Divize (matematika)

Divize

Označení	obelus
Naproti	násobení
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Dělení ( operace dělení ) je opakem násobení . Dělení je označeno dvojtečkou , obelusem , lomítkem nebo psáno zlomkem . $:$ $\div$ $/$

Pro přirozená čísla znamená dělení zjištění, které číslo (podíl) je třeba vzít tolikrát (dělitel), abychom dostali danou (dividendu).

Jinými slovy, jde o nalezení maximálního možného počtu opakování odečtení dělitele od dividendy; nebo nalezení takové největší hodnoty, kterou lze odečíst od dividendy tolikrát, kolikrát je uvedeno v děliteli.

Zvažte například dělení : $čtrnáct$ $3$

Kolikrát je obsaženo v ? $3$ $čtrnáct$

Opakováním operace odečítání od zjistíme, že je obsaženo čtyřikrát a stále zbývá číslo . $3$ $čtrnáct$ $3$ $čtrnáct$ $2$

V tomto případě se číslo nazývá dělitelné , číslo je dělitel , číslo je (neúplný) podíl a číslo je zbytek (z dělení) . $čtrnáct$ $3$ $čtyři$ $2$

Úplný kvocient , poměr nebo poměr čísel se nazývá takové číslo , které . V případě kde a lze jejich celkový podíl zapsat jako zlomek nebo desetinný zlomek . $A$ $b$ $C$ $a=b\cdot c$ $a=14$ $b=3$ ${\frac {14}{3}}$ $4,(6)$

Úplná a neúplná dílčí čísla a shodují se právě tehdy, když jsou rovnoměrně dělitelná ( je dělitelná ) číslem . Odpovídající vlastnost dané dvojice čísel se nazývá dělitelnost . $A$ $b$ $A$ $b$

Formuláře a terminologie

Dělení se zapisuje pomocí jednoho z " dělicích znaků " - " " mezi argumenty, tato forma zápisu se nazývá infixová notace . V tomto kontextu je znak dělení binární operátor . Znak dělení nemá zvláštní název, jako je například znak sčítání, který se nazývá "plus". $\div ,~/,~:$

Zdá se, že nejstarší používaný znak je lomítko (/). Poprvé ji použil anglický matematik William Oughtred ve svém Clavis Mathematicae v roce 1631.
Německý matematik Leibniz preferoval znak dvojtečky (:).Tento symbol použil ve svém díle Acta eruditorum z roku 1684. Před Leibnizem tento znak použil Angličan Johnson v roce 1633 ve své knize, ale jako znak zlomku a ne dělení v užším slova smyslu.
Johann Rahn zavedl znak obelus (÷) jako značku divize, objevil se ve své Teutsche Algebra z roku 1659. Rahnovo znamení je často označováno jako „anglická značka divize“.

V ruskojazyčných učebnicích matematiky se používá především dvojtečka (:). Dopředné lomítko (/) se používá v počítačové notaci. Výsledek se zapíše pomocí znaménka rovná se " ", například: $=$

a:b=c

;

6:3=2

(„šest děleno třemi se rovná dvěma“);

65:5=13

(„šedesát pět děleno pěti se rovná třinácti“).

Vlastnosti

Operace dělení na číselných množinách má tyto hlavní vlastnosti: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Dělení není permutabilní (ne komutativní) - ze změny místa argumentů se mění kvocient:

a:b\neq b:a;

Dělení není asociativní - při postupném dělení tří a více čísel je důležitá posloupnost operací, výsledek se změní:

(a:b):c\neq a:(b:c);

Dělení je správně distributivní, jedná se o vlastnost konzistence dvou binárních operací definovaných na stejné množině, známé také jako distributivní zákon [1] :

Distributivita :

(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;

Pokud jde o dělení, množina má jeden neutrální prvek vpravo (číslo ), dělení jedničkou (nebo neutrální prvek) dává číslo rovné originálu: $A$ $jeden$

Neutrální prvek vpravo:

x:1=x;

Pokud jde o dělení, v množině je pouze jeden reciproký prvek, který se získá dělením jedničky číslem, které dává číslo, které je inverzní k originálu: $A$

Obrácený prvek :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

Pokud jde o dělení, v sadě je vlevo jeden nulový prvek - číslo dělené libovolným číslem dává nulu: $A$ $0$

Nulový prvek vlevo:

0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Podle pravidel běžné aritmetiky není dělení nulou (nulový prvek) definováno; $0$

Dělení nulou :

x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Dělení opačným prvkem dává mínus jedna:

x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.

