Podmíněné očekávání

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Podmíněné matematické očekávání v teorii pravděpodobnosti je průměrná hodnota náhodné veličiny za určité podmínky (implementace některých událostí). Často se jako podmínka chová hodnota jiné náhodné veličiny fixované na nějaké úrovni, která může být s danou vztažena (pokud jsou tyto náhodné veličiny nezávislé, pak se podmíněné matematické očekávání shoduje s (nepodmíněným) matematickým očekáváním). V tomto případě je podmíněné matematické očekávání náhodné veličiny , za předpokladu, že náhodná veličina nabyla hodnoty, označeno jako , respektive může být považováno za funkci . Tato funkce se nazývá regresní funkce náhodné veličiny náhodnou veličinou, a proto se podmíněné matematické očekávání označuje jako , tedy bez zadání pevné hodnoty . $Y$ $X$ $X$ $E(Y|X=x)$ $X$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$

Podmíněné očekávání je charakteristikou podmíněného rozdělení .

Definice

Předpokládáme, že je nám dán pravděpodobnostní prostor . Nechť je integrovatelná náhodná veličina, tj . Nechť je také σ-subalgebra σ-algebry . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV s ohledem na σ-algebru

Náhodná veličina se nazývá podmíněné očekávání vzhledem k σ-algebře if ${\klobouk {X}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

${\klobouk {X}}$ měřitelné s ohledem na . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

kde je indikátor události (jinými slovy je to charakteristická funkce množiny-události, jejímž argumentem je náhodná veličina nebo elementární výsledek). Podmíněné matematické očekávání je označeno . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Příklad. Položme . _ Pak je σ-algebra a . Nechť má náhodná veličina tvar $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Pak

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrix}}\vpravo.

UMO týkající se rodiny událostí

Buďme libovolnou rodinou událostí. Pak se relativně nazývá podmíněné matematické očekávání ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

kde je minimální sigma-algebra obsahující . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Příklad. Nechte také . Pak . Nechť má náhodná veličina tvar $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $X$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Pak

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matrix}}\vpravo.

ULV vzhledem k náhodné proměnné

Nechť další náhodnou veličinu. Pak se relativně nazývá podmíněné matematické očekávání $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

kde je σ-algebra generovaná náhodnou veličinou . $\sigma (Y)$ $Y$

Další definice ULV se týká : $X$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Tato definice konstruktivně popisuje algoritmus pro nalezení ULV:

najít matematické očekávání náhodné proměnné , brát jako konstantu ; $X$ $Y$ $y$
Poté ve výsledném výrazu nahraďte zpět náhodnou proměnnou . $y$ $Y$

Příklad : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Podmíněná pravděpodobnost

Nechť je libovolná událost a je jejím indikátorem. Pak je podmíněná pravděpodobnost relativně nazývána $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Poznámky

Podmíněné očekávání je náhodná veličina, nikoli číslo.
Podmíněné matematické očekávání je definováno až do nulové pravděpodobnosti událostí . Tedy pokud a - téměř všude , pak . Identifikací náhodných veličin, které se liší pouze událostmi s nulovou pravděpodobností, získáme jednoznačnost podmíněného matematického očekávání. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\klobouk {X}}_{1}={\klobouk {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Vezmeme-li , dostaneme podle definice: $A = \ Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

a zejména platí vzorec celkové pravděpodobnosti :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Nechť σ-algebru vygenerujeme rozdělením . Pak ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

Konkrétně vzorec celkové pravděpodobnosti má klasickou formu:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

a následně

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Základní vlastnosti

Jestliže , pak existuje Borelova funkce taková, že ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\klobouk {X}}=h(Y)

Podmíněné očekávání události se podle definice rovná $X$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Pokud a.s. , pak a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Pokud je nezávislý na , pak $X$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Zejména, pokud jsou nezávislé náhodné proměnné, pak $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Jestliže jsou dvě σ-algebry takové, že , pak ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ střední {\mathcal {G}}_{1}]

Jestliže — je měřitelné, a — je náhodná proměnná taková, že , pak $X$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\in L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"Očekávání odstraňuje podmínku." Toto pravidlo platí pro ULV s ohledem na náhodnou veličinu (ULV v tomto případě bude náhodná veličina) a pro podmíněnou pravděpodobnost s ohledem na náhodnou veličinu

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Další vlastnosti

ULV pro diskrétní veličiny

Dovolit být diskrétní náhodná veličina, jejíž rozdělení je dáno pravděpodobnostní funkcí . Pak je systém událostí oddíl a $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

kde znamená matematické očekávání vztažené k podmíněné pravděpodobnosti . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Pokud je náhodná veličina také diskrétní, pak $X$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\součet \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

kde je podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné s ohledem na . $p_{X\mid Y}$ $X$ $Y$

ULV pro absolutně spojité náhodné veličiny

Nechť jsou náhodné proměnné takové, že vektor je absolutně spojitý a jeho rozdělení je dáno hustotou pravděpodobnosti . Uveďme podmíněnou hustotu , nastavení podle definice $X,Y$ $(X,Y)^{\top }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mid Y}$

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

kde je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny . Pak $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

kde funkce má tvar $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y} (x\mid y)\,dx

Zejména,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO v L 2

Uvažujme prostor náhodných proměnných s konečným druhým momentem . Definuje skalární součin $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\forall X,Y\in L^{2}

a normu jím vytvořenou

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Množina všech náhodných proměnných s konečným druhým momentem a měřitelných vzhledem k , kde , je podprostor . Pak operátor daný rovností $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

je operátorem ortogonální projekce na . Zejména: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

Podmíněné očekávání je nejlepší aproximací středních čtverců pomocí měřitelných náhodných proměnných: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $X$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

Podmíněné očekávání uloží bodový produkt:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

Podmíněné očekávání je idempotentní :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Viz také

Podmíněná distribuce

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánová metoda
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra