Hilbertův čtrnáctý problém

Hilbertův čtrnáctý problém  je čtrnáctým z problémů , které nastolil David Hilbert ve své slavné přednášce na druhém mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Je věnována otázce konečného generování prstenců vznikajících při určitých konstrukcích. Hilbertovo původní nastavení bylo motivováno prací Maurera, který prohlásil, že algebra invariantů lineární akce algebraické grupy na vektorovém prostoru je generována konečně; Hilbertova otázka se ve skutečnosti týkala okruhu získaného průnikem podpole v oboru racionálních funkcí s polynomickým okruhem. [jeden]

Brzy po zprávě se však ukázalo, že Maurerova práce obsahuje chybu a Hilbertova otázka začala být považována za otázku konečného generování algeber invariantů lineárních algebraických grup. Odpověď na tuto otázku se nečekaně ukázala jako negativní: v roce 1958 na kongresu v Edinburghu k ní M. Nagata předložil protipříklad [1] [2] . Zkonstruoval [3] podgrupu v GL(n), jejíž invariantní algebra není generována konečně. Tuto konstrukci pak zjednodušil [1] Steinberg ve svém článku z roku 1997 [4] .

Formulace

Původní Hilbertova formulace

14. Důkaz konečnosti nějaké úplné soustavy funkcí.

<...> Maurerovi se nedávno podařilo rozšířit věty o konečnosti dokázané Jordanem a mnou v invariantní teorii na případ, kdy invarianty nejsou určeny obecnou projektivní grupou jako v běžné invariantní teorii, ale její libovolnou podgrupou. <...>

Nechť je dáno nějaké číslo m celých racionálních funkcí proměnných :

Jakékoli celé racionální spojení mezi , pokud jsou do něj tyto hodnoty zavedeny, samozřejmě také představuje celou racionální funkci . Mohou však existovat zlomkové racionální funkce , které po substituci (S) povedou k celým funkcím . Každou takovou funkci budu nazývat <...> relativně celou funkcí . <...> Problém je tedy vyjádřen následovně: zjistit, zda je vždy možné najít takový konečný systém s ohledem na celé funkce , jehož prostřednictvím je jakákoli jiná relativně celá funkce vyjádřena v integrálu a racionálním způsob. <...> [5]

Jinými slovy, toto je otázka konečné generace algebry , kde  je generované pole. Protože každé mezipole je definitivně generováno jako rozšíření k, zní nakonec v moderním jazyce původní Hilbertova formulace takto:

Nechť je  nějaké pole obsahující hlavní pole k. Je pravda, že algebra je generována konečně? [jeden]

Konečné generování algebry invariantů

Literatura

1. ↑ 1 2 3 4 Poznámky z kurzu I. Aržanceva " Algebry invariantů a 14. Hilbertův problém "
2. ↑ Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometrická invariantní teorie. - M., Mir, 1974. - str. 74-81
3. ↑ M. Nagata, Přednášky o čtrnáctém Hilbertově problému. Tata Institute, 1965.
4. ↑ R. Steinberg, Nagatův příklad. In: Algebraic Groups Lie Groups, Australia. Matematika. soc. Lect. Řada 9 Cambr. University Press (1997), 375-384.
5. ↑ Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 45-47. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 27. března 2010. Archivováno z originálu dne 17. října 2011. (neurčitý) 

• I. V. Aržancev. Stupňované algebry a Hilbertův 14. problém. - M. : MTSNMO, 2009. - 64 s. - 1000 výtisků.  - ISBN 978-5-94057-491-0 .
• Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivováno 17. října 2011 na Wayback Machine