se vytvoří trojúhelníky.
• Antizkrácení je opakem mělkého zkrácení . Výsledkem je mnohostěn, který je podobný originálu, ale má části visící v rozích namísto odříznutí rohů.
• Úplné zkrácení  - omezující mělké zkrácení, kdy jsou hrany redukovány na body. Příkladem je Cuboctahedron , r{4,3}.
• Hyperzkrácení je typ zkrácení, který jde nad rámec úplného zkrácení obrácením původních hran, což vede k průnikům.
• Kvazi -zkrácení je typ zkrácení, který přesahuje hyperzkrácení, kdy se obrácené hrany stávají delšími než ty původní. Toto zkrácení lze získat z původního mnohostěnu ustupováním ploch od hran, to znamená pohybem v opačném směru od vrcholu. Například kvazizkrácení čtverce dává pravidelný oktagram (t{4,3}={8/3}) a kvazizkrácení krychle dává jednotný stelovaný zkrácený šestistěn , t{4/3 ,3}.

Viz také

• Jednotný mnohostěn
• Jednotný čtyřrozměrný mnohostěn
• Dvojité zkrácení (geometrie)
• úplné zkrácení
• Alternace (geometrie)
• Conwayova notace pro mnohostěny

Poznámky

Literatura

• HS M Coxeter . Kapitola 8: Transakce //Pravidelné polytopy . — 3. vydání. - New York: Dover Publications Inc, 1973. - S.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Jednotné polytopy. Rukopis, 1991.
• Norman Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. — University of Toronto: Ph.D. disertační práce, 1966.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Truncation  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Glosář pro hyperprostor
• Jména mnohostěnů, zkrácení

Nadace	zkrácení	úplné zkrácení	Hluboké zkrácení	Dualita _	protahování	Zkrácení	Alternace
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}