Výsledek dělení není vždy jistý pro množiny přirozených čísel a celých čísel , abychom získali přirozené nebo celé číslo jako výsledek dělení, musí být dělenec násobkem dělitele. V rámci těchto čísel není možné získat zlomkový výsledek. V tomto případě mluvíme o dělení se zbytkem . To znamená, že dělení na těchto množinách je částečná binární operace . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Operace dělení, definovaná na množinách (v polích ) racionálních , reálných a komplexních čísel , dává číslo (soukromé) patřící do stejné množiny, proto jsou množiny uzavřeny vzhledem k operaci dělení (v bodě 0 je diskontinuita druhého druhu - proto jsou okruhy racionálních, reálných a komplexních čísel otevřené s ohledem na dělení). ${\mathbb {Q}}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

V matematických výrazech má operace dělení přednost před operacemi sčítání a odčítání, to znamená, že se provádí před nimi.

Provádění dělení

Divize je hyperoperátor odčítání a redukuje se na sekvenční odčítání. :

$a:b=\operatorname {hyper-2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\tečky -b} _{c}.$

kde: je posloupnost operací odečítání provedených jednou. $-bb-\tečky -b$ $C$

V praktickém řešení problému dělení dvou čísel je nutné jej zredukovat na posloupnost jednodušších operací: odčítání , porovnávání , přenos atd. K tomu byly vyvinuty různé metody dělení, například pro čísla, zlomky , vektory atd. V ruskojazyčných učebnicích matematiky se v současnosti používá algoritmus dělení sloupců . V tomto případě by rozdělení mělo být považováno za postup (na rozdíl od operace).

Diagram znázorňující místa pro zápis dividend, dělitele, podílu, zbytku a mezivýpočtů při dělení sloupcem:

Z výše uvedeného diagramu je vidět, že požadovaný podíl (nebo neúplný podíl při dělení se zbytkem) bude zapsán pod dělitelem pod vodorovnou čáru. A průběžné výpočty budou prováděny pod dividendou a musíte se předem postarat o dostupnost místa na stránce. V tomto případě je třeba se řídit pravidlem: čím větší je rozdíl v počtu znaků v položkách dělitele a dělitele, tím více místa je potřeba.

Přibližný algoritmus pro postup dělení přirozených čísel sloupcem

Jak vidíte, postup je poměrně složitý, skládá se z poměrně velkého počtu kroků a při dělení velkých čísel to může trvat dlouho. Tento postup je použitelný pro dělení přirozených a celých čísel (s výhradou znaménka). Pro ostatní čísla se používají složitější algoritmy.

Aritmetické operace s čísly v libovolné poziční číselné soustavě se provádějí podle stejných pravidel jako v desítkové soustavě , protože všechny jsou založeny na pravidlech pro provádění operací s odpovídajícími polynomy [2] . V tomto případě je třeba použít odčítací tabulku odpovídající danému základu číselné soustavy. $P$

Příklad dělení přirozených čísel v binárních , desítkových a hexadecimálních číselných soustavách:

110010│ 101 │ 0 — 0 50800│ 25 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │││52 -05 —5 -05 - 02 50 │2032 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ 6 09 -3F 498 — 7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │ -7E0 - C │ -888 - D │ -930 - E

Dělení čísel

Přirozená čísla

Použijme definici přirozených čísel jako tříd ekvivalence konečných množin . Označme třídy ekvivalence konečných množin generovaných bijekcemi pomocí závorek: . Potom je matematická operace "dělení" definována takto: $\mathbb {N}$ $C,A,B,R$ $[C],[A],[B],[R]$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - volá se rozdělení na stejné části (zjištění počtu prvků v každé podmnožině oddílu), privátní čísla a počet prvků každé podmnožiny oddílu; $A$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]$ - volá se dělení podle obsahu (zjištění počtu podmnožin oddílu), privátních čísel a počtu (počtu) podmnožin oddílu; $A$ $b$

kde: je rozdělení konečné množiny na stejně početné párově disjunktní podmnožiny tak, že: $A/B$

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ pro jakékoli koeficienty takové, že $\alpha ,\beta \in C$ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ je zbytek (množina zbývajících prvků), , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\šipka doprava$ — nulová operace "výběr prvku".

V případě, že jedno přirozené číslo není beze zbytku dělitelné druhým, hovoříme o dělení se zbytkem . Na zbytek je uvaleno následující omezení (tak, aby bylo správně, tedy jednoznačně určeno): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

kde: - dividenda, - dělitel, - podíl, - zbytek. $A$ $b$ $C$ $r$

Tato operace s třídami je zavedena správně, to znamená, že nezávisí na volbě prvků třídy a shoduje se s induktivní definicí.

Aritmetická operace "dělení" je částečná pro množinu přirozených čísel , (pro půlení přirozených čísel). $\mathbb {N}$

Vztah mezi dělením přirozených čísel a dělením konečných množin do tříd umožňuje zdůvodnit volbu dělení při řešení úloh např. typu:

„12 tužek bylo rovnoměrně rozděleno do 3 krabic. Kolik tužek je v každé krabici? Problém uvažuje množinu s 12 prvky. Tato sada je rozdělena na 3 stejné podmnožiny. Je nutné znát počet prvků v každé takové podmnožině. To lze zjistit dělením - 12 karátů. : 3 ks. Po výpočtu hodnoty tohoto výrazu dostaneme odpověď na otázku problému - v každém poli jsou 4 tužky.
„12 tužek by mělo být uspořádáno v krabicích, v každé 3 tužky. Kolik krabic budete potřebovat? Problém uvažuje množinu 12 prvků, která je rozdělena na podmnožiny, z nichž každá má 3 prvky, je třeba zjistit počet takových podmnožin. Dá se zjistit dělením - 12 karátů. : 3 ct. Po výpočtu hodnoty tohoto výrazu dostaneme odpověď na otázku problému - jsou potřeba 4 políčka.

K dělení přirozených čísel v systému pozičního zápisu čísel se používá algoritmus dělení sloupcem.

Celočíselné dělení

Dělení libovolných celých čísel se nijak výrazně neliší od dělení přirozených čísel - stačí rozdělit jejich moduly a zohlednit znaménkové pravidlo .

Dělení celých čísel zbytkem však není jednoznačně definováno. V jednom případě (stejně jako beze zbytku) se nejprve uvažují moduly a v důsledku toho získá zbytek stejné znaménko jako dělitel nebo dělenec (například se zbytkem (-1)); v jiném případě je koncept zbytku přímo zobecněn a omezení jsou vypůjčena z přirozených čísel: $-7/(-3)=2$

-7\ekviv 2{\pmod 3}

K odstranění nejednoznačnosti je přijata dohoda: zbytek dělení je vždy nezáporný.

Dělení racionálních čísel

Uzavření množiny celých čísel operací dělení vede k jejímu rozšíření na množinu racionálních čísel. To vede k tomu, že výsledkem dělení jednoho celého čísla druhým je vždy racionální číslo . Navíc výsledná čísla (racionální) již plně podporují operaci dělení (jsou s ohledem na ni uzavřena).

Pravidlo pro dělení obyčejných zlomků: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Dělení reálných čísel

Množina reálných čísel je souvislé uspořádané pole označované . Množina reálných čísel není spočetná, její mocnina se nazývá mocnina kontinua . Aritmetické operace s reálnými čísly reprezentovanými nekonečnými desetinnými zlomky jsou definovány jako spojité pokračování [3] odpovídajících operací s racionálními čísly. $\mathbb {R}$

Jsou dána dvě reálná čísla, která mohou být reprezentována jako nekonečná desetinná místa :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definovaných základními posloupnostmi racionálních čísel (splňujících Cauchyovu podmínku ), označenými jako: a , pak se jejich soukromé číslo nazývá číslo definované dílčími posloupnostmi a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

reálné číslo , splňuje následující podmínku: $\gamma =\alpha :\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Šipka doprava (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Šipka doprava (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Podíl dvou reálných čísel je tedy takové reálné číslo , které je obsaženo mezi všemi jednotlivostmi tvaru na jedné straně a všemi jednotlivostmi tvaru na straně druhé [4] . Sekce Dedekind umožňuje jednoznačně určit výsledek dělení. $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a':b'$ $a'':b''$

V praxi je pro dělení dvou čísel a nutné je s požadovanou přesností nahradit přibližnými racionálními čísly a . Pro přibližnou hodnotu soukromých čísel vezměte soukromé z uvedených racionálních čísel . Je přitom jedno, z jaké strany (nedostatkem nebo nadbytkem) se převzatá racionální čísla aproximují a . Dělení se provádí podle dělení sloupcovým algoritmem. $\alpha$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha :\beta$ $a:b$ $\alpha$ $\beta$

Absolutní chyba částečného přibližného čísla: , absolutní chyba čísla je rovna polovině poslední jednotky číslice tohoto čísla. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

Relativní chyba kvocientu je rovna součtu relativních chyb argumentů: . Získaný výsledek se zaokrouhlí nahoru na první správnou platnou číslici, platná číslice přibližného čísla je správná, pokud absolutní chyba čísla nepřesahuje polovinu jednotky číslice odpovídající této číslici. $\delta \left({\frac {a}{b))\right)=\delta a+\delta b$

Příklad dělení až na 3 desetinné místo: $\gamma =\pi :e$

Tato čísla zaokrouhlíme na 4 desetinné místo (pro zlepšení přesnosti výpočtů);
Dostáváme: ; $\pi \cca 3,1416,\ e\cca 2,7183$
Dělíme sloupcem :; $\gamma =\pi :e\cca 3,1416:2,7183\cca 1,1557$
Zaokrouhlování na 3. desetinné místo: . $\gamma \cca 1,156$

Rozvrh

Na množině dvojic reálných čísel má obor dělicí funkce graficky tvar hyperbolického paraboloidu - plochy druhého řádu [5] . $\mathbb {R} ^{2}$ $c=a:b~$

Protože , pak pro tyto množiny bude rozsah funkce dělení patřit této ploše. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Dělení komplexních čísel

Množina komplexních čísel s aritmetickými operacemi je pole a obvykle se označuje symbolem . $\mathbb {C}$

Algebraický tvar

Podíl dvou komplexních čísel v algebraickém zápisu je komplexní číslo rovné:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

kde: — komplexní čísla, , — imaginární jednotka ; . $z,z_{1},z_{2}$ $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

V praxi se podíl komplexních čísel nalézá vynásobením dividendy a dělitele komplexním konjugátem dělitele:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae }{b^{2}+e^{2}}}i,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

dělitel se stane reálným číslem a dvě komplexní čísla se vynásobí v čitateli, pak se výsledný zlomek dělí člen po členu. Výsledek je definován pro každého $b+ei\neq 0=0+0i$

Trigonometrický tvar

Chcete-li rozdělit dvě komplexní čísla v trigonometrickém zápisu, musíte vydělit modul děliče modulem dělitele a odečíst argument dělitele od argumentu dělitele:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

kde: - modul a argument komplexního čísla; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ operatorname {Arg} (z_{n})=\operatorname {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

To znamená, že modul podílu dvou komplexních čísel se rovná podílu modulů a argumentem je rozdíl mezi argumenty děliče a dělitele.

Exponenciální (exponenciální) forma

Dělení komplexního čísla v exponenciálním tvaru komplexním číslem se redukuje na otočení vektoru odpovídajícímu číslu o úhel a změnu jeho délky faktorem. Pro soukromá komplexní čísla v exponenciálním tvaru platí rovnost: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1))$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2))$ $z_{1}$ $\operatorname {Arg} (z_{2})$ $|z_{2}|$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

kde: - číslo e ; . $e=2{,}718281828\tečky$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Exponenciální zápis

V exponenciálním zápisu se čísla zapisují jako , kde je mantisa , je charakteristika čísla , je základem číselné soustavy, . K rozdělení dvou čísel, která jsou zapsána v exponenciální formě, je nutné oddělit mantisu a charakteristiky: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $X$ $P^{n}$ $P$ $n\in \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

Například:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\cca 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\cca 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\cca 2{,}94\cdot 10^{6}.

Dělení fyzikálních veličin

Jednotka měření fyzikální veličiny má konkrétní název ( rozměr ): pro délku (L) - metr (m), pro čas (T) - sekunda (s), pro hmotnost (M) - gram (g) atd. na. Výsledkem měření konkrétní veličiny tedy není jen číslo, ale číslo s názvem [6] . Jméno je nezávislý objekt, který se rovným dílem účastní operace dělení. Při provádění operace dělení na fyzikálních veličinách se dělí jak samotné číselné složky, tak i jejich názvy.

Kromě rozměrových fyzikálních veličin existují bezrozměrné (kvantitativní) veličiny, které jsou formálně prvky číselné osy , tedy čísla, která nejsou vázána na určité fyzikální jevy (měřeno „kusy“, „časy“ atd.). Při dělení čísel reprezentujících fyzikální veličiny bezrozměrnou veličinou se dělitelné číslo mění ve velikosti a zachovává si měrnou jednotku. Pokud například vezmete 15 hřebíků a vložíte je do 3 krabic, pak jako výsledek rozdělení dostaneme 5 hřebíků v každé krabici:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

Rozdělení heterogenních fyzikálních veličin je třeba považovat za nalezení nové fyzikální veličiny, která se zásadně liší od veličin, které dělíme. Pokud je fyzikálně možné takový kvocient vytvořit např. při hledání práce, rychlosti nebo jiných veličin, pak tato veličina tvoří množinu odlišnou od výchozích. V tomto případě je složení těchto veličin přiřazeno nové označení (nový termín ), např.: hustota , zrychlení , výkon atd. [7] .

Pokud například vydělíte délku časem odpovídajícím jednomu fyzikálnímu procesu, dostanete pojmenované číslo (fyzickou veličinu) odpovídající stejnému fyzikálnímu procesu, které se nazývá „rychlost“ a měří se v „metrech za sekundu“: $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m : s)))=4~{\text{ slečna}}.

Při popisu fyzikálních procesů matematickými prostředky hraje důležitou roli koncept homogenity, což znamená, že například „1 kg mouky“ a „1 kg mědi“ patří do různých souborů {mouka} a {měď}. a nelze je přímo oddělit. Také koncept homogenity naznačuje, že dělitelné veličiny patří k jednomu fyzikálnímu procesu. Je nepřijatelné dělit např. rychlost koně časem psa.

Dělení v algebře

Na rozdíl od nejjednodušších aritmetických případů na libovolných množinách a strukturách může být dělení nejen nedefinované, ale může mít také mnohonásobnost výsledků.

Obvykle se v algebře zavádí dělení prostřednictvím konceptu identity a inverzních prvků. Pokud je prvek identity zaveden jednoznačně (obvykle axiomaticky nebo podle definice), pak může být inverzní prvek často buď levý ( ) nebo pravý ( ). Tyto dva inverzní prvky mohou nebo nemusí existovat odděleně, stejné nebo nestejné. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

Například poměr matic se určuje pomocí inverzní matice, přičemž i pro čtvercové matice to může být:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

Poměr tenzorů obecně není definován.

Dělení polynomů

Obecně řečeno, opakuje myšlenky dělení přirozených čísel, protože přirozené číslo není nic jiného než hodnoty polynomu, ve kterém jsou koeficienty číslice a základ číselné soustavy je místo proměnné:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\vpravo|_{{x=8}}

Obdobně jsou tedy definovány: podíl, dělitel, dividenda a zbytek (jen s tím rozdílem, že omezení je uvaleno na míru zbytku). Dělení sloupcem je tedy použitelné i pro dělení polynomů .

Rozdíl spočívá v tom, že při dělení polynomů je hlavní důraz kladen na stupně děliče a dělitele, nikoli na koeficienty. Proto se obvykle předpokládá, že podíl a dělitel (a tedy i zbytek) jsou definovány až do konstantního faktoru.

Dělení nulou

Definicí číselných množin není definováno dělení číslem 0 . Podíl dělení jakéhokoli čísla jiného než nula nulou neexistuje, protože v tomto případě žádné číslo nemůže splnit definici podílu [8] . Pro určení této situace se předpokládá, že výsledek této operace je považován za "nekonečně velký" nebo "rovný nekonečnu " (kladný nebo záporný, v závislosti na znaménku operandů). Z geometrického hlediska se provádí afinní rozšíření číselné osy . To znamená, že obvyklá posloupnost reálných čísel je „zkomprimována“, aby bylo možné operovat s hranicemi této posloupnosti. Dvě abstraktní nekonečně velké veličiny jsou zavedeny jako (podmíněné) hranice . Z hlediska obecné topologie se dvoubodové zhutnění číselné osy provádí přidáním dvou idealizovaných bodů (nekonečna s opačným znaménkem). Napsat: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty ,-\infty$

a:0=\pm \infty

, kde

a\neq 0.

Provedeme-li projektivní rozšíření množiny reálných čísel zavedením idealizovaného bodu , který spojuje oba konce reálné přímky, pak z hlediska obecné topologie jednobodové zhutnění reálné přímky provedeme přidání nekonečna bez znaménka. Doplňme výslednou množinu čísel o nový prvek , ve výsledku dostaneme , na tomto základě je postavena algebraická struktura nazvaná " Wheel " (Wheel) [9] . Termín byl převzat z důvodu podobnosti s topologickým obrazem projektivního prodloužení reálné čáry a bodu 0/0. Provedené změny mění tento algebraický systém na monoid jak operací sčítání (s nulou jako neutrálním prvkem), tak operací násobení (s jednotkou jako neutrálním prvkem). Jedná se o typ algebry, kde je dělení vždy definováno. Zejména dělení nulou má smysl. $\infty ~$ $\perp =0/0$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \))$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~$

Existují další algebraické systémy s dělením nulou. Například „louky obecné“ (louky obecné) [10] . Jsou o něco jednodušší, protože nerozšiřují prostor zaváděním nových prvků. Cíle je dosaženo jako v kolech transformací operací sčítání a násobení, stejně jako odmítnutí binárního dělení.

Viz také

Poznámky

↑ Tyto vlastnosti se tedy nazývají v učebnicích pro základní ročníky
↑ Číselné soustavy, 2006 , str. 3.
↑ Protože vztah lineárního řádu již byl zaveden na množině reálných čísel, můžeme definovat topologii reálné čáry: jako otevřené množiny bereme všechny možné svazy intervalů tvaru $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , str. 46.
↑ Rovnici lze snadno zredukovat změnou proměnných na rovnici hyperbolického paraboloidu . $z={\frac {x}{y))$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Integrovaná hodina fyziky a matematiky, Měření fyzikálních veličin a jejich jednotek, škola 7, Brest . Brestschool7.iatp.by. Získáno 18. 4. 2016. Archivováno z originálu 7. 8. 2016. (neurčitý)
↑ Makarov Vladimír Petrovič. O "dimenzi" fyzikálních veličin . litology.ru, Lithology.RF. Získáno 18. dubna 2016. Archivováno z originálu 6. května 2016. (neurčitý)
↑ M. Ya. Vygodsky Handbook of elementary matematic.
↑ Jesper Carlstrom. Wheels-On Division od Zero. - Stockholm: Katedra matematiky Stockholmská univerzita, 2001. - 48 s.
↑ Jan A. Bergstra a Alban Ponse. Dělení nulou v Common Meadows . - Nizozemsko: Sekce teorie informatiky Instituce informatiky, Přírodovědecká fakulta University of Amsterdam, 2014. - 16 s. Archivováno 26. března 2018 na Wayback Machine

Literatura

Ilyin V.A. atd. Matematická analýza. Počáteční kurz. (neopr.) . - Moskevská státní univerzita, 1985. - T. 1. - 662 s.
Číselné soustavy . - Vologda: GOU SPO "Vologda Engineering College", 2006. - S. 3. - 16 s.

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Brockhaus a Efron Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353